Complementi di Analisi Matematica, A.A. 2005/2006
Argomenti delle lezioni sulle Serie di Fourier tenute dalla prof. G. Stefani
Riferimenti bibliografici
[1] Weinberger H.F. A first course in PDE Dover publications, INC
[2] Giaquinta M. Modica G. Note di metodi matematici per l’ingegneria informatica. Pitagora editrice.
[3] Mugelli F. Metodi Matematici per l’Ingegneria dell’Informazione, appunti in rete
[4] Poggiolini L. Complementi di Analisi Matematica, note integrative in rete Gli argomenti svolti in queste lezioni si trovano in [2]; in [1] si trovano le proprieta’
e le uguaglianze riguardanti specificamente le serie di Fourier e serie di Fourier generalizzate. Per prodotti hermitiani o scalari, gli spazi di Hilbert e le serie di Fourier si veda anche [3]. Prerequisiti alle lezioni si trovano in [4]
Gioved`ı 10/11 - Polinomi trigonometrici
Definizione di funzione armonica (o segnale sinusoidale o funzione circolare) di pulsazione ω come soluzione dell’equazione differenziale
¨
x + ω2x = 0.
Quindi
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) = A cos(ωt + ϕ), dove
a. A =√
a2+ b2 si chiama ampiezza
b. ϕ `e tale che exp(iϕ) = (a− ib)/A e si chiama fase
c. T = 2π/ω `e il periodo della funzione e 1/T = ω/(2π) `e la frequenza
Con notazioni complesse si ha per una funzione reale armonica di pulsazione ω x(t) = c exp(−iωt) + ¯cexp(iωt)
Esercizi
1. Trovare la relazione fra (a, b)∈ R2 e c∈ C
2. Trovare la relazione fra (A, ϕ)∈ R+× [0, 2π) (o R+× (−π, π]) e c ∈ C 3. Disegnare i grafici di funzioni armoniche di pulsazione ω = 1, 2, 1/2, 3, 1/3, ...
4. Dimostrare che l’insieme delle funzioni armoniche reali di pulsazione ω `e uno spazio vettoriale reale di dimensione uguale a 2
Pi`u in generale: si definisce funzione armonica di pulsazione ω z(t) = c exp(−iωt) + d exp(iωt), c, d ∈ C Polinomio trigonometrico di periodo T 6= 0 e grado n P (t) =
Xn k=−n
ckexp(ikωt) = Xn
k=0
(akcos(kωt)+bksin(kωt) , ck, ak, bk ∈ C , ω = 2π/T.
• c0 = a0 si dice componente continua di P
• c−1exp(−iωt) + c1exp(iωt) = a1cos(ωt) + b1sin(ωt) si dice componente fon- damentale di P
• c−kexp(−ikωt) + ckexp(ikωt) = akcos(kωt) + bksin(kωt) , k > 1, si dice k-sima armonica di P
• ˜P = (c−n, .., c0, .., cn) si dice lo spettro di P Esercizi
1. Trovare la relazione fra ck, k =−n, . . . , n, e ak, bk, k = 0, . . . , n,
2. Verificare che P `e a valori reali se e solo se c−k = ¯ck, ∀k, equivalentemente ak, bk∈ R.
3. Verificare che P `e una funzione periodica di periodo T .
4. Verificare che se c−kexp(−ikωkt) + ckexp(ikωkt) = akcos(kωt) + bksin(kωt) `e periodica di periodo T, allora ωk/ω ∈ Z.
Luned`ı 14/11
Posto FnT l’insieme dei polinomi trigonometrici complessi (reali) di periodo T, si dimostra
1. FnT `e uno spazio vettoriale di dimensione complessa (reale) 2n + 1 2. < P, Q >= 1
T Z T
0
P (t) ¯Q(t)dt = 1 T
Z T /2
−T/2
P (t) ¯Q(t)dt definisce un prodotto hermitiano (scalare) suFnT, per la definizione di prodotto hermitiano (scalare), vedi anche [3]
3. < P, Q >=< ˜P , ˜Q >= prodotto hermitiano (scalare) canonico in Cn in (Rn.)
