dell’incertezza di misura (GUM) –

GUM

Guida ISO all’espressione

dell’incertezza di misura (GUM) –

ISO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

Cenni di teoria

Esercizi

Ogni volta che si voglia misurare un fenomeno (o un oggetto) significa che ad esso, che è reale, si sta applicando un modello, di cui si vogliono stimare i parametri caratteristici.

L’incertezza da cui è affetta la stima di un parametro deriva dalle differenze che esistono tra la realtà ed il modello che la rappresenta, dal fatto che i trasduttori con cui la misura viene realizzata non sono ideali,

Incertezza di misura

fatto che i trasduttori con cui la misura viene realizzata non sono ideali, dall’operatore che esegue la misura, da grandezze non sotto controllo che possono interferire con la misura, ecc …

L’incertezza non può essere completamente evitata, la maggior parte di essa può essere stimata, una parte di essa può essere ridotta.

È importante ricordare che il MODELLO è scelto in funzione di ciò che si vuole misurare

Incertezza di misura

Ad ogni misura o stima va associato un valore di incertezza

Approcci diversi conducono alla stessa

Approcci diversi conducono alla stessa conclusione:

Il valore vero non esiste, o

Se il valore vero esiste è sconosciuto

Si utilizzano funzioni di distribuzione di probabilità per descrivere il risultato di una misura

Spostamento Testing Mass - Direzione Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

495 496 497 498 499 500 501 502 503

Spostamento [µµµµm]

Distribuzione

Istogramma media Distribuzione Normale Box Plot Six Sigma

“misurazione”:

processo sperimentale attraverso il quale si ottengono informazioni circa l’intensità di una certa quantità o grandezza

(implica una procedura di misura basata su un MODELLO teorico)

“misurando”:

oggetto di una misurazione, quantità (o grandezza) che deve essere misurata

“misura” o “risultato della misurazione”:

insieme di valori ragionevolmente attribuibili al misurando.

Solitamente la misura è espressa fornendo la stima del misurando con il relativo valore di incertezza.

Terminologia Terminologia

con il relativo valore di incertezza.

“incertezza”:

dispersione dei valori del misurando

“ERRORE”:

quantità che dovrebbe essere corretta o evitata. Termine che non si deve utilizzare riferendosi all’incertezza

“valore vero”:

obiettivo ideale della stima attraverso la misura: non esiste o non è conoscibile

Incertezza di misura

L’incertezza può essere stimata:

Per mezzo di valutazioni basate sull’esperienza (storico di dati, analisi della documentazione

tecnica, esperienze precedenti …) tecnica, esperienze precedenti …) [CATEGORIA B] FDP ipotizzata

Per mezzo di misure ripetute dello stesso misurando (analisi statistica dei risultati) [CATEGORIA A] FDP misurata

Per mezzo della propagazione dell’incertezza, nel caso di misure indirette [incertezza

combinata] FDP combinata

Propagazione dell’incertezza (GUM)

APPROCCIO GENERALE:

Considera eventuali correlazioni

Polinomio approssimato alle derivate di primo grado

Date u(x_i), incertezza associata al valore x_i e r(x_i,x_j),

Date u(x_i), incertezza associata al valore x_i e r(x_i,x_j), coefficiente di correlazione lineare tra x_i and x_j

( )

( ) ^∑∑ ( ) ( ) ( ) _ ^





 



 ⋅ ⋅ ⋅

∂

⋅ ∂

∂

= ∂

=

i j

j i

j i

j i

n

x x

r x

u x

x u y x

y y u

x x

f y

2

,

1

K

Propagazione dell’incertezza (GUM)

FORMA SEMPLIFICATA:

Viene utilizzata quando i parametri sono fra loro indipendenti (non vi sono incertezze correlate)

( ) ≠

( ) ∑ ( ) _ ^





 



  ⋅





 



∂

= ∂

 



=

= ≠

i

i i

j i

x x u

y y u

j i

j x i

x r

2 2

2

1

, 0

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale

Considerando l’immagine sottostante, si vuole

misurare il modulo di elasticità tangenziale G della barra di acciaio per mezzo dell’applicazione di un momento torcente T e della misura dello

spostamento angolare ϑ conseguente.

spostamento angolare ϑ conseguente.

