Lezione 11

Risonanze adroniche, particelle strane The eightfold way

Flavour simmetry SU(3) Il modello a quark

Carica di colore

Produzione di adroni in collisioni e

⁺

e

^-

Adronizzazione

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2018/19

Lezione 11

Risonanza è lo stato eccitato di un adrone, caratterizzato da vita media breve e con numeri quantici ben definiti. Pertanto ha senso considerarlo come una particella.

Gli stati eccitati dei nuclei e degli adroni, come conseguenza intrinseca della caratteristiche di un decadimento di uno stato quantico (Lez. 6 pag. 32), hanno una distribuzione in energia data da funzione di Breit-Wigner.

L’ampiezza di uno stato di vita media t e valore medio di massa M₀ si scrive nel suo sistema di riferimento

Di conseguenza una particella di massa M instabile che decade ha una distribuzione dello spettro di massa invariante data da

G rappresenta la larghezza naturale della risonanza.

P(M ) = Γ 2π

1 M − M

₀

( )

²

^{+ Γ}

2

4 ψ (t) = ψ (0)exp − i

! M

₀

− i Γ 2 t

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Decadimenti e risonanze

Abbiamo già visto (Lez. 6 pag. 36) che la probabilità di decadimento un uno stato finale per unità di tempo, si può calcolare dalla regola d’oro di Fermi

Se sono aperti più canali di decadimento

Dato uno stato finale j fra tutti quelli accessibili, si definisce il branching ratio

che rappresenta la frazione di decadimenti nel canale j.

Γ

_f

! = λ

_f

= 1

τ

_f

= 2π

! f H

_I

i

²

ρ E ( )

_f

λ

_f

f

∑ ^{= 2π} _! ^{f H}

^I

ⁱ

²

^{ρ E} ( )

^f

f

∑ ⁼ _τ ¹

f f

∑ ^{= Γ} _!

^f

f

∑ ^{= Γ} _!

^tot

BR

_j

= Γ

_j

Γ

_f

f

∑

Esempio:

La risonanza ha G~100 MeV

La sezione d’urto che misura la probabilità che nella collisione di due particelle a e b, di momento p nel CM e spin s_a e s_b , si formi una risonanza di spin J centrata in E₀ è

σ (E) = σ

_MAX

( ^{Γ 2} )

²

E − E

₀

( )

²

^{+ Γ}

2

4 σ

_MAX

= 4 π !

²

( 2J +1 )

2s

_a

+1

( ) ( ^2s

^b

⁺¹ ) ^{! = " p}

τ

_Δ

≈ !

Γ

_Δ

≈ 6.6 ×10

⁻²²

MeVs

100 MeV ≈ 10

⁻²³

s

S_p=1/2 S_p=0 J_D=3/2

π

⁺

+ p → Δ

⁺⁺

( 1232 ) ^{→ π}

⁺

^{+ p}

Risonanze adroniche

L’ esistenza di questi stati eccitati dimostra che il nucleone è un sistema composto

Diffusione inelastica elettrone-protone

• Nell’urto elettrone-protone si osservano picchi nella sezione d’urto come si sono visti nella diffusione elettrone-nucleo (Lez. 4, pag. 30, 37)

• I picchi sono eccitazioni delle risonanze del protone à Il protone è sistema composto.

• I costituenti del protone non sono prodotti ed espulsi nell’urto, ma restano sempre confinati nel protone anche ad alti Q (scattering con costituenti puntiformi, s diminuisce).

D(1232) N(1450)

D(1688)

Scoperta delle particelle strane

Upper picture Lower picture

I primi eventi “V-zero” furono osservati nel 1947 nelle interazioni dei raggi cosmici in camera a nebbia immerse in campo magnetico.

