Dal modello a quark alla QCD

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Dal modello a quark alla QCD

Lezione 18

Dal modello a quark alla QCD

•  Il modello a quark permette di classificare gli adroni (mesoni e barioni):

–  basato su una simmetria SU(2) di isospin forte

–  ...estesa a SU(3) con l’introduzione dell’s, SU(4) con il c

•  Ma non fornisce una descrizione della dinamica dell’interazione

•  Inizialmente solo un’ipotesi matematica:

•  Evidenza di costituenti elementari all’interno degli adroni è venuta solo negli esperimenti di scattering profondamente inelastico (DIS) nei primi anni 70.

•  Accompagnata dall’evidenza:

–  di un grado di libertà interno dei quark:

il colore

–  della presenza di particelle mediatrici sensibili alla carica di colore: i gluoni –  CromoDinamica Quantistica (QCD)

Dal modello a quark alla QCD

•  Modello a partoni

–  Descrizione degli adroni come costituiti da quark reali

–  Cinematica delle interazioni elettrone-nucleone ad alto momento trasferito:

•  definizione di funzioni di struttura

•  interpretazione come scattering su partoni puntiformi: i quark

–  concetti di libertà asintotica e confinamento –  applicazione agli esperimenti a collisori

•  Quantum Cromo-Dynamics

–  Dinamica delle interazioni tra quark –  Evidenza del grado di libertà di colore:

•  (anti)simmetria della funzione d’onda dei barioni

•  Molteplicità degli stati finali in interazioni elettro-deboli

–  Evidenza dei gluoni, mediatori delle interazioni forti:

•  indiretta dalla struttura degli adroni

•  diretta in collisioni e⁺e^-

•  Concetto di simmetria di gauge

Scattering elettrone-nucleo(ne)

•  La metodologia usata per studiare la struttura interna dei nucleoni è lo scattering di elettroni:

–  processo elettromagnetico –  sonda “puntiforme”

•  Una lunga tradizione:

–  dagli esperimenti di Hofstadter:

•  scattering elastico

•  misura della dimensione dei nuclei

–  alla scoperta di quark a gluoni

•  scattering anelastico

•  necessità di aumento dell’energia:

–  Δx≥ħ/Δp

•  esperimento storico SLAC-MIT del 1964

Nobel 1990 Nobel 1961

Robert Hofstadter

Scattering elettrone-nucleo(ne)

•  Scattering di una particella su potenziale

–  Ripasso: sezione d’urto con la regola d’oro di Fermi –  Introduzione del concetto di fattore di forma

•  Scattering elastico

–  Ripasso: cinematica relativistica dello scattering elastico

–  Formule per la sezione d’urto coulombiana in presenza di spin:

•  formule di Mott e Rosenbluth

–  Esperimento di Hofstadter e dimensione dei nuclei

•  Scattering anelastico

–  Cinematica relativistica dello scattering anelastico

–  Generalizzazione della formula di Rosenbluth al caso inelastico –  Esperimento SLAC-MIT

–  Concetto di invarianza di scala e interpretazione come partoni

•  Struttura del protone

Scattering su potenziale fisso

•  La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d’oro di Fermi:

•  Dove compaiono:

–  l’elemento di matrice

–  Le funzioni d’onda, sono quelle della particella libera, normalizzate

sul volume –  con momenti

–  la densità di stati finali:

(spazio delle fasi)

P = 2π

! f U i ² ρ

(

^E_f

)

f U i =

∫

drψ*f

( )

r ^{U r}

( )

^ψi

( )

^r

ρ

(

E_f

)

⁼ _dE^dN

f

= Vp²_fdΩ (2π!)³

dp_f dE_f

ψ

( )

r ^{∝ 1}

V e^−ip⋅r

p_i = p

(

0 0 1

)

^{pf = p}

(

^{sinθ cosϕ sinθsinϕ cosθ}

)

Elemento di matrice

•  L’elemento di matrice:

–  dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=p_i-p_f

–  Nel caso di scattering su potenziale fisso, dato che energia iniziale e finale coincidono, q in pratica coincide con il tetramomento trasferito:

f U i =

∫

drψ^*_f

( )

^{r U r}

( )

^ψi

( )

r ⁼

∫

^dr_V^{1 eipf⋅rU r}

^{( )}

^e−ipi⋅r= _V¹

∫

^{dre−i p( i−pf )⋅rU r}

^{( )}

q² = p²2 1 − cos

(

θ

)

