dell’incertezza di misura (GUM) –

GUM

Guida ISO all’espressione

dell’incertezza di misura (GUM) –

ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

Esercizi

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione:

Il valore vero non esiste, o

Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [µµµµm]

Distribuzione

Istogramma media Distribuzione Normale Box Plot Six Sigma

Incertezza di misura

L’incertezza può essere stimata:

Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza (storico di dati, analisi della documentazione

tecnica, esperienze precedenti …) [CATEGORIA B] FDP ipotizzata

Per mezzo di misure ripetute dello stesso misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata

Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza

combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM)

FORMA SEMPLIFICATA:

Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

( ) ≠

( ) ∑ ( ) _ ^





 



  ⋅





 



∂

= ∂

 



=

= ≠

i

i i

j i

x x u

y y u

j i

j x i

x r

2 2

2

1

, 0

Approccio basato sulla GUM

1) IDENTIFICARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE

- controllare l’applicabilità dell’approccio semplificato

2) IDENTIFICARE LE GRANDEZZE COINVOLTE

- categoria, incertezza, coefficienti di influenza 3) CALCOLARE IL VALORE STIMATO

3) CALCOLARE IL VALORE STIMATO

4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA

- propagare le incertezze

5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA

- scegliere un opportuno fattore di copertura, adeguato al livello di fiducia richiesto

6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSA

G=704±38 MPa (P=99%) oppure G=704±38 MPa (k=2.58) oppure G=704 MPa U_99% (G)=38 MPa

P k

60% 0.84 95% 1.96 99% 2.58

Analisi approfondita: UMF

UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor)

Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione

dell’equazione che descrive il fenomeno.

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA

Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un

trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

2 2

2







 

⋅ 

= y

c x

UMF

Analisi approfondita : UPC

UPC: Uncertainty Percentage Contribution

Indica quanta dell’incertezza combinata dipende dall’incertezza della grandezza in ingresso

Tiene conto sia dell’equazione che rappresenta il modello sia delle incertezze realmente coinvolte modello sia delle incertezze realmente coinvolte

Utile per controllare se vi siano alcune grandezze la cui misura vada migliorata

( ) ^y ( )

u

x u

UPC

c

2 2

⋅

=

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori

ϑ₁=61.5° ϑ₂=-8.0° L=15m h =Ltgϑ

h₁ =Ltgϑ₁ h₂ =Ltgϑ₂ H=h₁+h₂

H=L(tgϑ₁+tgϑ₂)

Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95%

ϑ1

ϑ2

L H

H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Equazione risolvente:

H = L(tg|ϑ

|+tg|ϑ

|)

Grandezze coinvolte:

- L - distanza – incertezza di categoria B

- ϑ

– angolo – incertezza di categoria B

- ϑ

– angolo – incertezza di categoria B

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Grandezze coinvolte: L=15m [m] incertezza di categoria B

misurata per mezzo di un odometro

(diametro = 300 mm, 100 divisioni)

1 division=π∗300mm/100=9.4mm=0.0094m

La semiampiezza a sarebbe dovuta essere uguale a metà della divisione più piccola, ma come regola pratica, se la misura è

1 division=π∗300mm/100=9.4mm=0.0094m si assume una distribuzione uniforme con semiampiezza a pari alla divisione più

piccola

a

x ^u

( )

3 =

=

pratica, se la misura è poco accurata si usa l’ampiezza intera della divisione più piccola.

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Grandezze coinvolte: ϑ

=61.5°=1.073 rad [rad] incertezza di categoria B

misurata per mezzo di un inclinometro

(divisione = 1/10 di grado)

1 divisione = 0.1° = 0.0017 rad 1 divisione = 0.1° = 0.0017 rad

si assume una distribuzione uniforme con

semiampiezza a pari alla divisione più piccola

Lo stesso per ϑ

= -8° = -0.140rad

a x

( )

u 0.0010 3 =

=

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Coefficienti di influenza

=2.0

( )