4. β ={exp(−inωt), .., 1, .., exp(inωt)} e γ = {1, cos(ωt), sin(ωt), .., cos(nωt), sin(nωt)}
sono basi ortonormali
5. ck =< P, exp(ikωt) >= (1/T ) Z T /2
−T/2
P (t)exp(ikωt)dt = (1/T )¯ Z T /2
−T/2
P (t)exp(−ikωt)dt
6. Uguaglianza dell’energia o identita’ di Parseval: l’energia del polinomio
`e uguale alla somma delle energie delle sue parti continua, fondamentale e armoniche
||P ||2 (= energia del polinomio) = Xn
−n
|ck|2
7. Se m < n allora FmT ⊂ FnT e per ogni P ∈ FnT la minima distanza di P da FmT `e data dalla distanza di P dalla sua proiezione ortogonale su FmT, indicata con Pm
Pm = Xm
−m
ckexp(ikωt), P − Pm = componente ortogonale a FmT
d(P,FmT) =||P − Pm||
Esercizi.
(a) Determinare la componente di P ortogonale aFmT e la distanza d(P,FmT) in funzione delle ck e delle ak, bk
(b) Verificare che d(P,FmT) = min{||P − Q|| : Q ∈ FmT} SPAZI DI HILBERT I
1. Spazio pre-Hilbert come spazio normato in cui la norma `e data tramite un prodotto hermitiano (scalare) ||v||2 =√
< v, v >
2. Spazio di Hilbert complesso (reale) = spazio pre-Hilbert completo, equiva- lentemente, spazio di Banach in cui la norma e’ data mediante un prodotto hermitiano (scalare)
3. Esercizio. Dire quali degli spazi normati, contenuti negli esercizi 4.2.1,..,4.2.5.
di [4], sono pre-Hilbert.
Mercoled`ı 16/11
SPAZI DI HILBERT II
1. Definizione di spazio pre-Hilbert, vedi anche [3]
2. Le proprieta’ della norma discendono da quelle del prodotto hermitiano (da verificare come esercizio), in particolare:
3. verificare che, se la norma e’ definita tramite prodotto scalare vale la disugua- glianza di Schwartz, (vedi [3])
4. verificare che dalla disuguglianza di Schwart segue la disuguaglianza triango- lare.
5. Esempi. Tutti gli spazi con prodotto Hermitiano di dimensione finita sono completi e quindi di Hilbert, in particolare Rn,Cn con i prodotti canonici e FnT con il prodotto hermitiano definito lunedi’ 14/11.
6. Esercizio. Verificare che lo spazio C0([0, T ],C) delle funzioni continue su [0, T ] a valori complessi con il prodotto Hermitiano
< f, g >= (1/T ) Z T
0
f (t)¯g(t) dt
`e pre-Hilbert e non Hilbert sulla successione di funzioni fn(x) =
((2x/T )n se x∈ [0, T/2]
1 se x∈ [T/2, T ]
7. Posto che per le successioni {an}n∈Z le somme parziali della serie associata sono definite come
sn =Pn
−nak,
definiamo lo spazio delle successioni a quadrato sommabile come
`2 ={c : Z → C t.c. P∞
−∞cn¯cn<∞}
con prodotto scalare < c, d >=
X∞
−∞
cnd¯n <∞.
Sia en = (.., 0, 1n, 0, .., 0, ..); l’insieme{en: n∈ Z} definisce un sistema orto- normale completo di generatori, cioe’ un insieme di elementi ortonormali tale che ogni elemento in `2 si puo’ scrivere come limite (in `2) di combina- zioni lineari finite degli elementi dell’insieme. La dimostrazione (da fare per esercizio) e’ una diretta conseguenza delle definizioni.
Esercizio. Verificare che `2 e’ di Hilbert, vedi anche l’esercizio 4.2.5 di [4].