^{= p24sin2θ 2}

q = p

(

−sinθ ^cosϕ −sinθ^sinϕ 1 − cosθ

)

f U i = 1

V

∫

drU r

( )

^{e−iq⋅r =} _V^1U(q)!

q =

(

0 q

)

^{q2 = −q2}

θ, φ angoli di deflessione della particella incidente

Trasformata di Fourier del potenziale

Sezione d’urto

•  Il termine di spazio delle fasi:

–  nel caso non-relativistico –  nel caso relativistico

•  La probabilità di transizione

•  Dalla relazione tra probabilità di transizione e sezione d’urto

^{(lez. 11)}

:

–  tenuto conto che v_i=v_f=v, p_i=p_f=p, E_i=E_f=E

La misura di sezione d’urto differenziale

è una misura della trasformata di Fourier del potenziale di interazione ρ

(

^Ef

)

⁼ _dE^dN

f

= Vp²_fdΩ (2π!)³

dp_f dE_f Vm^3/2 2E_f

(2π^{)3 dΩ} Vp_fE_f

(2π^{)3 dΩ} P = 2π

! f U i ² ρ

(

E_f

)

^{= 2π U q!( )}

2

V²

V (2π⁾³

p²_fdp_f dE_f dΩ

P = v_i 1 V dσ

dσ

dΩ = U q!( ) ²

4π² 1 v

p²dp dE

Fattori di forma

•  Nel caso di scattering su carica puntiforme:

•  e la sezione d’urto differenziale (relativistica):

•  Consideriamo ora il caso del potenziale generato

su una distribuzione di carica generica con densità ρ(r):

•  Ovvero

–  l’elemento di matrice viene moltiplicato per il fattore di forma:

U!_punt.(q) = e² ε₀^{q2 =}

e²

4ε₀^p2sin2θ ²

dσ

dΩ = α² 4E²sin⁴θ / 2

drρ(r) = 1

∫

U r

( )

^{= d ʹr e}

2ρ( ʹr ) 4πε0 | r − ʹr |

∫

f U i = 1

V dre^ipf⋅r d ʹr e²ρ( ʹr ) 4πε₀ | r − ʹr |

⎡

∫

⎣⎢ ⎤

⎦⎥e^−ipi⋅r

∫

^{= dr d ʹr e}

2ρ( ʹr ) 4πε₀ | r − ʹr |

∫

^e−iq⋅r

∫

= d ʹrρ( ʹr )e^{−iq⋅ ʹr} dr e²

4πε₀ | r − ʹr |

∫

^{e−iq⋅(r− ʹr )}

∫

⁼ _ε^e2

0q²

∫

d ʹr ρ( ʹr )e^{−iq⋅ ʹr} U(q) = !! U_punt.(q)F(q)

F(q) =

∫

drρ^{(r)e−iq⋅r}

Interpretazione dei fattori di forma

•  Se il processo di scattering avviene non in un punto, ma su una distribuzione di densità compare un contributo dovuto alla propagazione delle onde piane

corrispondenti alle funzioni d’onda della particelle incidente e di quella diffusa:

•  Per particelle puntiformi

•  A basso momento trasferito, q≪1/r, e, sviluppando l’integrale, si ottiene una serie di potenze in q:

–  Assumendo ρ a simmetria sferica:

•  Se q≫1/r, l’integranda oscilla fortemente e

F(q) =

∫

dre^ipf⋅rρ(r)e^{−ipi⋅r =}

∫

^{dreiq⋅rρ(r)}

F(q) = 1

F(q) =

∫

dre^iq⋅rρ(r) = drρ(r) 1 + iq ⋅ r − 1

2

(

q ⋅ r

)

^{2 + ...}

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

∫

drρ(r) = 1

∫

drρ(r)iq ⋅ r =

∫

⁰

−1

2

∫

drρ(r) q ⋅ r

( )

^{2 =− 1}₆^{q2 r2} Primo termine dello sviluppo:

0ggetto della misura di Hofstadter

F(q²) → 0 per q² → ∞ F(q) = F(q²)

Cinematica

•  Consideriamo un elettrone

incidente su un nucleo a riposo.

–  Per fissare le idee definiamo l’asse z come la direzione del moto.

–  Possiamo trascurare la massa dell’elettrone.

–  m_N massa del nucleo.

•  L’elettrone scambia un fotone con il nucleo, trasferendogli un

tetramomento q.

