ESERCIZIO E1:

ESERCIZIO E1:

Si determini il punto operativo del circuito evidenziato nella figura 1. Si operino le semplificazioni necessarie al fine di ottenere una soluzione agevole ma nel contempo adeguatamenteaccurata(2 punti).Sideterminiilcircuitoequivalentedipiccolosegnale(2punti)

Si determini il guadagno dello stadio (V_out/V_S); si considerino i condensatori C₁ e C_S dei corto circuiti alla frequenza di interesse (4 punti). Sono assegnati: R₂ = R₂=R₃=3MΩΩΩΩ; R_S = 10KΩΩΩΩ;

R_D = 40KΩΩΩ; CΩ _S = 100nF; V_DD = 10V; K_N = 100µAVµµµ ⁻⁻⁻⁻²; V_T = 1V. (Appello −−− 16 luglio 2010) −

Il circuito di polarizzazione del MOS a canale N è mostrato in figura 1a. Esso deriva da quello di figura 1 tenuto conto che i condensatori, in regime stazionario, sono modellati dal bipolo circuito aperto e che il generatore di piccolo segnale deve ritenersi spento.

IndicatoconVoil potenziale del morsetto di gain, l’applicazione della leggedel partitoreresistivo di tensione consente di relazionare come segue:

V R V

R R

R V R R

V V

G

= ⋅

O O O

+ = ⋅

+ = =

2

1 2

2 5

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso, afferente i morsetti di gate e di source, si perviene alla scrittura di seguito riportata:

V

_G

= V

_GS

+ R I

_{S D}

dalla quale, ipotizzando che il MOS a canale N operi in saturazione, e pertanto ritenendo che sia:

I

_D

= K ⋅ ( V

_GS

− V

_T

)

²

consente di pervenire alla relazione che di seguito si esplicita:

V

_G

= V

_GS

+ R I

_{S D}

= V

_GS

+ R K V

_S

⋅ (

_GS

− V

_T

)

²

L’applicazionedella leggediKirchhoffdellecorrentialnodomorsettodi uscita,indicatoconVo, consente di relazionare come segue:

V V

R

V

R R I V

R

V R

V R I

DD O

D

O D DD

D

O D

O D

− =

+ + ⇒ − = +

1 2

2

, da cui si ottiene:

V

R I V

R V R

V

R I

R R V

DD D

D O O

D

DD D

D

D

− = + ⇒ − =  +

O

  

  ⋅ 2

1 2

1 ( ) 1

A questo punto della stesura appare appropriato ricordare il richiamo espresso nella traccia, ovvero:

si operino le semplificazioni necessarie al fine diottenere una soluzione agevole, ma nel contempo adeguatamenteaccurata. Questo si effettua, nel caso specifico, osservando che dai dati forniti dalla traccia risulta che RD <<R (di almeno due ordini di grandezza), pertanto la relazione (1) ammette

R_S M_N

C_S V_DD

R_D

R₂

R₁ R₃

V_S

(figura 1)

O_UT

C₁

∼

^RS

M_N V_DD

RD

R₂

R₁ R₃

(figura 1a)

V_O ID

IP

G VG

la lecita approssimazione espressa nella seguente scrittura:

V

R I V

R V

R

V

R I V

R V V R I

DD D

D O O

D

DD D

D O

D

O DD D D

− =  +

  

  ⇒ − = ⇒ = −

2

che, in sostanza, afferma come sia possibile trascurare la corrente IP nei confronti della corrente ID. Riprendendo in considerazione la relazione: V_G = V_GS +R_S·K(V_GS −−−−V_T)² e ricordando, inoltre, che è VG = V_O/2, si perviene alla seguente scrittura:

V

^O

V

_GS

R K V

_{S GS}

V

_T

2

= + ⋅ ( − )

2 , dalla quale, sostituendo l’espressione di VO, si ottiene:

1 2

⋅ ( V

_DD

− R I

_{D D}

) = V

_GS

+ R K V

_S

⋅ (

_GS

− V

_T

)

2

Evidenziando i necessari passaggi algebrici e sostituendo l’espressione della corrente ID di drain, si ottengono le scritture che di seguito si riportano:

V R K

V V V R K V V

DD D

GS T GS S GS T

2 2

2 2

− ⋅ ( − ) = + ⋅ ( − )

R K V V R K

V V V V

S GS T D

GS T GS DD

⋅ ( − )

²

+ ⋅ ( − )

²

+ − =

2 2 0

R R

K V V V V V V

S D

GS T GS T T DD

 +

  

  ⋅ − + − +  −

  

  =

2 ( )

²

( ) 2 0

Si è, pertanto, ottenuta un’equazione di secondo grado nella variabile (V_GS −−−−V_T); sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene quanto segue:

10 10 40 10

2 100 10 1 10

2 0

3 3

6 2

⋅ + ⋅



  

  ⋅ ⋅ − + − +  −

  

  =

−

( V

_GS

V

_T

) ( V

_GS

V

_T

)

, ovvero:

( 30 10 100 10 ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

) ( ⋅ V

_GS

− V

_T

)

²

+ ( V

_GS

− V

_T

) ( + 1 5 − ) = 0

, dalla quale si conclude:

3 ⋅ ( V

_GS

− V

_T

)

²

+ ( V

_GS

− V

_T

) − 4 0 =

Le soluzioni dell’equazione sono determinate dalla relazione:

( ) ( )

V

_GS

− V

_T

= − ± + ⋅ ⋅

= − ± +

= − ± 1 1 4 3 4

6

1 1 48 6

1 49

6

, ovvero:

( ) ,

V

_GS

− V

_T

= − ±

=

− − = − = − = −

− + = = 1 7

6

1 7 6

8 6

4

3 1 333 1 7

6

6 6 1

La soluzione (VGS −−−−V_T)=−−1,333−− V NON È ACCETTABILE in quanto comporta per il MOS una tensione fra gate e source pari a VGS =−−0,333−− V che attesta che il MOS è spento. L’unica soluzione accettabile viene fornita dal valore (V_GS−−−−V_T)=1V a cui corrisponde una tensione VGS=2V>V_T verificando, di fatto, l’accensione del MOS a canale N.

Il calcolo della corrente ID di drain fornisce il valore seguente:

I

_D

= K V ⋅ (

_GS

− V

_T

)

²

= 100 10 ⋅

⁻⁶

( 2 1 − )

²

= 100 10 ⋅

⁻⁶

⋅ = 1 100 µ A

Operando sempre nell’ipotesi di trascurare la corrente IP nei confronti della I_D si ottiene:

V

_O

= V

_DD

− R I

_{D D}

= 10 − ( 40 10 100 10 ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

) = 10 4 6 − = V

, da cui:

V

_DS

= V

_O

− R I

_{S D}

= 6 − ( 10 10 100 10 ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

) = 6 1 5 − = V

Si può, allora, concludere che il MOS a canale N opera di fatto in zona di saturazione, atteso che risulta soddisfatta la condizione VDS > (VGS −−−− VT); infatti è: 5 > (2 −−−− 1).

Il punto di riposo per il MOS a canale N è, pertanto, caratterizzato dai seguenti valori:

V

_GS

= 2 V I

_D

= 100 µ A V

_DS

= 5 V

Noto il punto di riposo è possibile determinare il parametro g_m di transconduttanza; infatti, in zona di saturazione vale la seguente relazione costitutiva:

g di dv

d K v V

dv K V V

m D

GS VGS

GS T

GS vGS VGS

GS T

= = ⋅ −

= − =

=

[ ( ) ]

−

( )

2

2 200 µ Ω

1

OSSERVAZIONE Si ritiene utile ed interessante quantificare l’entità dell’errore commesso con la semplificazione adottata, ovvero NON trascurando l’effetto della corrente I_P. Eseguendo i dovuti passaggi algebrici afferenti la relazione (1), si perviene alla scrittura di seguito esplicitata:

V

R I

R R V V R I

R

R R

RR V

DD D

D

D

O DD D D

D

D D

− = ^ +

O

  

  ⋅ ^⇒ −

= +

1 ⋅ 2

1 2

2

( )

, cioè:

V R V R I

R R

O DD D D

D

= ⋅ −

+ 2

2

( )

( )

