Dott: Gianluca Pagnoni

Fisica B

Esercitazioni

Dott: Gianluca Pagnoni

E-mail: gianluca.pagnoni3@unibo.it

Operatore differenziale Nabla

k z j y

i x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ r ˆ ˆ ˆ

Consideriamo un campo vettoriale generico:

v k v

j v

i

v r = ˆ + ˆ + ˆ

z z

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ ˆ ˆ 1 ˆ

φ φ ρ

ρ ρ

r

φ φ θ

θ θ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

≡ ∂

∇ sin

ˆ 1 ˆ 1

ˆ r r r

r r

coordinate cartesiane

coordinate cilindriche

coordinate sferiche

Può essere applicato come divergenza e restituisce un numero reale:

z y

x

v

v z v y

v x

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

⋅

∇ r r

Può essere applicato come rotore e restituisce un’ altro campo vettoriale

(

^{y z z y}

) ⁽

^{x z z x}

⁾ (

^{x y y x}

)

z y

x

z y

x

i v v j v v k v v

v v

v

k j

i

v = ∂ ∂ ∂ = ∂ − ∂ − ∂ − ∂ + ∂ − ∂

∧

∇ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

r r

dove:

z y x

z y x

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

∂

∂ =

∂

Data una

funzione f ( x , y , z )

Il gradiente è: f k

j z y f

i x f

f ˆ ˆ ˆ

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ r

Calcolare la divergenza del campo vettoriale

^{v r =} ( ^x

²

^{, xy , xy z} )

( ) ⁼

 ⋅





 



∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ x xy xy z

z y

v r x , ,

²

, ,

Calcolare il rotore del campo vettoriale

^{v r =} ( ^x

²

^{, xy , xy z} )

( ^{∂ − ∂} ) ^{− ( ∂ − ∂ ) +} ( ^{∂ − ∂} ) ⁼

=

×

∇ v r

_y

v

_{z z}

v

_y

i ˆ

_x

v

_{z z}

v

_x

ˆ j

_x

v

_{y y}

v

_x

k ˆ 2 x + x − xy z

2

( ^{x z − 0} ) ( ^{i ˆ − y z − 0} ) ( ^{ˆ j + y − 0} ) ^{k ˆ = x z i ˆ − y z ˆ j + y k ˆ}

=

Siano dati il vettore costante e il campo vettoriale . Calcolare il gradiente della grandezza .

( ^{x xy xy z} )

v r =

²

, ,

v c r r

⋅

( c

1

, c

2

, c

3

)

c r =

( )  ( ) ( ) ⁼





 



∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ c c c x xy xy z

z y

v x

c r , ,

₁

,

₂

,

₃ ²

, ,

( ^{+ +} ) ⁼

 



 



∂

∂

∂

∂

∂

= ∂ c x c xy c xy z z

y

x

^{2 3}

2

,

1

,

( ^{2 c}

¹

^{x + c}

²

^{y + c}

³

^{y z , c}

²

^{x + c}

³

^{x z , − c}

³

^{xy z}

²

)

=

Sia il campo vettoriale

F : ℜ

²

→ ℜ

²

( ) ( ) ^{  }



 





− +

= +

_{2 2}

2

1

, 1 1

, 2

x x y xy

x F

Dire se ammette potenziale e in caso affermativo determinare f di F .

( )

( ) (

²

)

^{2 2}

^{( )}

²

1

2 1

1 , 1

, 1

, 2 ,

y x x f x

y xy x f

f f F

− + + =

=

=

2 2

2

1

, f ∈ C

^∞

su ℜ → F ∈ C

^∞

su ℜ f

Poniamo

con

( ) ( )

(

²

)

²

2 1

1 , 2

,

x y x

y x y f

x x f

+

∂ =

= ∂

∂

∂

F

è semplicemente connesso

F

è conservativo

Determiniamo ora un potenziale f di

F.