–  W massa dello stato adronico finale:

k =

(

E 0 0 E

)

k =!

(

E! E sinθ 0! E cosθ!

)

p =

(

m_N 0 0 0

)

q =

(

E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ

)

W² = p + q

( )

^{2 = mN2 + 2 pq}

( )

^{+ q2}

e^-

e^-

N adroni

Cinematica: Invarianti relativistiche

•  Ci sono tre tetravettori indipendenti: p, k, k′

–  Possono venire combinati a dare tre quantità scalari

•  Energia nel centro di massa

•  Due a scelta tra:

–  Momento trasferito

–  Per comodità si definisce Q² come quantità positiva:

–  Frazione di energia trasferita

–  x_B

•  Caso elastico:

–  un vincolo aggiuntivo

s = p + k

( )

^{2 = mN2 + 2mNE}

q² = k − "

(

k

)

² = −2 k "

( )

k = −2E "E (1− cosθ ) = −4E "E sin^{2 1}₂θ Q² = −q²

y = 2 pq

( )

2 pk

( )

⁼

E − "E

E 0 < y < 1 x = Q²

2 pq

( )

0 < x < 1 W² = m_N²

W² = p + q

( )

^{2 = mN2 + 2 pq}

( )

^{+ q2 ⇒ mN2 = mN2 + 2 pq}

( )

^{+ q2 ⇒ x = −q}

2

2 pq

( )

^{= 1}

2E !E (1− cosθ )

2m_N

(

E − !E

)

^{= 1 ⇒}

"

E

E = 1

1+ E / m

(

_N

)

^{(1− cosθ ) =}

1

1+ 2E / m

(

_N

)

^{sin2 12θ}

Sezioni d’urto di Mott e Dirac

•  La sezione d’urto di Rutherford:

è stata calcolata senze tenere in conto del contributo dovuto al momento magnetico dell’elettrone.

•  Quando si considera lo spin dell’elettrone, la sezione d’urto di Rutherford viene modificata.

•  Si ottiene la sezione d’urto di Mott:

•  Se si considera un bersaglio puntiforme con spin ½:

d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

= d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rutherford

cos

^{2 1}₂

θ d σ

dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rutherford

= α

²

4E

²

sin

^{4 1}₂

θ

d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Dirac

= d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

1 + Q

²

2m

_N²

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Formula di Rosenbluth

•  Nel caso generale di una particelle estesa con spin ½, si può usare la formula di Rosenbluth:

•  Solitamente le funzioni W sono espresse in termine dei fattori di forma adimensionali F

_e

ed F

_m

.

•  Che si possono interpretare come i termini che contengono l’effetto, nell’interazione e-p, delle distribuzioni:

–  F

_e

della carica

–  F

_m

del momento magnetico anomalo: κ=g-2 d σ

dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Rosenbluth

= d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

W

₂

( Q

²

)

4m

_N²

+ W

₁

( Q

²

)

2m

_N²

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

W₁

( )

Q^{2 = Q2}

(

^{Fe(q2) +κ Fm(q2)}

)

^{2 W2}

( )

^{Q2 = 4mN2 Fe2(q2) + κ}_4m^2Q2

N

2 F_m²(q²)

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

•  La figura mostra uno schema semplificato della camera di scattering

•  Gli elettroni normalmente attraversano la camera di scattering senza interagire con il bersaglio e vengono misurati dal rivelatore monitor che permette così di misurare il numero di elettroni di ogni impulso

Esperimento di Hofstadter

•  Occasionalmente gli elettroni interagiscono nel bersaglio

•  Gli elettroni deflessi dell'angolo a cui è posto il rivelatore entrano nello

spettrometro.

•  Lo spettrometro misura il momento per verificare lo scattering elastico:

E!