Lo studio sistematico di tali particelle divenne possibile, a partire dal 1953, con i primi acceleratori: il Cosmotrone di Brookhaven, e il Bevatrone di Berkeley

Il loro comportamento era appunto “strano” perché

•vengono prodotte con sezioni d’urto tipiche delle interazioni forti (mbarn)

•non si osservano le reazioni

benché conservino carica e B

à Produzione associata (a coppie) di particelle strane

•decadono secondo le reazioni

con vite medie tipiche delle interazioni deboli ( t~10^-10s)

π

⁻

+ p → K

⁰

+ Λ

⁰

π

⁻

+ p → K

⁰

+ n π

⁻

+ p → π

⁰

+ Λ

⁰

✕

✕

K

⁰

→ π

⁺

+ π

⁻

Λ

⁰

→ p + π

⁻

Gell-Mann e Nishijima (1953) postularono l’esistenza di un nuovo numero quantico, la “stranezza” S, con le seguenti proprietà:

•S è conservato nelle interazioni forti, violato in interazioni deboli

•S=0 per protoni e pioni

•S ha valori opposti per L⁰ e K⁰ (si assegna arbitrariamente S=+1 al K⁰) Nella produzione di particelle strane per interazione forte, S si conserva

Il decadimento di Λ e il K⁰ deve avvenire in particelle di massa inferiore (per la cinematica) e tutte le particelle più leggere hanno S=0.

Pertanto decadono per interazione debole che non conserva S.

π

⁻

+ p → K

⁰

+ Λ

⁰

S 0 0 = +1 -1

La stranezza

Studiando varie reazioni si deducono proprietà delle particelle strane ØK⁺ e K^- hanno stranezza opposta. K⁰ e K⁺ hanno stessa stranezza.

Da conservazione numero B à K sono mesoni

ØDecadimento à L⁰ è barione (per conservazione di B) Esistendo in un solo stato di carica à I_L=0 M(L⁰)= 1116 MeV/c² ØDa conservazione dell’isospin nei processi di produzione, si ricava che

π

⁻ + p → K⁺ + K⁻+ n

S 0 + 0 = +1 + S K

( )

^{− + 0 ⇒ S K}

( )

^{− = −1}

π

⁻

+ p → K

⁻

+ K

⁰

+ p

S 0 + 0 = -1 + S K ( )

⁰

^{+ 0 ⇒ S K} ( )

⁰

^{= +1}

Λ

⁰

→ p + π

⁻

π

⁻ + p → K⁰ + Λ⁰ I 1 1

2 I_K 0 ⇒ I_K = 1 2, 3

2

Particelle strane: i mesoni K

Esistendo il K in 3 stati di carica à I=1/2

K⁺ (494 MeV/c²) K⁰ (498 MeV/c²) sono doppietto di isospin I=1/2 con S=+1

Deve esistere un K⁰-bar (antiparticella di K⁰) tale che K^-(494 MeV/c²) K⁰-bar sono doppietto I=1/2 con S=-1

K⁰-bar scoperto nella reazione

Osservazione sulla parità delle particelle strane

Le particelle strane sono prodotte a coppie à solo la parità della coppia delle due particelle strane rispetto al nucleone è una grandezza misurabile e si trova che la parità del sistema ΛK è negativa.

Arbitrariamente si assegna P(Λ)=+1 à P(K)=-1

La parità delle altre particelle può essere ottenuta, a partire da questa convenzione, attraverso l’ analisi delle varie reazioni.

π

⁺+ p → K⁺ + K⁰ + p

π

^±

+ p → K

⁺

+ Σ

^±

⇒ S(Σ

^±

) = −1 I 1 1

2 1

2 I

_Σ±

⇒ I

_Σ±

= 1, 0

Da conservazione B à S è barione

S^± hanno stessa stranezza à Non sono coppia particella-antiparticella

Poiché S^± è in 2 stati di carica à I=1 à deve esistere S⁰ (scoperta nel 1959) nel processo di produzione.

S⁰ decadimento e.m. (transizione di dipolo magnetico)

Ciò dimostra che interazione e.m. non viola la stranezza.

Quindi le S formano un tripletto di isospin di masse M(Σ⁺) = 1189 MeV/c²

M(Σ⁰) = 1193 MeV/c² M(Σ^- ) = 1197 MeV/c²

p + p → p + Σ

⁰

+ K

⁺

⇒ S(Σ

⁰

) = −1

Σ

⁰

→ Λ

⁰

+ γ S -1 = -1 + 0

Particelle strane: iperoni S

K

⁻

+ p → K

⁺

+ Ξ

⁻

S -1 +0 = +1 + S(Ξ

⁻

) ⇒ S(Ξ

⁻

) = −2 I 1

2 1

2 1

2 I

_Ξ−

⇒ I

_Ξ−

= 1 2

K

⁻

+ p → K

⁰

+ Ξ

⁰

S -1 +0 = +1 + S(Ξ

⁰

) ⇒ S(Ξ

⁰

) = −2

X^- X⁰ sono barioni con stranezza (iperoni) e formano un doppietto di isospin M(X⁰) = 1315 MeV/c²