Riprendendo in considerazione la relazione: V_G = V_GS +R_S·K(V_GS −−−−V_T)² e ricordando, inoltre, che è VG = V_O/2, si perviene alla seguente scrittura:

V

^O

V

_GS

R K V

_{S GS}

V

_T

2

= + ⋅ ( − )

2 , dalla quale, sostituendo l’espressione di VO, si ottiene:

1 2

2 2

⋅ ⋅ −

2

+ = + ⋅ −

R V R I

R R V R K V V

DD D D D

GS S GS T

( )

( )

Evidenziando i necessari passaggi algebrici e sostituendo l’espressione della corrente ID di drain, si ottengono le scritture che di seguito si riportano:

RV R R

RR

R R K V V V R K V V

DD D

D D

GS T GS S GS T

2 2

2 2

+ −

+ ⋅ ⋅ ( − ) = + ⋅ ( − )

RV R R

RR

R R K V V V V V R K V V

DD D

D D

GS T GS T T S GS T

2 2

2 2

+ −

+ ⋅ ⋅ ( − ) = ( − ) + + ⋅ ( − )

R K RR K

R R V V V V V RV

R R

S D

D

GS T GS T T DD

D

+ +



  

  ⋅ − + − + −

+



  

  =

2 ( )

²

( ) 2 0

Si è, pertanto, ottenuta un’equazione di secondo grado nella variabile (VGS −−−−V_T); sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene quanto segue:

10 10 40 10 3 10

6 10 4 10 1 3 10 10

6 10 4 10 0

4 4 3 6

6 4

2 6

6 4

−

+ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅



  

  − + − + − ⋅ ⋅

⋅ + ⋅



  

  = ( V

_GS

V

_T

) ( V

_GS

V

_T

)

1 12

6 04 1 30

6 04 0 +

2



  

  ⋅ − + − +  −

  

  =

, ( ) ( )

V

_GS

V

_T

V

_GS

V

_T

,

18 04 6 04

23 96 6 04 0 ,

2

, ( ) ( ) ,

⋅ V

_GS

− V

_T

+ V

_GS

− V

_T

− , =

Le soluzioni dell’equazione sono determinate dalla relazione:

( ) , ,

,

, V

_GS

− V

_T

= − ± + ⋅ ⋅ ,

= − ± 1 1 4 2 986755 3 9668874

5 97351

1 48 3924831

5 97351

, ovvero:

( ) ,

,

, ,

,

, ,

, ,

,

, ,

V

_GS

− V

_T

= − ±

=

− − = − = −

− + = =

1 6 95647 5 97351

1 6 95647 5 97351

7 95647

5 97351 1 332 1 6 95647

5 97351

5 95647

5 97351 0 99715

La soluzione (V_GS −−−−V_T)=−−1,332−− V NON È ACCETTABILE in quanto comporta per il MOS una tensione fra gate e source pari a VGS =−−0,332−− V che attesta che il MOS è spento.

L’unica soluzione accettabile viene fornita dal valore (V_GS −−−−V_T)=0,99715V a cui corrisponde una tensione VGS =1,99715>V_T verificando, di fatto, l’accensione del MOS a canale N.

L’errore assoluto commesso con la semplificazione adottata al punto a) ammonta a e=0,00285, pari ad un errore percentuale dello 0,285%%% ovvero del 2,85 per mille. %

Determinato il punto di riposo e calcolato il parametro differenziale gm, è ora possibile affrontare le richieste afferenti il funzionamento del circuito in presenza del generatore di piccolo segnale vS. Ilcircuitoequivalenteincrementale,validoallevariazioniintrodottedalgeneratoredipiccolosegnale v_Sè mostratoin figura1b.Intalecircuitosonoevidenziatiicomponentilecuigrandezzeelettricheai loro morsetti subiscono variazioni in seguito all’azione del generatore indipendente v_S di tensione di piccolo segnale. Inoltre, come si evince dalla traccia, alla frequenza di lavoro o di interesse i condensatori C1 e CS hanno una reattanza modellabile col bipolo corto circuito;conseguenzaècheilparallelo fra la resistenza RS e la reattanza capacitiva XC

equivale anch’esso al bipolo corto circuito per cui il morsetto di source viene posto al potenziale della linea di riferimento zero per le variazioni, come mostrato in figura 1c.