E = 1

1+ E

m_N

(

1− cosθ

)

Energia ~200 MeV

Risultati per idrogeno

•  Si noti la scala logaritmica sull’asse delle ordinate:

–  dovuto alla singolarità 1/sin⁴ θ/2

•  Le curve indicate:

a)  Sezione d’urto di Mott b)  Particella di Dirac

c)  Sezione d’urto di Rosenbluth per protone puntiforme

La curva sperimentale indica una correzione:

con

F₁

( )

Q^{2 = F2}

( )

^{Q2 = 1−Q}₆^{2 rp2}

r_p² = 0.74 ± 0.24 fm F_e

(

Q²

)

^{= Fm}

(

^Q2

)

^{= 1}

dσ

dΩ = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

F_e² +κ²Q² 4m_p² F_m²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + Q²

2m_p

(

F_e +κF_m

)

^{2tan2 12θ}

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ dσ

dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Dirac

= dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

1 + Q²

2m_N² tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Risultati per particelle α

•  Siccome il nucleo di He ha spin 0, il confronto viene fatto con la formula di Mott

–  Scalata per Z²

•  Anche in questo caso accordo con un fattore di forma:

F₁

( )

Q^{2 = 1−Q}₆^{2 rHe2} r_He² = 1.60 ± 0.10 fm dσ

dΩ = Z²α²

4E²sin^{4 1}₂θ^{* cos}

2 12θ^*F₁²

( )

Q²

•  Studi sistematici sui nuclei furono portati avanti dallo stesso Hofstadter^†

•  Aumentando l’energia degli elettroni si può esten- dere il range di Q² accessibile:

–  Ricostruzione di ρ(r): input per modello shell –  Altri esempi di studi più recenti

•  †R. Hofstadter, Electron Scattering and Nuclear Structure Rev. Mod. Phys 28 p.214 (1956)

•  http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1961/hofstadter-bio.html

Altri nuclei

197Au

16O ¹⁰⁹Ag ²⁰⁸Pb

208Pb

Densità uniforme nel centro nucleo

Transizione super- ficiale in ~1 fm

Cinematica

•  Consideriamo un elettrone incidente su un nucleo a riposo.

–  Definiamo il moto lungo l’asse z.

–  Trascuriamo la massa dell’elettrone.

–  m_N massa del nucleone.

•  L’elettrone scambia con il nucleo un fotone di tetramomento q:

k =

(

E 0 0 E

)

^{k =!}

(

^{E! E sinθ 0! E cosθ!}

)

p =

(

m_N 0 0 0

)

q =

(

E − "E − "E sinθ 0 E − "E cosθ

)

s = p + k

( )

^{2 = mN2 + 2mNE}

q² = k − "

(

k

)

² = −2 k "

( )

k = −2E "E (1− cosθ) = −4E "E sin^{2 1}₂θ

y = 2 pq

( )

2 pk

( )

⁼

E − "E

E 0 < y < 1 x = Q²

2 pq

( )

^{ω =}

2 pq

( )

Q² W² = p + q

( )

^{2 = mN2 + 2 pq}

( )

^{+ q2}

•  Invarianti relativistiche

(solo tre indipendenti)

:

–  Energia nel centro di massa –  Momento trasferito

•  Per comodità si definisce Q²=-q² come quantità positiva.

–  Frazione di energia trasferita

x

_B

ω W

Scattering inelastico

•  Caso inelastico:

–  parte dell’energia trasferita viene usate per creare nuove particelle:

•  Sezione d’urto:

–  Si perde il vincolo tra E′ e θ:

•  sezione d’urto doppia-differenziale in energia ed angolo

–  x e Q

²

sono variabili indipendenti

•  i fattori di forma possono dipendere da entrambi.

W² > m_N² W² = p + q

( )

^{2 = mN2 + 2 pq}

( )

^{+ q2 > mN2 ⇒ 2 pq}

( )

^{+ q2 > 0 x = −q}

2

2 pq

( )

^{< 1}

2E ʹE (1 − cosθ )

2m_N

(

E − ʹE

)

^{< 1 ⇒}

Eʹ

E < 1

1 + E / m

(

_N

)

(1 − cosθ ) = 1

1 + 2E / m

(

_N

)

^{sin2 1}2θ

d

²

σ

dΩd ʹ E = d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

1

E − ʹ E F

₂

(x,Q

²

) + 2

m

_N

F

₁

(x,Q

²

)tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Fattori di forma adimensionali F₁, F₂ invece di W₁ e W₂

Interludio: riconduzione allo scattering elastico

•  Verifichiamo che la formula

si riconduce alla formula di Rosenbluth per lo scattering elastico.