Gioved`ı 17/11 - SERIE DI FOURIER
In quanto segue T = 2π e quindi ω = 1. Sara’ cura dello studente estendere quanto verra’ detto a un generico periodo, mediante la relativa pulsazione. In tutti gli oggetti relativi ad un periodo 2π, verra’ soppresso l’indice riguardante il periodo, ad esempioFn e’ l’insieme dei polinomi trigonometrici di grado n e di periodo 2π.
A. Lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile secondo Lebesgue ´e dato dallo spazio vettoriale
L2 := L2([−π, π], C) = {f : [−π, π] → C t.c.
Z π
−π|f(t)|2dt <∞}
con un prodotto hermitiano definito da
< f, g >:= (1/2π) Z π
−π|f(t)¯g(t)|2dt.
L’integrale ´e l’integrale di Lebesgue e due funzioni che coincidono quasi ovunque devono intendersi uguali.
Esercizio. Scrivere esplicitamente la norma ||f||2, indotta dal precedente pro-
B. Si ricorda che tutte le funzioni integrabili secondo Riemann (in senso genera- lizzato) sono integrabili secondo Lebesgue, quindi tutte le funzioni limitate e integrabili secondo Riemann sono in L2, in particolare sono in L2 tutte le fun- zioni continue, eccetto un numero finito di punti, con discontinuita’ di salto.
Esercizio. Provare che f (t) =|t|−α ∈ L2 se e solo se α < (1/2).
C. Teorema- L2 e’ uno spazio di Hilbert.
Scrivere esplicitamente le disuguaglianze di Schwartz e triangolare in questo caso, vedi anche [3].
D. Poiche’ le funzioni in L2 sono definite su [−π, π] a meno di un insieme di misura nulla, si possono pensare come funzioni definite su tutto R e periodiche.
Identificheremo L2 con lo spazio delle funzioni periodiche a quadrato sommabile su un (qualsiasi) periodo
E. ||f||22 si dice energia di f.
F. Esempi. {fk = exp(ikt), k∈ Z} e’ un sistema ortonormale in L2, cioe’
< fk, fh >= δhk
Fn e’ un sottospazio di dimensione finita di L2.
G. ∀f ∈ L2, definiamo i coefficienti di Fourier di f come ˆfk =< f, fk>, k ∈ Z, fˆk = (1/2π)
Z π
−π
f (t) exp(−ikt)2dt e la proiezione ortogonale di f su Fn come
Sn(f ) = t7→
Xn n
fˆkexp(ikt)
f =˜ { ˆfk}k∈Z e’ detto spettro in frequenza di f.
In maniera analoga a quanto fatto per i polinomi trigonometrici, si definiscono:
la componente continua, la componente principale e le armoniche k- sime per k > 1.
Sn(f ) e’ detto anche polinomio trigonometrico approsimante f.
Esercizi. Tutte le seguenti affermazioni si dimostrano con argomenti puramente algebrici.
(a) Verificare che f − Sn(f ) e’ ortogonale a Fn, basta verificarlo per una base ortonormale diFn.
(b) Verificare che la distanza di f da Fn := min{||f − Q||2 : Q∈ Fn} e’ data da
d(f,Fn) =||f − Sn(f )||2.
Basta usare la decomposizione ortogonale f =Sn(f ) + (f − Sn(f )).
(c) Verificare che
||f − Sn(f )||22 =||f||22− Xn
−n
| ˆfk|2 > 0 e quindi vale la disuguaglianza di Bessel
||f||22 ≥ Xn
−n
| ˆfk|2
H. Teorema. La successione dei polinomi trigonometrici approssimanti converge a f nello spazio L2 :
Sn(f )→ f in L2.
Per la validita’ del teorema e’ essenziale che le funzioni siano a quadrato som- mabile in senso di Lebesgue. Ricordiamo che la convergenza in L2 significa
||f − Sn(f )||2 → 0, Quindi per l’esercizio (c) del punto G segue:
l’uguaglianza dell’energia o identita’ di Parseval: l’energia della funzione `e uguale alla somma della serie delle energie delle sue parti continua, fondamentale e armoniche
||f||22 = X∞
−∞
| ˆfk|2.