Per ispezione diretta si evince che:

v

G

= v

gs

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo D consente di relazionare come di seguito esplicitato:

v v

R g v v

R

G out

m gs out D

− = +

1

, ovvero:

v R

v

R g v v

R

gs out

m gs out

1 1 D

− = +

, da cui:

v

R g v v R

v R

gs

m gs out out

1 1 D

− = +

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si perviene alla scrittura:

R

_D

( 1 + g R

_{m 1}

) ⋅ v

_gs

= ( R

_D

+ R

₁

) ⋅ v

_out , dalla quale si evince il seguente legame:

(figura - 1b) R_S R2

R_D R₁

G v_S

R₃

∼ ∼

∼ ∼

D

S

v

gs

v

G

g

m

v

gs

v

out

i

1

i

S

i

2

C_S

(figura - 1c) R₂

RD

R₁

G v_S

R₃

∼

∼

∼

∼

D

v

gs S

v

_G

g

m

v

gs

v

out

i

1

i

S

i

2

v R R

R g R v

gs D

D m

= +

out

+ ⋅

( )

( )

1

1

1

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo G consente di esplicitare la seguente scrittura:

i

_s

= i

₁

+ i

₂ nella forma di seguito riportata:

v v R

v R

v v R

v R

v R

v R

v R

v R

S

−

gs gs gs out S gs gs gs out

= + −

⇒ = + + −

3 2 1 3 3 2 1 1

, da cui si ha:

v

R R R R v v

R

S

gs out

3 3 2 1 1

1 1 1

= ^ + +

  

  ⋅ −

R R

_{1 2}

⋅ v

_S

= ( R R

_{1 2}

+ R R

_{1 3}

+ R R

_{2 3}

) ⋅ v

_gs

− R R

_{2 3}

⋅ v

_out

Sostituendo l’espressione di vgs in funzione di v_out, precedentemente calcolata, ed attivando i relativi passaggi algebrici si perviene alle scritture che di seguito si esplicitano:

R R v R R R R R R R R

g R R R R v

S D

m D

1 2 1 2 1 3 2 3 1 out

1 2 3

= + 1 + ⋅ +

− ⋅ −



  

  ⋅

( ) ( )

( )

R R v R R R R R R R R R R R g R

g R R v

S D D m

m D

1 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 out

1

1

= + + 1 ⋅ + − −

− ⋅



  

  ⋅

( ) ( ) ( )

( )

Si conclude, quindi, che il guadagno totale di tensione A_VT è determinato dalla seguente relazione:

A v

v

R R R g R

R R R R R R R R R R R g R

VT out S

D m

D D m

= = −

+ + ⋅ + − −

1 2 1

1 2 1 3 2 3 1 2 3 1

1

1 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Preso atto, come esplicitato nella traccia, che R1 =R₂ =R₃ =R=10MΩΩΩΩ, si ottiene quanto segue:

A v

v

R R g R

R R R R R g R

R g R

R R g R

VT out S

D m

D D m

D m

D m

= = −

+ − − = −

+ +

2 1

2 2

1

1 1

1

3 1

1

3 2

( )

( ) ( )

( )

( )

Sostituendo i valori forniti dalla traccia, si perviene alla determinazione del guadagno totale A_VT ;

A R g R

R R g R

VT D m

D m

= −

+ + = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

−

−

( )

( )

[ ( )]

( ) [ ( )]

1

3 2

40 10 1 200 10 3 10

9 10 40 10 2 200 10 3 10

1 1

3 6 6

6 3 6 6

A

_VT

= − ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅ = − ⋅

+ = − = −

4 10 599 900 4 2 600 10

4 599 900 2408

2396

3308 0 724

4

[ ( )]

4

,

Il valore inferiore all’unità del guadagno totale di tensione è dovuto alla presenza della resistenza R3 che produce una elevata attenuazione della tensione del generatore di piccolo segnale v_S. Il segno negativo di AVT afferisce al fatto che il circuito mostrato in figura 1 costituisce un dispositivo a source comune. Si ritiene interessante valutare il guadagno totale di tensione A_VT nel caso in cui il generatore di piccolo segnale vS sia collegato direttamente al gate del MOS a canale N, ovvero nel caso in cui sia R3 =0ΩΩΩΩ.