–  Per scattering elastico, x=1 ed i fattori di forma bi-dimensionali si riducono a:

–  usiamo le proprietà della δ:

–  per trasformarla in una δ su E′ e poi integrare sull’energia:

d²σ

dΩd ʹE = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

1

E − ʹE F₂(x,Q²) + 2

m_N F₁(x,Q²)tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F(x,Q²) = F(Q²)δ(x −1) = F(Q²)δ ^Q

2

2m_N(E − ʹE )−1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ δ( ^{f (}α⁾)^{=δ α}

(

^{− f−1(0)}

)

^{/ f (ʹ α)}

=δ E − E +ʹ Q² 2m_N

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ d d ʹE

Q²

2m_N(E − ʹE ) −1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =δ E − E +ʹ Q² 2m_N

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ Q²

2m_N(E − ʹE )²

δ ^Q

2

2m_N(E − ʹE )−1

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

d ʹE 2m_N(E − ʹE )

Q² F₂(Q²) + 4(E − ʹE )²

Q² F₁(Q²)tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥δ E − E +ʹ Q² 2m_N

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∫

dσ

dΩ = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

F₂(Q²) + Q²

m_N² F₁(Q²)tan^{2 1}₂θ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

dσ

dΩ = d ʹE d²σ dΩd ʹE

∫

Stanford Linear Accelerator

Fasci di elettroni, 7-17 GeV

L’area sperimentale

Lo spettromento da 8 GeV

Rivelatore

Spettrometro

Fascio

Bersaglio

Misura della sezione d’urto

Bloom et al., Phys. Rev. Lett. 23 930 (1969)

•  Fissati E e θ, si fa variare la selezione energetica dello spettrometro: E′

–  E′ varia tra la soglia dello spettrometro (E′_min~3 GeV) e

–  Coprendo un range

•  Nella regione delle risonanze, la sezione d’urto decresce

fortemente con Q².

•  Ad alto W non si osserva una variazione così marcata

Fenomenologia simile

all’esperimento di Rutherford:

eccesso di eventi ad alto momento trasferito.

E = 7 GeV θ = 6°

0.2<Q²<0.5 GeV²

E = 16 GeV θ = 6°

0.7<Q²<2.6 GeV²

E = 17.7 GeV θ = 10°

1.6<Q²<7.3 GeV²

Eʹ_max = E

1 + 2E / m( N )^{sin2 1}2θ

4E ʹE_minsin^{2 1}₂θ < Q² < 4E ʹE_maxsin^{2 1}₂θ W² < m_N² + 2m_N(E − ʹE_min) − 4E ʹE_minsin^{2 1}₂θ

Funzioni di struttura

•  Si possono ricavare le funzioni di struttura F a partire dalla sezione d’urto

–  storicamente graficate in funzione di ω=1/x invece che x

•  A θ e x fissato, diverse E corrispondono a diversi Q

²

–  Indipendentemente dal valore di Q

²

, tutti i punti sembrano giacere sulla stessa curva:

–  F(x,Q

²

) ⇒ F(x)

θ=10°

F2

θ=6°

F 2

Modello a partoni

•  L’osservazione di questo particolare scaling: F(x, Q²)⇒F(x)

•  si può spiegare assumendo che le interazioni siano dovute a scattering elastico dell’elettrone con i quark contenuti nel nucleone.

•  Consideriamo il caso di energie in gioco molto alte, in modo che si possa trascurare la massa del protone: p²≈0

•  Indichiamo f_q(ξ) la probabilità di trovare nel nucleone un quark q con una frazione ξ della quantità di moto del nucleone.

•  Per scattering elastico:

•  La sezione d’urto per questa interazione è:

–  dove e_q è la carica del quark, in unità della carica dell’elettrone

•  espressa in forma doppio differenziale:

(ξ p)² =

(

ξ p + q

)

² ξ²p² =ξ²p² + 2

(

ξ pq

)

^{+ q2 ξ = −q2}

2 pq

( )

^{= x}

d σ

dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

q

( ) ξ ^{= d σ} dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

e

_q²

1 + Q

²

2 ξ

²

^m

N

2

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

d

²

σ dΩd ʹ E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

q

( ) ξ ^{= d σ} dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

e

_q²

1 + Q

²

2 ξ

²

m

_N²

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ δ E − E + ʹ Q

²

2 ξ ^m

N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Modello a partoni

•  La sezione d’urto per collisione elastica con un quark con frazione ξ del momento del protone:

•  Il contributo di questo tipo di quark alla sezione d’urto totale si ottiene integrando i possibili valori di ξ, pesati con la rispettiva probabilità :