I. Diremo quindi che f ∈ L2 e’ sviluppabile in serie di Fourier e scriveremo f (t) =
X∞
−∞
fˆkexp(ikt) in L2
Esercizio Riflettere su cosa vuol dire la precedente uguaglianza.
J. La legge f ∈ L2 7→ ˜f = { ˆfk}k∈Z ∈ `2 definisce una applicazione lineare iniettiva che rispetta i prodotti hermitiani, cioe’ si ottiene lo stesso risultato facendo il prodotto scalare < f, g > o < ˜f , ˜g > nei rispettivi spazi.
Teorema. La precedente applicazione e’ suriettiva.
Esercizio Riflettere su cosa vuol dire che la precedente applicazione e’ suriettiva, verificando che la successione ˜f definita da
fˆk =
(0 se k ≤ 0
1/k se k ≥ 1
appartiene a `2, considerando la corrispondente funzione f ∈ L2 e valutando che se l’uguaglianza fosse vera per ogni t e non quasi ovunque, si avrebbe f (0) =∞.
Criteri di convergenza
1. Si dice che una funzione e’ C1a tratti se, su ogni intervallo limitato, f e f0 sono continue eccetto al piu’ un numero finito di punti e le eventuali discontinuita’
sono di salto.
Se f e’ C1 a tratti si chiama regolarizzata di f la funzione ˜f che coincide con f nei punti di continuita’ e, nei punti di discontinuita’, prende, come valore, il punto medio del salto.
Se f e’ periodica e C1 a tratti, allora la sua serie di Fourier converge puntualmente alla regolarizzata ¯f di f .
2. Se f e’ periodica e C1 su R allora la sua serie di Fourier converge uniformemente a f.
3. Il seguente criterio non e’ stato esposto a lezione, ma solo verificato sull’onda triangolare.
Se f e’ periodica e continua su R e la sua derivata ha al piu’ discon- tinuita’ di salto in numero finito in ogni periodo, allora la sua serie di Fourier converge uniformemente a f.
Luned`ı 21/11
Esercizi - Regole di calcolo. Alcune di queste regole sono state enunciate e parzialmente dimostrate a lezione. Si richiede che lo studente sappia come verificarle.
1. Se f e’ a valori reali e dispari, la sua serie di Fourier e’ di soli seni ed e’ data da
2X
k≥1
ϕksin(kt), ϕk=< f, sin(kt) > .
Basta scrivere ogni armonica mediante seni e coseni e usare le proprieta’ di f nei riguardi dell’integrazione
2. Se f e’ a valori reali e pari, la sua serie di Fourier e’ di soli coseni ed e’ data
da fˆ0+ 2X
k≥1
ϕkcos(kt) ϕk =< f, cos(kt) >
Basta scrivere ogni armonica mediante seni e coseni e usare le proprieta’ di f nei riguardi dell’integrazione.
3. Una traslazione nel tempo si traduce in un cambiamento di fase per ogni armonica, cioe’ definendo g mediante g(t) = f (t− ϕ) si ottiene, applicando le definizioni,
ˆ
gk = exp(−ikϕ) ˆfk.
Scrivere ogni armonica di g tramite ampiezza e fase delle armoniche di f.
4. Se f e f0 hanno serie di Fourier (ad esempio f ∈ C1) fˆ0k= ik ˆfk.
Basta applicare la definizione di ˆf0k e integrare per parti.
Calcolare inoltre ogni armonica di f0, a partire dalla corrispondente armonica di f, in termini di seni e coseni supponendo f a valori reali.
Esercizi svolti a lezione.
1. Calcolo della serie di Fourier dell’onda quadra
f (x) =
(1 se x∈ (−π, 0)
−1 se x∈ (0, π).
Calcolo della regolarizzata
2. Calcolo della serie di Fourier dell’onda triangolare
f (x) =
(π + x se x∈ [−π, 0]
π− x se x∈ [0, π].