θ

2R

L F

a

Fa T

G R

LT

=

= 2

ϑ π

Esercizio 1: Modulo di elasticità tangenziale

Sono state raccolte le seguenti informazioni sulle grandezze coinvolte:

2R 16 mm (calibro ventesimale)

L 1 m (tolleranza di produzione = ±10mm)

L 1 m (tolleranza di produzione = ±10mm)

2a 240 mm (metro con tacche da 1 mm)

ϑ 0.81 rad (encoder ottico suddiviso in 360 unità)

Della forza F [N] sono state effettuate le seguenti misure ripetute, per mezzo di un dinamometro

digitale:

30.29 30.17 31.22 31.00 30.90 30.94 30.87 29.90 30.35 30.05

Esercizio 1: Soluzione

1) TROVARE L’EQUAZIONE RISOLVENTE CHE LEGHI TUTTI I PARAMETRI:

ϑ π

2 2

G LFa G

R LT

=

 ⇒



= 

È un’equazione in forma chiusa?

È fortemente non lineare nell’intorno del valore stimato?

Le grandezze coinvolte sono fra loro indipendenti?

ϑ π π

4

4

2

R G LFa

Fa T

G

R ⇒ =

 



 

=

2) IDENTIFICAZIONE DELLE GRANDEZZE COINVOLTE:

Categoria [A,B]

Unità di misura

Esercizio 1: Soluzione

2LFa

B [mm]

A [N]

B [MPa] [mm]

Valore stimato

Distribuzione di probabilità

Incertezza associata

Coefficiente di influenza

(derivata parziale del I ordine)

NB: le unità di misura devono essere COERENTI!

ϑ π

2 R G = LFa

B [mm]

B [rad]

[MPa] [mm]

Esercizio 1: Soluzione

1

1

=

=

∑

=

n x x

x

n

j

j

CATEGORIA A:

n misure ripetute

(dello stesso misurando)

Valore stimato

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 ²

1 2

2

1

−

=

− −

=

=

∑

=

=

n

x n x

n n

x s u

n

n

j

j j

υ

media

Incertezza

varianza/n^½

Gradi di libertà

num del campione – num parametri stimati

In teoria i gradi di libertà sono utilizzati per ESTENDERE l’incertezza, noi non li utilizziamo

Esercizio 1: Soluzione

CATEGORIA B:

si ottiene con valutazioni basate sull’esperienza:

stima della FDP e dei sui parametri caratteristici

Triangolare

media = stima ^u

( )

6 ^a

media = stima semiampiezza = a

Uniforme

media = stima semiampiezza = a

Normale

media = stima varianza = σ²

( )

( )

=

x u

x a

u 3

6

a x a

x

σ x

Esercizio 1: Soluzione

Si calcolano i dati statistici derivanti dall’incertezza di categoria A

Il modo migliore di procedere è riempire una tabella nelle cui righe si trovano le grandezze coinvolte e nelle colonne i valori necessari per calcolare l’incertezza

Incertezza Standard

Esercizio 1: Osservazioni

Quando nella stima dell’incertezza di misura il principale contributo è rappresentato dalla

risoluzione, si utilizza il seguente approccio:

FDP uniforme: semiampiezza = metà risoluzione ma come regola pratica si usa comunemente

FDP uniforme: semiampiezza = risoluzione FDP uniforme: semiampiezza = risoluzione in favore della sicurezza

Quando si misurano grandezze indirette è importante ricordare di calcolarne l’incertezza utilizzando il metodo di propagazione. Ad es. se 2R è un diametro, misurato con un’incertezza di 0.028 mm, e si vuole calcolare il raggio R:

u²(R)=u²(2R)/4=>u(R)=u(2R)/2

Esercizio 1: Soluzione

Si stimano i coefficienti di influenza c_i utilizzando le derivate parziali, calcolate

numericamente o analiticamente nel valore stimato della grandezza considerata.

Se necessario si calcolano i coefficienti di correlazione, sebbene sia meglio, se possibile, scrivere l’equazione che descrive il fenomeno in modo che tutte le grandezze siano indipendenti fra loro.