–  esplicitando la δ rispetto a ξ

–  e integrando:

d

²

σ dΩd ʹ E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

q

( ) ξ ^{= d σ} dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

e

_q²

1 + Q

²

2 ξ

²

m

_N²

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ δ E − E + ʹ Q

²

2 ξ ^m

N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

d

²

σ dΩd ʹ E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

q

= ∫ d ξ ^f

q

( ξ ^{) ⎛ ⎜} _⎝ ^d _dΩ ^{σ ⎞} _⎠ ^⎟

Mott

e

_q²

1 + Q

²

2 ξ

²

^m

N

2

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ δ E − E + ʹ Q

²

2 ξ ^m

N

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= ∫ d ξ ^f

q

( ξ ⁾ _⎝ ^{⎜ ⎛} _dΩ ^{d σ ⎞} _⎠ ^⎟

Mott

e

_q²

1 + Q

²

2 ξ

²

^m

N2

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 ξ

²

^m

N

Q

²

δ ξ − Q

²

2m

_N

(E − ʹ E )

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

= ∫ d ξ ^f

q

( ξ ^{) ⎛ ⎜} _⎝ ^d _dΩ ^{σ ⎞} _⎠ ^⎟

Mott

e

_q²

2 ξ

²

^m

N

Q

²

+ 1

m

_N

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ δ ξ − Q

²

2m

_N

(E − ʹ E )

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ d

²

σ

dΩd ʹ E

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

q

= d σ dΩ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Mott

e

_q²

f

_q

Q

²

2m

_N

(E − ʹ E )

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Q

²

2m

_N

(E − ʹ E )

²

+ 1

m

_N

tan

^{2 1}₂

θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Modello a partoni

•  Il contributo di un singolo quark alla sezione d’urto è:

–  ricordando che

•  Sommando su tutti i tipi di quark:

–  dal confronto con:

Q²

2m_N(E − ʹE ) = Q²

2 pq( ) ^{= x} d²σ

dΩd ʹE

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

q

= dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

e_q²f_q Q²

2m_N(E − ʹE )

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ Q²

2m_N(E − ʹE )² + 1

m_N tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

d²σ dΩd ʹE

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

q

= dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

e_q² f_q

( )

x ^x

E − ʹE + 1

m_N tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

xe_q²f_q

( )

x

E − ʹE + e_q²f_q

( )

x

m_N tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ d²σ

dΩd ʹE = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

x e_q² f_q

( )

x

∑

q

E − ʹE +

e_q²f_q

( )

x

∑

q

m_N tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

d²σ

dΩd ʹE = dσ dΩ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Mott

1

E − ʹE F₂(x,Q²) + 2

m_N F₁(x,Q²)tan^{2 1}₂θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

F₂(x,Q²) = x e_q²f_q

( )

x

∑

q ^{, F1(x,Q2) = 1}₂ ^{eq2 fq}

^{( )}

^x

∑

q ^{F2(x) = 2xF1(x)}

Relazione di Callan-Gross,

verificata sperimentalmente!

Struttura del protone

•  Dallo studio di diverse interazioni:

•  si possono determinare le f_q per i vari quark.

•  Si trova in maniera consistente che le sezioni d’urto:

–  possono venire espresse in termini di sezioni d’urto elementari

–  pesate per le densità di probabilità dei quark interessati

–  per un dato adrone sono universali e valide per tutti i processi

•  La struttura “partonica” del protone è molto più ricca di quanto ci si potrebbe aspettare:

–  è definito il “contenuto di sapore” del protone:

–  ma il “numero totale” di quark cresce a x piccoli –  esiste un contributo dovuto a particelle neutre: i

gluoni

e + p, e + n, µ^± + N,

ν + N, ν + N, p + p, p + p

dx f( _u(x) − f_u(x))

0 1

∫

^{= 2 dx f( d(x) − fd(x))}

0 1

∫

^{= 1}

Libertà asintotica e Confinamento

•  Nel trattamento dei partoni, si trascura ogni interazione tra i quark all’interno dell’adrone:

–  il fatto che questa approssimazione funzioni bene prende il nome di libertà asintotica.

•  L’osservazione della libertà asintotica fornisce una prova convincenta dell’effettiva esistenza dei quark come entità reali.

•  Sembra però in contraddizione con un’altra osservazione:

–  i quark non si osservano mai liberi, –  ma solo in stati legati.

•  Fenomeno che prende il nome di confinamento.

•  Come possono coesistere questi fenomeni?

Confinamento: potenziale q-q

•  Lo studio degli stati legati di quark pesanti permette di avere delle informazioni circa il potenziale quark-antiquark.