M(X^-) = 1321 MeV/c²

Decadono per interazione debole con vite medie ~10^-10s

Ξ

⁰

→ Λ

⁰

+ π

⁰

Ξ

⁻

→ Λ

⁰

+ π

⁻

Particelle strane: iperoni X

La relazione carica-isospin, introdotta per i nucleoni e pioni, è generalizzata anche agli adroni con stranezza, introducendo il numero quantico “ipercarica” Y=B+S

I barioni e i mesoni si possono classificare in base ai numeri quantici Y e I₃

Q = I

₃

+ B + S

2 = I

₃

+ Y 2

Relazione di Gell-Mann e Nishijima

J^P

The Eightfold-Way

J^P

J^P

• I barioni J=1/2 e i mesoni pseudoscalari si raggruppano in ottetti composti di multipletti di spin isotopico

• Lo zoo degli adroni fece capire che si trattava di stati legati di costituenti elementari

• Analogia con la tavola periodica degli elementi

• Gell-Mann e Zweig (1964) proposero modello basato su tre quarks: u, d, s per spiegare gli ottetti

J^P

Ø SU(n) è il gruppo delle matrici unitarie nxn speciali, cioè con determinante=1.

L’operazione del gruppo è la moltiplicazione fra matrici.

Il gruppo è commutativo (gruppo di Lie).

L’unitarietà e det=1 implicano relazioni fra gli nxn elementi complessi delle matrici di SU(n), che riducono a nxn-1 i parametri indipendenti, detti generatori del gruppo.

A partire dai generatori si può costruire ogni matrice del gruppo.

Ø La rappresentazione di un gruppo è la corrispondenza (omomorfismo) fra gli elementi del gruppo e le operazioni lineari in uno spazio vettoriale.

La dimensione più piccola della rappresentazione del gruppo, prende il nome di rappresentazione irriducibile.

Ø In fisica delle particelle sono importanti:

SU(2) 3 generatori rappresentazione 2 sono le 3 matrici di Pauli

SU(3) 8 generatori rappresentazione 3 sono le 8 matrici di Gell-Mann

Gruppi SU(n)

λ

₁

=

0 1 0 1 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₂

=

0 −i 0 i 0 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₃

=

1 0 0 0 −1 0 0 0 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₄

=

0 0 1 0 0 0 1 0 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₅

=

0 0 −i 0 0 0

i 0 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₆

=

0 0 0 0 0 1 0 1 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₇

=

0 0 0 0 0 −i 0 i 0

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

λ

₈

= 1 3

1 0 0 0 1 0 0 0 −2

⎛

⎝

⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟

⎟ ⎟

u =

1 0 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

d = 0 1 0

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

s = 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

Rappresentazione 3 di SU(3)

I 3 quark u,d,s, sono una base della rappresentazione 3 di SU(3)

Le matrici di Gell-Mann sono

Ogni matrice del gruppo SU(3) si può rappresentare U = exp i α λ

8

⎛

∑

⎜⎜ ⎞

⎟⎟

I

₃

= 1

2 λ

₃

Y = 1

3 λ

₈

Q = I

₃

+ Y 2

I

₃

u = + 1

2 u Y u = + 1

3 u Q u = + 2 3 u I

₃

d = − 1

2 d Y d = + 1

3 d Q d = − 1 3 d I

₃

s = 0 Y s = − 2

3 s Q s = − 1 3 s

Si definiscono gli operatori

che applicati alla base danno:

Si possono rappresentare i tre quark nel piano Ipercarica Y vs. terza componente dell’isospin I₃ I quark hanno carica frazionaria

La rappresentazione 3-bar di SU(3) si ottiene da coniugazione complessa dei generatori

Ad esempio matrici di Gell-Mann diagonali diventano

I 3 anti-quark u-bar, d-bar, s-bar sono una base della rappresentazione 3-bar di SU(3)

Si definiscono gli operatori:

Rappresentazione 3 di SU(3)

u =

1 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

d =

0 1 0

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

s =

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ λ

_i

→ − λ

_i^*

− λ

₃^*

=

−1 0 0 0 +1 0

0 0 0

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

− λ

₈^*

= 1 3

−1 0 0 0 −1 0 0 0 +2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

_

I = − 1

λ

^*

Y = − 1

λ

^*

Q = I + Y

I

₃

u = − 1

2 u Y u = − 1

3 u Q u = − 2 3 u I

₃

d = + 1

2 d Y d = − 1

3 d Q d = + 1 3 d I

₃

s = 0 Y s = + 2

3 s Q s = + 1 3 s

che agiscono sulla base standard in questo modo

In base agli autovalori di Y, si assegna a quark e antiquark i numeri quantici barionico B e stranezza S (Y=B+S)

• I mesoni sono stati legati quark-antiquark.

• Per fissato L, si possono costruire le 9 combinazioni graficamente.

• Le combinazioni lineari uū dd ss al centro formano due stati dell’ottetto e un singoletto.

• Il singoletto è uno scalare in SU(3), cioè una qualsiasi trasformazione di SU(3) lascia lo stato in se stesso.

• Gli stati dell’ottetto invece si trasformano l’uno nell’altro con operatori di innalzamento e abbassamento che si possono costruire dai generatori (analogia con operatori J^±)

Costruzione grafica dell’ottetto dei mesoni

=

3 ⊗ 3 = 1⊕ 8

_

_

I mesoni

π

⁰

= 1

2 ( uu − dd ) ^{I = 1 I}

³

^{= 0}

η = 1

6 ( uu + dd − 2ss ) ^{I = 0 I}

³

^{= 0}

η ' = 1

uu + dd + ss

( ) ^{I = 0 I = 0 π} (140), K(495), η ^(550), η ^'(960)

• Composizione di r, w, f analoga a p⁰, h, h’

rispettivamente.

• f e h’ sono singoletti di SU(3)

• Masse in MeV/c² dei mesoni dei due nonetti

J

^P

=0

^-

J

^P

=1

^-

J

^P

=1/2

⁺

• I barioni sono stati legati di tre quark.

• Le possibili combinazioni di tre quark, danno un ottetto e un decupletto barionico

• L’ottetto rappresenta i barioni con L=0 e J=1/2 (spin ↑↑↓)

• Il decupletto rappresenta i barioni con L=0 e J=3/2 (spin ↑↑↑)

I barioni

J

^P

=3/2

⁺

W^- fu predetta in base a SU(3) scoperta nel 1964

M(W^-)=1672 MeV/c² S(W^-)=-3

La scoperta della W

^-

La simmetria di sapore (flavour) SU(3) per l’interazione forte è approssimata (“rotta”), essendo la differenza in massa fra i membri dei multipletti di uguale I di circa il 20%.

L’interazione forte separa in massa i multipletti di barioni di uguale I.

All’interno dei multipletti di isospin ulteriori differenze in massa sono dovute a interazione e.m. e debole.

La risonanza Δ⁺⁺: J^P= 3/2⁺ è formata da tre quark di sapore u.

La funzione d’onda del barione è

Y_spin è simmetrica. in quanto per avere J=3/2 gli spin devono essere allineati ↑↑↑

L=0 à Y_space simmetrica per scambio di una qualsiasi coppia di quark.

La funzione d‘onda di sapore Y_flavor è simmetrica (uuu)

La funzione d‘onda totale è quindi simmetrica, ma dovrebbe essere invece antisimmetrica per il principio di Pauli, essendo formata da tre fermioni identici.

Soluzione: nel 1964 Greenberg ed altri, suggerirono l’idea di assegnare un nuovo numero quantico (il COLORE) ai quark identici tra loro per tutti gli altri numeri quantici.

Viene postulato che:

•i quark esistono in tre colori: red green blue;

•gli anti-quark sono dotati di ANTI-COLORE;

•mesoni e barioni NON hanno colore: sono colour singlet.

Numero quantico di colore

ψ

_baryon

= ψ

_space

ψ

_spin

ψ

_flavor

In questo modo I tre quark possono essere distinti e la funzione d’ onda totale diventa

antisimmetrica per scambio di qualsiasi coppia di quark.

Così anche la funzione totale è antisimmetrica se tutti i numeri quantici dei tre quark sono uguali.