( ) ( )

ϑ π ϑ

π ϑ

ϑ π ϑ

π ϑ

π

ϑ π

4 2

4 5

4 4

2 2

2 2

2 4

2 2

8 2

2

2

R La F

G R

LFa G

R LFa R

G R

FL a

G R

Fa L

G

c x u y

x u c y

R G LFa

i

i i i

i

∂ =

− ∂

∂ =

− ∂

∂ =

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

⋅

=

 ⇒









∂

= ∂

=

∑

Esercizio 1: Soluzione

3) CALCOLARE LA STIMA DELLA GRANDEZZA DERIVATA 4) CALCOLARE L’INCERTEZZA COMBINATA

L’incertezza può essere espressa con al più due cifre significative e il valore stimato deve avere la stessa risoluzione dell’incertezza

Esercizio 1: Soluzione

5) CALCOLARE L’INCERTEZZA ESTESA

Si sceglie un livello di fiducia: es. 99%

Si determina il fattore di copertura utilizzando la distribuzione normale standardizzata

k y

u y

U ( ) = ( ) ⋅

P k

6) SCRIVERE IL RISULTATO IN FORMA RIGOROSA G=704±29 MPa (P=99%) oppure

G=704±29 MPa (k=2.58) oppure G=704 MPa U_99% (G)=29 MPa

k y

u y

U ( ) = ( ) ⋅

P k

60% 0.84

95% 1.96

99% 2.58

Esercizio 1 : Analisi approfondita

UMF: Fattore di amplificazione (Uncertainty Magnification Factor)

Indica di quanto viene amplificata l’incertezza di ciascuna grandezza in ingresso in funzione

dell’equazione che descrive il fenomeno.

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA

DIPENDE SOLO DALL’EQUAZIONE SCELTA

Utile nell’analisi che precede l’acquisto di un

trasduttore, in modo da identificare le grandezze più (UMF>1) o meno (UMF<1) critiche

2 2

2







 

⋅ 

= y

c x

UMF

Nome UMF

L 1.00

a 1.00

R 4.00

θ 1.00

F 1.00

Esercizio 1 : Analisi approfondita

UPC: Uncertainty Percentage Contribution

Indica quanta dell’incertezza combinata dipende dall’incertezza della grandezza in ingresso

Tiene conto sia dell’equazione che rappresenta il modello sia delle incertezze realmente coinvolte modello sia delle incertezze realmente coinvolte

Utile per controllare se vi siano alcune grandezze la cui misura vada migliorata

( ) ^y ( )

u

x u

UPC

c

2 2

⋅

=

Name UPC

L 6.6%

a 2.3%

R 20.5%

θ 60.9%

F 9.7%

Riassunto dell’approccio basato sulla GUM

VANTAGGI:

Facile da usare, semplicità dei calcoli richiesti

Permette di introdurre utili indicatori (UPC,UMF)

Permette di ottenere una visione globale del processo di misura

misura

SVANTAGGI:

L’approssimazione del problema è solo al primo ordine

Richiede che l’equazione risolvente sia in forma chiusa

Può nascondere gradi di libertà

Esercizio 2: Altezza di un edificio

Dalle misure di un edificio ottenute utilizzando un odometro avente diametro = 300 mm e 100 divisioni ed un inclinometro, avente passo pari a 1/10 di grado, si sono ottenuti i seguenti valori

ϑ₁₁=61.5° ϑ₂₂=-8.0° L=15m h₁ =Ltgϑ₁

h₂ =Ltgϑ₂ H = h₁+h₂

H = L(tgϑ₁+tgϑ₂)

Ricavare l’altezza dell’edificio come misura indiretta, scrivendo il risultato in forma rigorosa, riportando l’incertezza di misura estesa al 95%

ϑ1

ϑ2

L H

H=29.73 ± 0.14 m (k=1.96)

Esercizio 3: Punta su un disco

Viene chiesto di misurare il carico applicato ad una punto che striscia su un disco che ruota in una prova volta a determinare il coefficiente di attrito fra i due oggetti, in funzione del materiale di cui sono costituiti. Il carico viene

esercitato per mezzo di un attuatore idraulico, utilizzando un moltiplicatore di pressione rappresentato in figura.

Sapendo che il diametri sono stati misurati utilizzando un calibro ventesimale e considerando le pressioni in figura, quale trasduttore è il più adatto allo

scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?

scopo, sapendo che hanno lo stesso prezzo?

Quale incertezza può essere associata alla misura dal carico?

Trasduttore 1: fondo scala = 300 kPa, incertezza complessiva = 1%_FS Trasduttore 2: fondo scala = 10 MPa, incertezza complessiva 2%_FS

p₂≈200kPa p₁=p₂ (d₂/d₁)²

d2=200mm d2=200mm

d1=40mm

d1=40mm dd₀₀=10mm=10mm

1 2 0

2 p F d 



 



=π