Verifica diretta che la serie di Fourier e’ uniformemente convergente a f.
3. Nucleo di Diriclet di dimensione n e suo uso nel calcolo del polinomio trigo- nometrico approssimante.
4. Calcolo dei coefficienti della soluzione per serie ottenuta dalla separazione delle variabili nel caso della corda vibrante di lunghezza π.
1 Esercizi di preparazione per l’esame
1. Scrivere le serie di Fourier mediante seni e coseni e dare le conseguenti regole di calcolo per i coefficienti, facendo particolare attenzione al caso di funzioni a valori reali.
2. Ricavare le formule relative alle serie di Fourier per un periodo qualsiasi usando la relativa pulsazione.
3. Calcolo della serie di Fourier dell’onda quadra cambiando periodo e valore per le due costanti, ad esempio 0 e 1. Cosa succede se la funzione non e’ dispari?
4. Calcolo della serie di Fourier dell’onda triangolare cambiando periodo e valore massimo della funzione.
5. Calcolare la serie di Fourier della funzione rampa, ottenuta per periodicita’
mediante
f (x) =
(−π − x se x∈ (−π, 0) π− x se x∈ (0, π).
Determinare a quale criterio di convergenza soddisfa. Verificare il criterio calcolando la somma della serie nei multipli di π.
6. Calcolo della serie di Fourier della funzione rampa di periodo 2 , ottenuta per periodicita’ mediante
f (x) =
(−1 − x se x∈ (−1, 0) 1− x se x∈ (0, 1).
Determinare a quale criterio di convergenza soddisfa. Verificare il criterio
7. Calcolo della serie di Fourier della funzione di periodo 1 , ottenuta per perio- dicita’ mediante
f (x) = x, x∈ (−1, 0)
Determinare a quale criterio di convergenza soddisfa. Verificare il criterio calcolando la somma della serie nei punti x ∈ Z.
8. Sia a ∈ (0, π). Calcolare i polinomi trigonometrici approssimanti, mediante il nucleo di Diriclet, della funzione impulso, ottenuta per periodicita’ mediante
f (x) =
(1 se |x| < a 0 se a < |x| < π.
Verificare, mediante il risultato ottenuto, che la serie di Fourier e’ di soli coseni.
Verificare che soddisfa il criterio n.1 enunciato giovedi’ 17/11/05 e determinare a quale funzione converge puntualmente.
9. Calcolare la serie di Fourier di f (x) = | sin(x)|. Verificare, dal risultato otte- nuto, che la serie converge totalmente e quindi uniformemente. Riconoscere quindi che f soddisfa il criterio n.3 enunciato giovedi’ 17/11/05.
10. Considerare la funzione definita su [0, 1] da f (x) = x(x−1), estenderla a [−1, 1]
in maniera che risulti una funzione dispari, quindi estenderla come funzione periodica a tutto R.
Verificare che tale funzione e’ C1(R).
Calcolare i coefficienti di Fourier di f direttamente e tramite i nuclei di Diri- clet.
Descriverne la componente continua e tutte le armoniche, esprimendole anche mediante ampiezza e fase.
Verificare, mediante il risultato ottenuto, che la serie di Fourier converge to- talmente e quindi uniformemente a f.
Verificare che soddisfa il criterio n.2 enunciato giovedi’ 17/11/05.
11. Sia a ∈ R. Calcolare i polinomi trigonometrici approssimanti, mediante il nucleo di Diriclet, della funzione, ottenuta per periodicita’ mediante
f (x) =
(a se |x| < 1/2 0 se 1/2 <|x| < 1.
Verificare, mediante il risultato ottenuto, che la serie di Fourier e’ di soli coseni.
Verificare che soddisfa il criterio n.1 enunciato giovedi’ 17/11/05 e determinare a quale funzione converge puntualmente. Descriverne la componente continua e tutte le armoniche, esprimendole anche mediante ampiezza e fase.