Si ha che

Integrando la seconda rispetto

y

si ottiene

Sostituendo nella prima

( ) ( ) ( )

( )

2

( )

₂

2 2 1

1 , 1

,

1 , 2

,

y x x f y

y x f

x y xy

x f y

x x f

− +

=

∂ =

∂

= +

∂ =

∂

( ) ^c ( ) ^x

x dy y

y x x

f +

− + + =

−

= ∫ ₁ ¹

²

₁

²

,

( ) ^{∂ =} ( ⁺ ) ^{+ ′ ( ) =} ( ⁺ ) ^{⇒ ′ ( ) = ⇒ ( ) = ∈ ℜ}

∂ c x c x c

x x xy

c x

xy x

y x

f 0

1 2 1

2 ,

2 2 2 2

( ) ^{+ ∈ ℜ}

− +

= c c

x y y

x

f ,

, 1

₂

Otteniamo che un potenziale

f

di

F

è

1 - metodo: calcolo diretto

( )

∫∫

∫∫

Σ Σ

⋅

= Σ

⋅

1 1

) ,

0 , 0 ( ,

3 x , y z x y

v ^r δ ^r a δ δ ^{v a} ( ^{x y z} )

y x , 3 ,

) ,

0 , 0 (

=

= Σ r

r δ δ

δ

=

=

= ∫∫ ∫∫

Σ

Σ₁

3 a 3 L 2

₁

x y y

x a z

δ δ δ

δ

6 6

3

2

aL

aL L

=

=

x

y z

L

L

δΣ v

L/2

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato

L

centrata nell’origine

) , , 3 (

1 a x y z

v r =

∫∫∫ ∫∫

Σ Σ

Σ

⋅

=

⋅

∇

V

v V

v

r r

r δ δ

Calcoliamo allora

v r

⋅

∇

a a a

a z a

y z x

y

v x  ⋅ = + + =





 



∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⋅

∇ r , , ( , , ) 3 3 3 3

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

Σ Σ

=

=

= Σ

⋅

Σ V V

aL V

a V

a

v ^r δ ^r δ δ

³

2 - metodo: utilizziamo il teorema della divergenza

Dato il campo vettoriale calcolarne il flusso attraverso una superficie cubica di lato

L

centrata nell’origine

) , , 3 (

1 a x y z

v r =

=

−

=

∫

^B

⋅

^{A B}

A

V V

l E

r r

δ ^{ =}



 



 −

2 1 1

4

₀

L L

Q

πε L

Q

2 1 2 4

₀

= −

πε r r

E Q 1 ˆ

4 πε

₀ ²

r =

( ) = + V

∞

r r Q

V

4

0

1 πε r

L

Q 2 2

4

₀

= −

πε

Calcolare l’integrale di linea del campo elettrostatico generato dalla carica elettrica q lungo il percorso tratteggiato che congiunge A e B

B

L

q ^A

L

Campo elettrostatico è conservativo

gradV

E r = −

( )

²

4

0

1

x d

L E

_x

x

= −

λ λδ δ πε

( )

∫ _{+ −}

=

^L

x

L d x

E x

0

2

4

0

δ πε

λ

( ) ^{   =    − +   }

 



−

= +

L d

d x

d E L

L x

1 1

4 1

4

_{0 0}

πε

₀

λ πε

λ

( ^{d L} )

d

L

= +

4 πε

0

λ

Calcolare modulo direzione e verso del campo elettrostatico generato nel punto P dalla

distribuzione lineare finita ed uniforme di carica elettrica indicata in figura

E

r _P

L d

λ

( )

∫ ⁻ ₊ ⁺ ₋ ⁻

=

^L

x

L d x

x d

E L

0

2 0

) (

4

δ πε

λ

∞

∫

∞_P

=

^P

F

_est

⋅ l L

r r

δ

R

P

λ

q

∞

E q F

_est

r r = −

(

P

)

P

P

P

q E l q V V qV

L = − ⋅ = −

_∞

− =

∞

∞

∫ ^{r δ r} V

∞

^{= 0}

0 0

0

2 2

4 4

1

ε π λ

πε λ λδ

πε ^{= =}

= ∫ _R ^l _R ^R

V

anello P

2 ε

0

λ L

_∞P

= q

dove è il campo elettrico generato dall’anello carico

E r

( ) = + V

∞

r r Q

V

4

0

1 πε r

Data una distribuzione lineare di carica elettrica in forma circolare di raggio

R

, ed avente densità lineare

λ

uniforme, calcolare il lavoro necessario per trasportare una carica puntiforme

q

dall’infinito al centro della distribuzione stessa