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Esercizio 1. Stabilire se converge e a che cosa converge la serie

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Academic year: 2021

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(1)

ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 3/12/2010

Esercizio 1. Stabilire se converge e a che cosa converge la serie

+∞

X

n=1



− 2 3

 n

.

Soluzione. La serie geometrica

+∞

X

n=0

x n

converge se |x| < 1. Nel nostro caso

− 2 3

= 2 3 < 1,

quindi la nostra serie è convergente. In particolare, nel caso in cui la serie geometrica è convergente, abbiamo

+∞

X

n=0

x n = 1 1 − x ,

quindi sappiamo che

+∞

X

n=0



− 2 3

 n

= 1

1 + 2 3 = 3 5 .

D'altra parte

+∞

X

n=0



− 2 3

 n

= 1 +

+∞

X

n=1



− 2 3

 n ,

quindi

+∞

X

n=1



− 2 3

 n

= 3

5 − 1 = − 2 5 .



1

(2)

2 ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 3/12/2010

Esercizio 2. Stabilire se convergono le seguenti serie

1.

+∞

X

n=1

n 2 + n + 2 n 3 + n 2 + 1

2.

+∞

X

n=1

sin n 1  + 3 n

3.

+∞

X

n=1

√ n 1 − cos n 1  4.

+∞

X

n=1

n 3 + n 3 n

5.

+∞

X

n=1

4 n n + n!

6.

+∞

X

n=1

1 n log(n + 1)

7.

+∞

X

n=1

1 n(log(n + 1)) 2 . Soluzione. Nella prima serie abbiamo che

n→+∞ lim

n 2 + n + 2 n 3 + n 2 + 1 = 0,

quindi la serie potrebbe convergere. Mostriamo che in realtà questa serie non converge appliccando il criterio del confronto asintotico con la serie P n 1 . Dobbiamo calcolare

n→+∞ lim

n

2

+n+2 n

3

+n

2

+1

1 n

= lim

n→+∞

n 3 + n 2 + 2n n 3 + n 2 + 1 = 1.

Dato che questo limite assume un valore nito, sappiamo che la nostra serie si comporta come la serie P n 1 e quindi diverge.

Nella seconda serie si ha

n→+∞ lim

sin n 1  + 3

n = 0,

quindi la serie, al solito, potrebbe convergere. Tuttavia, abbiamo le seguenti disuguaglianze

−1 ≤ sin  1 n



≤ 1 ⇒ 2 ≤ sin  1 n



+ 3 ≤ 4 ⇒ 2

n ≤ sin n 1  + 3

n ≤ 4

n , quindi

2

+∞

X

n=1

1 n ≤

+∞

X

n=1

sin n 1  + 3

n .

La nostra serie è maggiore di una serie divergente e quindi anch'essa diverge.

La terza serie è divergente in quanto

n→+∞ lim

√ n

1 − cos n 1  = +∞.

Per la quarta serie abbiamo che

n→+∞ lim n 3 + n

3 n = 0.

(3)

ESERCIZI PROPOSTI PER IL TUTORAGGIO DEL 3/12/2010 3

Proviamo che la serie è convergente applicando il criterio del rapporto. Otteniamo

lim

n→+∞

(n+1)

3

+n+1 3

n+1

n

3

+n

3

n

= lim

n→+∞

1

3 · (n + 1) 3 + n + 1 n 3 + n = 1

3 , quindi la serie è converente in quanto 1 3 < 1 .

Nella quinta serie si ha

n→+∞ lim 4 n n + n! = 0,

Quindi la serie potrebbe convergere. Mostriamo che eettivamente converge appli- cando il criterio del confronto asintotico con la serie P 4 n!

n

che è una serie conver- gente. Otteniamo

lim

n→+∞

4

n

n+n!

4

n

n!

= lim

n→+∞

n!

n + n! = lim

n→+∞

1

1

(n−1)! + 1 = 1, dunque la serie converge.

Per le ultime due serie osserviamo che i termini generici tendono entrambi a zero e dunque le serie sono candidate a poter convergere. Tuttavia, per la sesta serie, se applichiamo il criterio del confronto con la serie divergente P (n+1) log(n+1) 1 si ottiene

n→+∞ lim

1 n log(n+1)

1 (n+1) log(n+1)

= lim

n→+∞

n + 1 n = 1,

così la serie non converge. Per la settima invece, possiamo dimostrare la convergen- za applicando il criterio del confronto con la serie convergente P (n+1)(log(n+1)) 1

2

. Infatti otteniamo

n→+∞ lim

1 n(log(n+1))

2

1 (n+1)(log(n+1))

2

= lim

n→+∞

n + 1 n = 1.



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