Teorema di Bayes

(1)

( ) ( / )

( ) P A B P A B

= P B

^e

( )

( / )

( ) P A B P B A

= P A

^e

per definizione di probabilita’ condizionata

e

( / ) ( ) ( ) P B A P A = P A

e

B ( / ) ( )

( / )

( ) P B A P A P A B

= P B

i 1

( / ) ( ) ( / )

( ) ( / )

n

i i

P B A P A P A B

P A P B A

=

= 

per il teorema della probabilta’ totale

i 1

( ) ( ) ( / )

n

i i

P B P A P B A

=

= 

“ teorema di Bayes”

Teorema di Bayes

(2)

si puo’ intuire l’importanza del teorema di Bayes se vi sono piu’ possibili cause

C

₁ ,

C

₂ , …

C

_n

quale sara’ la probabilita’ che

( / ) ( ) ( / )

( )

i i

i

P E C P C P C E

= P E

utilizzando il teorema di Bayes:

esempio : la diagnosi del medico di famiglia

➢ dato che si e’ presentato

E

^, il verificarsi di

E

^{sia dovuto}

ragionando in termini di causa ed effetto:

che possono produrre lo stesso effetto

E

^,

ci si puo’ domandare:

alla i-esima causa

C

_i

i 1

( / ) ( ) ( / )

( ) ( / C )

i i

i n

i i

P E C P C P C E

P C P E

=

= 

ovvero

(3)

in una fabbrica di componenti meccanici di precisione

della produzione totale.

La macchina F₁ e’ operata manualmente e produce l’ 1 % di scarti, mentre e produce il 5 % di scarti.

I pezzi prodotti dalle due fresatrici vengono mescolati tra loro e, un controllo di qualita’ a campionamento casuale viene effettuato

Quale sara’ la probabilita’ che un pezzo scelto a caso sia di scarto ?

al termine di ogni giornata,

Se il pezzo campionato a caso

coprono rispettivamente il 10% ed il 90%

risultasse difettoso

sull’intera produzione.

Esercizio

quale sarebbe la probabilita’

due macchine fresatrici F₁ e F₂

la macchina F₂ e’ automatica,

(4)

Scrt

= { pezzo di scarto }

F

₁ = { pezzo prodotto dalla fresatrice F₁}

F

₂ = { pezzo prodotto dalla fresatrice F₂}

( )1 0.10

P F = P F =( ₂) 0.90 P Scrt F =( / ₁) 0.01 P Scrt F =( / ₂) 0.05

per il teorema della probabilta’ totale se B e’ un qualsiasi evento dello spazio degli eventi F₁ ed F₂

ossia

2

i 1

( ) ( ) (

_i

/ )

i

P Scrt P F P Scrt F

=

= 

1 1

( ) ( / ) P F P Scrt F percio’ in questo caso

0.1 0.01 0.9 0.05

=  + 

0.001 0.045

= + = 4.6%

costituiscono una partizione dello spazio degli eventi ?

2 2

(P F P Scrt F) ( / ) +

( )

P Scrt =

i 1

( ) ( ) ( / )

n

i i

P B P a P B a

=

= 

gli eventi

a

_i costituiscono una partizione di

S

se e

1 n

i

i S

a

=

0 =

i j

a a

=

1 2

0 F F =

?

e’ vero che Risp. SI’ e’ vero che F₁ F₂ = S ? Risp. SI’

➢ gli eventi F₁ ed F₂ costituiscono una partizione dello spazio degli eventi dunque

in questo esempio B sarebbe l’evento

Scrt

(5)

per rispondere alla seconda domanda

( )1 0.10

P F = P Scrt F =( / ₁) 0.01

( / ) ( ) ( / )

( )

i i

i

P E C P C P C E

= P E

1 1

1

( / ) ( ) ( / )

( )

P Scrt F P F P F Scrt

P Scrt

=

denominatore = 4.6%

→ teorema di Bayes

dobbiamo calcolare

P F Scrt ( /

_i

)

che in questo caso diviene

inoltre e

quindi ₁ 0.01 0.1

0.046

( / )

P F Scrt =

^

P F S = ( / )

₁

2.17%

come precedentemente calcolato

i 1

( / ) ( ) ( ) ( / C )

i i

n

i i

P E C P C P C P E

=

= 

1 1

2 1

( / ) ( ) ( ) (

_i

/ )

_i

i

P Scrt F P F P F P Scrt F

=

= 

( )

P Scrt =

(6)

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