Il calcolo è immediato ponendo R3 =0 nella precedente relazione (2); si perviene alla scrittura:

A v

v

R R R g R R R R R

R g R

R R

VT

out S R

D m

D

D m

D

*

( )

( )

( )

( ) ,

= = ⋅ −

+ = ⋅ −

+ = −

3 0=

1 2 1

1 2 1

1 1

1 1

7 8816

È utile verificare direttamente per via circuitale la correttezza del valore ora calcolato del guadagno

totale di tensione. Il circuito da esaminare è mostrato in figura 1d. Per ispezione diretta si evince:

v

_gs

= v

_G

= v

_S , nonché:

v

_D

= v

_out

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo D consente poi di relazionare come segue:

v V

R g v v

R

G D

m gs out D

− = +

1

, ovvero:

v R

v

R g v v R

S out

m S out 1 1 D

− = +

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene quanto segue:

v

R g v v R

v R

v g R v R

R R v

R R

S m S out out D

S m S D out

1 1 D

1 1

1 1

− = + ⇒ −

= ( + ) ⋅

da cui:

R

_D

( 1 − g R

_{m 1}

) ⋅ v

_S

= ( R

_D

+ R

₁

) ⋅ v

_out

Il guadagnototale di tensione

A

_VT^* nel caso in cui sia R3 =0ΩΩΩΩ è, pertanto, definito dalla relazione che di seguito si esplicita:

A v

v

R g R

R R

VT out S R

D m

D

*

( )

( )

[ ( )]

( )

= = −

+ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ =

=

−

3 0

1 1

3 4 6

3

1 40 10 1 2 10 3 10

40 3000 10

= ⋅ −

= − ⋅

= − = − 40 1 600

3040

4 599 304

2396

304 7 8816

( )

,

ESERCIZIO E2:

Nel circuito mostrato in figura 2 gli operazionali sono ideali e reazionati negativamente (vale il principio di traslazione del potenziale). Si determini l’impedenza sentita al morsetto d’ingresso A (8 punti). Si indichi il tipo di componente passivo visto dal morsetto A (tipo di impedenza: induttiva o capacitiva) (2 punti) (Appello −−−− 16 luglio 2010)

Sitratta diun circuito che utilizzaamplificatori operazionaliidealireazionati negativamente,con l’obiettivo di realizzare un giratore. Indicati con OP₁ ed OP₂, rispettivamente, il primo e il secondo amplificatoreoperazionalesiano, pure,indicate conVO1eVO2le corrispondentidueuscite, così come mostrato in figura 2a. La richiesta voluta dalla traccia implica l’utilizzo di un generatore sonda, in quanto, per definizione, l’impedenza sentita al morsetto d’ingresso A altro non è che l’impedenza equivalente sentita dal generatore sonda connesso fra il morsetto A stesso e terra, come evidenziato nella citata figura 2a.

La struttura circuitale da esaminare evidenzia che per l’amplificatore OP1 si può utilizzare la relazione tipica costitutiva della configurazione non invertente; infatti attesa la presenza di reazione negativa per entrambi gli operazionali, vige il principio di traslazione del potenziale in ossequio al quale, tenendo conto anche della legge del partitore resistivo di tensione, si può relazionare così come di seguito esplicitato:

−

− −

− + + + +

− −

− − + + + +

(figura - 2)

R R

R R

R R

C

A R

(figura - 1d) R₂

R_D R₁

G

v_S

∼

∼ ∼

∼

D

v

gs S

v

G

g

m

v

gs

v

out

i

1

V

_TX

= V

_A

= V

₁⁺

= V

₁ ⁻

V

_B

= V

₂⁺

= V

₂ ⁻

V R V

R R

TX

= ⋅

O

+

1 , ovvero:

V R

R V

O1

=  1 +

TX

  

  ⋅

da cui segue:

V

_O1

= 2 ⋅ V

_TX

Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al morsetto invertente dell’amplificatore OP2,ricordandoche essonon puòassorbireoderogare corrente,si perviene alla seguente relazione:

I V V

R

V V

R V V V V

O O

O O

4 1 2 2 2

1 2 2 2

= −

= − ⇒ − = −

+ +

+ +

dalla quale, ricordando quantostabilitodallaprecedentescritturaV_O1=2·V_TX, si ottiene la relazione:

V

_O2

= 2 ⋅ V

₂⁺

− V

_O1

⇒ V

_O2

= 2 ⋅ V

₂⁺

− ⋅ 2 V

_TX

= 2 ⋅ ( V

₂⁺

− V

_TX

)

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdellecorrential,morsettoNONinvertentedell’amplificatore OP2, coincidente col nodo B, consente di relazionare come di seguito evidenziato:

I I I V V

R j CV V V

C TX

R

O

2 3 2

2 2 2

= + ⇒ −

= + −

+ + +

ω

Procedendo con i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni, ricordando l’espressione già ricavata per la tensione VO2, si perviene alle scritture che di seguito si riportano:

V

_TX

− V

₂⁺

= j RCV ω

₂⁺

+ ( V

₂⁺

− V

_O2

)

V

_TX

= V

₂⁺

+ j RCV ω

₂⁺

+ V

₂⁺

− 2 V

₂⁺

+ ⋅ 2 V

_TX , ovvero in definitiva:

V

_TX

= − j RCV ω

₂ ⁺

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdellecorrential,morsettoNONinvertentedell’amplificatore OP₁, coincidente col nodo A, consente di relazionare come di seguito evidenziato:

I I I I V V

R

V V

TX

= + ⇒

TX

=

TX

−

O TX

R

+ −

⁺

1 2 1 2

I V

R V

R V

R V

R I V

R

V R

V

TX TX O TX

R

TX TX O

= − + − ⇒ = − −

+ +

1 2

2

1 2

Sostituendo le espressioni di VO1 e di VB precedentemente ricavate si può relazionare come segue:

I V

R

V

R R

V

j RC I V

j R C

TX TX TX TX

TX TX

= − −  −

  

  ⇒ =

2 2 1

ω ω

2 , ovvero:

V

_TX

= j R C I ω

²

⋅

_TX

Ricordando la definizione costitutiva di impedenza “sentita” dal generatore test si può relazionare come segue:

Z V

I

j R C I

I j R C

IN TX TX

TX TX

= = ⋅

( ω ) =

ω

2 2

− −

− − + + + +

(figura - 2a) R R

R

A R

R ZIN

VO2

+ + + +

−

− −

VTX

−

I_TX I₁

I2

OP₁

− − − −

+ + + +

R

R

1/jωωωωC OP₂ V_O1

IC

B I₃

V_A =V_TX

I₄

L’impedenza di ingresso sentita dal generatore test presenta una natura puramente induttiva; infatti essa è del tipo:

Z

_IN

= j R C ω

²

= j L ω

_eq

= jX

_eq , in cui deve intendersi:

L

_eq

= R C

²

La verifica dimensionale, infatti, conferma che Leq si misura in ΩΩΩΩ·sec=Henry:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] L R C R C V [ ]

I

Q V

V I t I

V t

I s H

eq

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅ =

2 2 2

2 2

Ω

ESERCIZIO E3:

Nel circuito di figura 3, le porte logiche sono ideali con soglia di scatto a 2V; il diodo D è ideale. All’ingresso A è applicato un impulso di valore massimo V_M =4V e di durata t1 =1ms (si veda il disegno esemplificativo). Si tracci il grafico accurato delle onde agli ingressi X, Y e all’uscita Z (10 punti). Sono noti: R=10KΩΩΩΩ; C=10µµF. µµ (Appello −−− 14 luglio 2010)−

La struttura circuitale di figura3 utilizza l’operatore universale o funzionalmente completo NAND;

si tratta,infatti,didueportelogicheNANDadueingressiciascuna;laprimadellequali,indicatacon N₁ nella figura3a,realizzalafunzionedell’operatorelogicoNOT.Infattidallatabelladiveritàdella porta logica NAND si constata quanto di seguito esplicitato:

⇒ quando la porta NAND presenta agli ingressi lo stesso stato logico allora l’uscita assume lo stato logico corrispondente alla complementazione logica degli ingressi (1ª e 4ª riga della true table);