–  Il problema consiste nel ricavare dalle posizioni dei livelli la struttura del potenziale che li genera

–  Le osservazioni fatte in questo sistema ci dicono che a distanze ~fm il potenziale è della forma:

V (r) ≈ kr

cc bb

Confinamento

•  Il potenziale non è superiormente limitato:

–  non è possibile estrarre un quark da un adrone fornendogli un’energia maggiore di quella di legame.

•  Nel caso di un’interazione fortemente anelastica, qualitativamente:

–  il quark riceve un tetraimpulso che ne modifica la traiettoria –  man mano che si allontana l’energia potenziale cresce

–  ad un certo punto è conveniente estrarre dal vuoto una coppia quark-antiquark e chiudere le linee di forza creando nuovi mesoni e barioni

•  questo processo avviene:

–  su scale di lunghezza pari alle dimensioni degli adroni ~1 fm –  ed in tempi dell’ordine di 1 fm/c = 10^-23,-24 s.

V (r) ≈ kr

Confinamento: getti

•  Il processo di annichilazione e⁺e^- con produzione di

adroni può venire trattato come produzione di una coppia di quark:

•  Ad alta energia il processo di stiramento delle linee di forza e loro taglio può

avvenire multiple volte:

–  si generano getti di adroni

e⁺+ e⁻ → q + q

Evento e⁺e^-→adroni

√s = 91 GeV

sistema tracciante

calorimetro elettromagnetico calorimetro

adronico

Applicazioni: produzione di W e Z

•  Uno dei maggiori successi del modello a partoni è la predizione del tasso di eventi in collisioni di adroni.

•  Esempio: produzione dei mediatori delle interazioni deboli, W e Z

–  W⁺ è prodotto dal processo di annichilazione:

–  Consideriamo collisioni protone-antiprotone

u + d → W⁺

s = (p_p + p_p)² = 2m²_p + 2 p_p ⋅ p_p ≈ 2 p_p ⋅ p_p

•  Collisioni avvengono tra quark con momento:

•  Perché avvenga la produzione è necessario che :

•  La sezione d’urto si ottiene

integrando su tutte le configurazioni elementari:

p_u = xup_p p_d = x_d p_p

( p_u + p_d)² = (x_up_p + x_dp_p)² = m_W²

≈ 2x_ux_d( p_p ⋅ p_p) = x_ux_ds

σ ( pp → W⁺) =

dx_uf_u(x_u) f_d m_W² x_us

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

xmin

1

∫

^{σ (ud → W+)}

Sezione d’urto per quark liberi

Il “colore”

•  Dopo aver descritto le caratteristiche delle interazioni forti si pone il problema di definirne la natura.

•  deve esserci qualcosa di analogo ad una “carica” forte

–  che però non ha la stessa natura della carica elettromagnetica:

–  genera un potenziale

•  e permettere la creazione di stati “neutri”

–  il breve range delle forze nucleari è dovuto al fatto che due adroni devono avvicinarsi perché i quark di uno vedano le cariche dell’altro –  fenomeno simile a quello degli atomi: a breve distanza possono

interagire elettromagneticamente tramite forze di dipolo o di van der Waals, sebbene siano elettricamente neutri.

•  Evidenza di un grado di libertà interno ai quark

–  può assumere tre stati diversi

–  chiamato colore per analogia al fatto che esistono tre colori fondamentali

V (r) ≈ kr, r → ∞

qq, qqq

Evidenza del colore: i barioni

•  Consideriamo il decupletto dei barioni:

–  stato fondamentale: L=0 –  spin totale = 3/2

•  I vertici del triangolo (Δ^-, Δ⁺⁺, Ω^-) contengono risonanze con tre quark identici:

–  la funzione d’onda deve essere

anti-simmetrica per scambio di quark

•  Ma:

–  funzione orbitale con L=0 è simmetrica

–  funzione di spin, con tutti gli spin allineati a dare 3/2 è pure simmetrica

•  Possiamo assumere che i quark possano esistere in tre stati:

–  r=red, g=green, b=blue,

–  e costruire una combinazione antisimmetrica:

Δ

⁺⁺

= 1

6 ( u

_r

u

_g

u

_b

+ u

_g

u

_b

u

_r

+ u

_b

u

_r

u

_g

− u

_g

u

_r

u

_b

− u

_r

u

_b

u

_g

− u

_b

u

_g

u

_r

)