Dott: Gianluca Pagnoni

Fisica B

Esercitazioni

Dott: Gianluca Pagnoni

E-mail: gianluca.pagnoni3@unibo.it

Due cariche elettriche sono disposte come indicato in figura. Calcolare il rapporto delle cariche affinché il campo elettrico nel punto P sia nullo.

( )

4 4

2 1

; 4

4 9 1 2

3

2 2 0

0

d

d q r

E d

d Q r

E

πε

πε ^{= = −}

= −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ =

d

-Q

+q

d/2

9

; 9 0

1

2 0

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

+ Q

Q q q

E d E

πε

2

4

r E Q

= πε

= 9 Q

Il campo elettrico si annulla nel punto P se:

q

Due cariche elettriche sono disposte come indicato in figura. Calcolare il

potenziale elettrostatico in un generico punto dell’asse x. Determinare in quale punto dell’asse si annulla la derivata del potenziale elettrostatico rispetto alla variabile x e commentare il risultato.

d x

Q x

V q

+ −

=

0

0

4

1 4

1

πε πε

d x

+Q +q

Assumendo l’origine nella posizione di q otteniamo:

Quindi se x>d :

d x

Q x

V q

+ −

=

0

0

4

1 4

1

πε πε

x d

Q x

V q

+ −

=

0

0

4

1 4

1

πε

se 0<x<d :

πε

Si vede subito che la derivata non può mai annullarsi nel primo caso mentre può farlo nel secondo caso. Quindi

d x

+Q +q

( ) ( ) ^⎟⎟ _⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

−

− = +

−

∂ =

∂

2 2 0

2 0

2

0

4

1 4

1 4

1

x d

Q x

q x

d Q x

q x

V

πε πε

πε

In questo punto il campo elettrico complessivo è nullo

( )

( )

2

0 ;

x d

Q x

q x

d Q x

q

= −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

−

( )

q Q x

d q Q x

d q Q x

x d

q Q x

x

d − = − = = +

− =

1

; 1

;

2

;

2

q Q x d

+

=

1

Calcolare la capacità di un condensatore sferico avente le armature interna ed esterna di raggio r₁ e r₂rispettivamente.

1

2 1

2 1

2 1

2

1 4

1 4

4 1

0 0

2 0 1

2

r

r r

r r

r r

r

r

Q r

dr Q r

dl Q E V

V ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡−

−

=

−

=

−

=

− ∫ ^r ∫ _{πε πε πε}

Assumendo che l’armatura esterna carica negativamente e quella interna carica positivamente otteniamo:

1 2

2 1 0 2

1 0

1 4 1

4 r r

r C r

r r

Q

= −

⎟⎟ →

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= πε

πε

Partiamo dalla definizione di capacità come rapporto tra la carica Q che accumulata sulle piastre e la differenza di potenziale ΔV tra di esse:

C = Q / ΔV

La differenza di potenziale elettrostatico tra due punti A e B è definita come il lavoro cambiato di segno per portare la carica unitaria da A a B.

Un circuito costituito da un condensatore a facce piane parallele di forma circolare avente una carica Q (sia S la superficie delle armature e d la loro distanza) e da una resistenza R, è inizialmente aperto.

1) Calcolare il campo elettrico tra le armature.

Al tempo t=0 il circuito viene chiuso ed il condensatore comincia a scaricarsi:

2) Determinare la carica sulle armature in funzione del tempo.

Questo fatto determina una variazione temporale anche del campo elettrico tra le armature.

3)Determinare la corrente di spostamento attraverso una superficie circolare posta tra le armature.

S E Q

0

0

ε

ε σ ₌

=

= 0

− + V

V

Ri

t

e Q Q

RC Q Q

C Q Q

R + = = − 1 ; =

; 1 0 &

&

RC t

S e Q S

E = Q =

ε

ε

RC t

S e Q S

E = Q =

0 0

0

ε

ε

=

= Σ

= Σ

= Σ

⋅

= ∫∫ ∫∫ ∫∫

Σ Σ

2 0

0 0

0

E r

dt d d

dt E Ed d

dt d d

dt E i d

S

S

ε ^{r r} ε ε ε π

RC t RC

t

SRC e r Q

RC e S

r Q dt

r dE = −

= −

=

0 2 0

0 2

0

1 π

π ε ε π

ε

2d

i₁ i₂

d

i₃ Iniziamo calcolando il campo magnetico generato

dalle correnti i₁ e i₂:

( ) ( )

2 2 0 2

2

1 0 1 1

1

2 2

r r i

B

r r i

B

π μ

π μ

=

= r

r

Entrante nel foglio fra i due conduttori

Sia

r = r

r

= 2 d − r

= 2 d − r

quindi possiamo riscrivere il campo magnetico totale come:

( ) ( )

( ^{d r} )

r

ri i

r d r

d i r

r i

B −

+

= − + −

= 2

2 2

2 2

2

2 1

0 2

0 1

0

π

μ π

μ π

μ

r

Sui lati ortogonali (2-4) ai fili agiscono forze uguali ed opposte che si cancellano fra di loro

Sui lati paralleli agiscono forze uguali ed opposte ma diverse in modulo

costante su tutto il filo

2d

i₁ i₂

d

i₃ 1

2 3 4 Sia R la distanza fra il lato 1 ed il filo 1 per la legge di Lorentz:

B l

d i F

d r r r

×

=

^{B r}

l d B r r

⊥

( ) ^{R dl i d B} ( ) ^R

B i

F

d

⋅

=

⋅

= ∫

0 3 1

r

( ^{R d} )

B d i

F r

= −

⋅ +

2

0

1

+ =

= F F R r r r

( ) ( )

[ ] ⁰

3

d ⋅ B R − B R + d =

i [ ^B ( ) ( ^{R − B R + d} ) ] ^{= 0}

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

= d r

i r

r i

B 2 2

2 1

π

μ

r 0

2 2

2 1

2

1

=

−

− −

− + + −

d R

d i d

R i R

d i R

i

Jl

I = dI = Jdx

2 0 0

2

0

2 a 2 d

a x axdx

Jdx I

d d d

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

=

= ∫ ∫

∫ ^{⋅ = ×}

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r

∫ ^{⋅ = ×}

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r

∫ ^{B r ⋅ dl = μ}

^I

× =

= ×

= ×

m H

m Wb m

I Wb /

10 4

10 9

. 1 /

10 9

. 1

7 5

0 5

π μ

H A

Wb 15

15 =

=

∫ ^{⋅ = ×}

=

=

=

m Wb dl

B

ax x

J

m cm

d

/ 10

9 . 1 )

(

06 . 0 6

r

A a d

I 15

2

2

=

=

2 3

3

2

8 . 4 10

10 6 . 3

30 15

2 A A A m

a d

= ⋅

= ⋅

= ⋅

d I x I ₌ δ

Il campo magnetico può essere calcolato come la somma dei contributi delle strisce parallele di

larghezza dx

d x x Ix

J

I = δ = ²

δ

se I fosse costante

( ) ^{r x d Ix x d} ( ^{r I d x} ) ^{x x}

B

P

π δ δ μ

π δ μ

−

= +

=

2

2

δ x

x

P

R

( ) ( ) ( ) ( ) _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ + +

− =

= +

−

= ∫ _{d r} ^Ix + _d ^x _{x d} ^I ∫ _r ^x _d ^x _{x d} ^{I r d d} _r ^d

r B

d

o d

o

1

2

ln

0 2

0 2

0

π

μ δ

π μ π

δ

μ