⇒ quando uno dei due ingressi della porta NAND si trova a stato logico zero (0L), allora l’uscita si porta allo stato logico uno (1L) qualunque sia lo stato logico dell’altro ingresso (1ª e 2ª riga della tabella di verità);

⇒ quando uno dei due ingressi della porta NAND assume lo stato logico uno (1L), allora lo stato logico dell’uscita coincide con la complementazione logica dello stato logico caratterizzante il secondo ingresso (3ª e 4ª riga della tabella di verità);

Atteso quanto premesso, si deve determinare l’evoluzione temporale ed il conseguente stato logico dei segnali richiesti dalla traccia; a tale riguardo si procede come segue:

♦ per tO =0⁻⁻⁻⁻secondi l’ingressoAdellaportaN1,da lungo tempo,ha assunto il valoreVA=0V, cioè A=0_L, per cui si ha VX =4V e quindi X=1_L; il condensatore C da tempo ha conseguito, tramite la resistenza R, lo stato di regime di carica per cui v_C(t_O-)=V_Y=4V ed il diodo D dallo stato di interdizione si porta nel ginocchio della sua caratteristica lineare a tratti. L’uscita Z della porta

C R D

X

Y A Z

(figura - 3)

t_O t₁ A

t 4V

C R D

X=1_L

Y=1_L

Z=0_L A=0_L

(figura3a: rete valida per t=t_O-)

N

1

N

2

vC(t)=vY(t) v_X(t)

v_A(t) v_Z(t)

IN₁ IN₂ IN₁•IN₂

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

N₂ è determinata dalla relazione:

Z = X • Y = 1

_L

• 1

_L

= 0

_L , ovvero: VZ =0V.

♦ per tO =0secondi l’ingresso A della porta N1, si porta al valore di tensione VA =4V, cioè A=1_L per cui l’uscita di N₁ assume istantaneamente (porte logiche ideali) lo stato logico X=0_L a cui corrisponde il valore di tensione VX =0V; il diodo D si porta in conduzione ed il condensatore C si scarica istantaneamente attraverso il diodo stesso ottenendo così: vC(t_O)=v_Y(t_O)=0V a cui corrisponde lo stato logico Y = 0L, come mostrato in figura 3b Lo stato logico dell’uscita Z della porta N2 è determinato dalla seguente relazione:

Z = X • Y = 0

_L

• 0

_L

= 1

_L , a cui corrisponde un valore di tensione VZ = 4V.

♦ per tO ≤≤≤≤t<t₁, durata dell’impulso, lo ingresso A persiste allo stato logico A=1_L e ovviamente pure dicasi dello stato logico X=0_L dell’uscitaXdi N1

e il condensatore C permane scarico completamente, cioè Y=0L, per cui anche l’uscita Z di N2 conserverà lo stato logico Z = 1_L.

♦ all’istante t=t₁ secondi ha termine lo impulso e l’ingresso A si riporta alla tensioneV_A =0V,acuicorrispondelostato logicoA=0_L, e per l’idealità delle NAND l’uscita della porta N1 assume lo stato logico X=1_L (figura3c), ovvero in termini di valore di tensione, VX =4V.

Il diodo D ha l’anodo al potenziale dato da VY =0V ed il catodo al potenziale di V_X =4V, consegue che VAK =−−−−4V ed il diodo D si porta in zona d’interdizione così che il condensatore C, tramite la resistenza R e con la relativa costante di tempo ττττ data da ττττ=C·R, principia il transitorio di carica determinato dalla classica relazione costitutiva che qui di seguito si riporta:

v

_C

( ) t = v

_C

( ) [ ∞ − v

_C

( ) ∞ − v

_C

( )] t

₁

⋅ e

^{−(t t− 1) τ} , nella quale altresì deve intendersi che:

v

_C

( ) ∞ = 4 V v

_C

( ) t

₁

= 0 V τ = CR = 10 10 10 10 ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

= 10

⁻¹

= 100 ms

Sostituendo i valori sopra indicati si perviene alla scrittura seguente:

v

_C

( ) t = 4 − ( 4 0 − ) ⋅ e

^{−(t t− 1) (100 10 3⋅ − )}

= 4 4 − ⋅ e

^{−(t t− 1) (100 10 3⋅ − )}

♦ all’istante t=t₂ secondi il condensatorenel suotransitoriodicarica raggiunge ilvaloreditensione pari alla tensione di soglia di scatto delle porte logiche; consegue che v_C(t)=v_Y(t)=2V, ovvero Y=1_L;come mostrato in figura3d, e l’uscita Z della porta NAND N2 assume lo stato logico che

resta definito dalla seguente relazione:

Z = X • Y = 1

_L

• 1

_L

= 0

_L

a cui corrisponde la tensione: VZ =0V.

