Complementi di Analisi Matematica A.A. 2005/2006
Soluzioni dell’esercizio sulle serie di Fourier preparato per l’appello del 19 Dicembre 2005
Disegnare il grafico della funzione definita sull’intervallo [0, 1] da f (x) = x− x2
ed estesa a tutto R per periodicit`a (con periodo T = 1) e rispondere ai seguenti quesiti.
1. Determinare la pulsazione associata al periodo T = 1.
ω = 2π T = 2π
2. Determinare la componente continua, la componente fondamentale e la k-sima armonica di f e le loro ampiezze e fasi.
Componente continua: ˆf0 =< f, 1 >=
Z 1 0
(x− x2) dx = 1/6
fˆk =< f, exp(ikωt) >=
Z 1 0
(x− x2) e−ikωxdx = 1
−ikω Z 1
0
(x− x2) d e−ikωx =
= i kω
(x− x2) e−ikωx1 0− i
kω Z 1
0
(1− 2x) d e−ikωx
=
= 1
k2ω2
(1− 2x) e−ikωx1 0−
Z 1 0
(−2) e−ikωxdt
=− 2 k2ω2 Componente principale: ˆf−1e−iωx+ ˆf1eiωx =− 4
ω2cos(ωx) = − 1
π2 cos(2πx) ampiezza: A = 1
π2 fase: φ = π k-sima armonica: ˆf−ke−ikωx+ ˆfkeikωx=− 1
k2π2 cos(2kπx) ampiezza: A = 1
k2π2 fase: φ = π 3. Scrivere la serie di Fourier di f .
1 6− 1
π2 X
k≥1
cos(2kπx) k2
4. Scrivere l’identit`a di Parseval (o uguaglianza dell’energia) per f . E =< f, f >=
Z 1 0
(x− x2)2dx = [x3/3− 2x4/4 + x5/5]10 = 1 30 =
= 1 36 + 1
π4 X
k≥1
1 k4
5. Verificare direttamente che la serie del punto (3) converge uniformemente e quindi puntualmente. Verificare che la funzione f soddisfa ad uno dei criteri di convergenza uniforme per le serie di Fourier.
Poiche’ la serie armonica generalizzata X
k≥1
1/k2 converge, allora la serie del punto (3) converge totalmente e quindi uniformemente e quindi puntualmente.
La funzione f ´e continua, C∞ in R − Z e f0 ha limite destro uguale a −1 e limite sinistro uguale a 1 per x→ k ∈ Z.
6. Usare il punto precedente per dedurre la somma della serie armonica genera-
lizzata X
k≥1
1 k2 .
Dal punto (3) usando la convergenza puntuale otteniamo 0 = f (0) = 1
6− 1 π2
X
k≥1
1 k2 X
k≥1
1 k2 = π2
6
2