) tan(

) tan(

) tan(

) tan(

2 1

2 1

ϑ ϑ

ϑ ϑ

L c H

L H

L = +

∂

= ∂

+

=

=2.0

=66 m

=15 m

) (

cos

) (

cos

) tan(

) tan(

2 2

2

1 2

1

2 1

2 1

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

L c H

L c H

c_L L

∂ =

= ∂

∂ =

= ∂

+

∂ =

=

Esercizio 2: Altezza di un edificio

INCERTEZZA COMBINATA, INCERTEZZA ESTESA e

RISULTATI DELLA MISURA

Risultati della misura H 29.73m

H = 29.73 m U_95%(H) = 0.14m H = (29.73 ± 0.14) m (k = 1.96)

H = (29.73 ± 0.14) m (P = 95%)

Analisi critica: UMF, UPC

H 29.73m u(H) 0.07m U(H) 0.14m

k 1.96 u(H)/H 0.2%

Nome UMF UPC L 1.00 2.6%

θ1 2.38 92.5%

θ2 0.07 5.0%

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione:

Il valore vero non esiste, o

Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [µµµµm]

Distribuzione

Istogramma media Distribuzione Normale Box Plot Six Sigma

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Misure diverse della stessa grandezza risultano compatibile, con un certo livello di fiducia, quando i loro intervalli fiduciari si sovrappongono

Es.

Es.

velocità della mia automobile misurata per mezzo di un segnale GPS:

72 ± 1km/h (P = 95%)

velocità della mia automobile misurata per mezzo di un tachimetro 75±7km/h (P=95%)

velocità della mia automobile misurata dalla polizia 80±8km/h (P=95%)

i risultati delle tre misure si riferiscono allo stesso misurando? Le tre misure sono COMPATIBILI?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 95%, perché esiste un intervallo (in rosso) in

comune fra le tre misure

Si può affermare che le tre misure

75 80 85 90

km/h

Velocità

Si può affermare che le tre misure non sono diverse, con un livello di fiducia del 95%

65 70

GPS Speedometer Police

Un ulteriore esempio:

il sistema di controllo di sistema di serraggio indica il valore di F = 89N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N

la forza dello stesso sistema di serraggio viene misurata con misure ripetute utilizzando una cella di carico, ottenendo il seguente

risultato: F = {89,91,90,92,89,89,91} N

le due misure sono COMPATIBILI al 99%?

Compatibilità fra misure diverse della stessa grandezza

Un ulteriore esempio:

F = 89 N con tolleranza al 95% data, pari a 1 N

Incertezza estesa al 95% = 1 N: se si suppone una distribuzione normale, si può calcolare l’incertezza standard (k=1) dividendo per k_95%=1.96 => u(F) = 0.51 N =>

=> U (F) = k u(F) = 2.58 x 0.51 N = 1.3 N

=> U_99%(F) = k_99% u(F) = 2.58 x 0.51 N = 1.3 N intervallo di fiducia = {87.7 N; 90.3 N}

misure ripetute F = {89,91,90,92,89,89,91} N

media: F = 90.14 N; deviazione standard: σ = 1.215 N numero di campioni: n = 7 => v = n-1 = 6 gradi di libertà

Per estendere l’incertezza di misure ripetute con n < 30 si usa la distribuzione t di Student => k = t_99%,v = 3.71 => U_99%(F) = 1.7 N

intervallo di fiducia: {88.4 N; 91.8 N}

Sì, le misure sono compatibili con un livello di fiducia del 99%: i due intervalli si sovrappongono fra 88.4 N e 90.3 N

Esercizio 3: Punta su un disco

Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene

esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura.

Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo

scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?

scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?

Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico?

Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%_FS Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%_FS

p₂≈200kPa p₁=p₂ (d₂/d₁)²

d2=200mm d2=200mm

d1=40mm

d1=40mm dd₀₀=10mm=10mm

1 2 0

2 p F d 



 



=π

Esercizio 3: Punta su un disco

Ipotesi A:

- si utilizza il trasduttore 1 per misurare p2 con un’incertezza di 6 kPa

Risultato della misura

H 393 N

u(H) 12 N

U(H) 23 N

k 1.96

Ipotesi B:

- si utilizza il trasduttore 2 per misurare p1 con un’incertezza di 100 kPa

Risultato della misura

H 393 N

u(H) 8 N

U(H) 16 N

k 1.96 u(H)/H 2.1%

k 1.96 u(H)/H 3.1%

La miglior soluzione è data

dall’ipotesi B, perché l’incertezza che ne deriva è inferiore

Cosa accadrebbe se l’incertezza relativa del

trasduttore 1 fosse pari a 1%_FS?