Il diodo D persiste nel proprio stato di interdizione, infatti è verificato che:

VAK(t2) = VY(t2)−VX(t2) = 2 − 4 = −2 V Di conseguenza il condensatore prosegue il transitorio di carica fino a conseguire lo stato di regime costituito da:

C R D

X=0_L

Y=0_L

Z=1_L A=1_L

(figura3b: rete valida per tO ≤≤≤≤t<t₁)

N

1

N

2

v_C(t)=v_Y(t)=0V v_X(t)

v_A(t) v_Z(t)

C R D

X=1_L

Y=0_L

Z=1_L A=0_L

(figura3c: rete valida per t₁ ≤≤≤≤t<t₂)

N

1

N

2

v_C(t)=v_Y(t) v_X(t)

v_A(t) v_Z(t)

C R D

X=1_L

Y=1L

Z=0_L A=0_L

(figura3d: rete valida per t=t₂)

N

1

N

2

v_C(t)=v_Y(t)=2V v_X(t)

v_A(t) v_Z(t)

v

C

(t) = V

Y

(t) = 4 V

In tale contesto il diodo D si porta sul ginocchio ed essendo sempre X=1L e Y=1L si ha che l’uscita Z permane allo stato logico Z=0_L; si è così ripristinata la condizione relativa all’istante t=t_O=0⁻⁻⁻⁻. Detto TP=(t2 -t1) l’intervallo di prolungamento dell’uscita a stato logico alto Z=1L oltre la durata dell’impulso all’ingresso A, è allora possibile relazionare nella forma che di seguito si esplicita:

v

_C

( ) t

₂

= v

_C

( ) [ ∞ − v

_C

( ) ∞ − v

_C

( )] t

₁

⋅ e

^{−(t2−t1) τ} , dalla quale si ottiene:

2 4 = − ( 4 0 − ) ⋅ e

^{−TP τ}

⇒ 2 4 4 _{= − ⋅} e

^{−TP τ}

⇒ ₋ 2 _{= − ⋅} 4 e

^{−TP τ}

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si perviene alle scritture:

2 4 2

4

1 2

= ⋅ e

⁻

⇒ = e

⁻

⇒ = 1

e

TP TP

TP

τ τ

τ , ovvero:

e T

TP P

T

P τ

τ τ

= 2 ⇒ = ln 2 ⇒ = ⋅ ln 2

La sostituzione dei valori della costante di tempo ττττ precedentemente calcolata e del ln2 fornisce:

T

_P

= τ ⋅ ln 2 100 10 = ⋅

⁻³

⋅ 0 69314 69 314 10 , = , ⋅

⁻³

= 69 314 , ms

I grafici della funzione temporale tensione v_C(t) ai morsetti del condensatore e dell’evoluzione degli stati logici delle funzioni binarie X, Y e Z, correlati all’impulso afferente l’ingresso A sono mostrati in figura 3e.

A

tO t1

t 4V

X

t 4V

v_C

t 4V

t_O

t_O t₁

t₁ 2V

t₂

t_O t₁ t₂

Z 4V

t (figura 3e)

Tabella riassuntiva

A X Y Z vC(t) t < t_O

0 1 1 0 4V

t_O ≤≤≤≤ t <t1

1 0 0 1 0V

t = t₁

0 1 0 1 0V

t₁ ≤≤≤≤ t <t2

0 1 0 1 v

C

(t)

t = t₂

0 1 1 0 2V

t > t₂

0 1 1 0 v

C

(t) t

O

= 0 s

t

1

= 1 ms t

2

= 70,314 ms

T

P

= t

2

– t

1

= 69,314 ms