SU(3) di colore (RGB) è una simmetria di gauge ESATTA delle interazioni forti (QCD).

SU(3) di sapore è una simmetria approssimata

ψ

_baryon

= ψ

_space

ψ

_spin

ψ

_flavor

ψ

_colour

ψ

_colour

= 1

6 ( rgb + gbr + brg − grb − rbg − bgr )

Produzione di particelle in collisioni e

⁺

e

^-

• Coppie fermione-antifermione prodotte in collisioni e⁺ e^-

• Interazione e.m. mediata da fotone.

• Interazione debole con scambio di Z⁰ è confrontabile con interazione e.m. se √s ≥ massa Z⁰

• Particella più leggera prodotta è muone (105.7 MeV/c²)

• Il leptone t è prodotto se √s > 2 m_t c²= 2 x 1.777 GeV/c²

• Coppie quark-antiquark delle varie generazioni sono prodotte con diverse soglie dipendenti dalle masse dei quark

Produzione di leptoni

d σ

dΩ = α

²

4s ( ) !c

²

( ^{1+ cos}

²

^θ )

σ = 4 π α

²

3s ( ) !c

²

σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ µ

⁺

µ

⁻

) ^{= 21.7 nbarn} _{E GeV}

( )

²

Uguali s per produzione di µ e t à Lepton universality

Accordo misure con calcolo QED à Fattore di forma =1 à leptoni puntiformi (<10^-18m)

α α

µ

⁻

µ

⁺

Produzione di risonanze

σ (E) = 3 π !

²

4

Γ

_i

Γ

_f

E − E

₀

( )

²

^{+ Γ}

^tot

2

4

G_i G_f sono le larghezze parziali degli stati iniziali e finali

Formula di pag. 11 con s_a=s_b=1/2 e J=1 (spin fotone).

Coppia q-qbar ha J=1^- come il fotone virtuale

La sezione d’urto per la produzione di una coppia qq per interazione e.m. è analoga a quella per la produzione di una coppia di muoni.

Differenze:

- la carica elettrica: quark +2/3 o -1/3

- il fattore 3 per tenere conto dei tre stati di colore del quark.

Il rapporto fra le sezioni d’urto per la produzione di adroni e muoni è

dove per gli adroni vanno sommate le sezioni d’urto per i possibili stati finali f dei quark, cinematicamente accessibili (cioè che possono essere prodotti) all’energia nel CM della collisione √s.

R = σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ hadron )

σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ µ

⁺

µ

⁻

) ⁼

σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ q

_f

q

_f

)

f

∑

σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ µ

⁺

µ

⁻

) ^{= 3 z}

^f

2 f

∑

q

_f

q

_f

α z_f α

σ ( ^e

⁺

^e

⁻

→ q

_f

q

_f

) ^{= 3z}

^2f

^σ ( ^e

⁺

^e

⁻

^{→ µ}

⁺

^µ

⁻

)

Produzione di adroni

_

R cresce all’aumentare di √s à differenti contributi dei quark coinvolti nello stato finale.

I valori di R sono in accordo con l’ipotesi di 3 cariche di colore

Energy Quark R

√s > 2 m_s~ 1 GeV u, d, s 2

√s > 2 m_c ~ 4 GeV u, d, s, c 3.1111

√s > 2 m_b~ 10 GeV u, d, s, c, b 3.6667

√s > 2 m_t~ 350 GeV u, d, s, c, b, t 5

Confinamento dei quark

Le linee di forza del campo dei gluoni fra i quark si “stirano” quando i quark sono separati e l’energia del campo cresce linearmente con la distanza (come un elastico). Servirebbe energia ∞ per separare i due coloured - quarks

Al crescere dell’energia nel tubo di flusso, diventa energeticamente favorevole la creazione di una coppia qq, che si attaccano alle estremità del tubo di flusso

Adronizzazione

Nelle collisione ad alta energia agli acceleratori si vede quindi la formazione di _

Storia delle principali scoperte successive

Ø 1968 SLAC, scoperta dei quark nello scattering protone- elettrone

Ø 1974 Scoperta della risonanza J/y in due esperimenti indipendenti ai Brookhaven National Laboratory (collisioni protone-nucleone) e a SLAC (e⁺e^-)

M_J/y = 3.1 GeV/c² G_J/y=87 keV/c² J_p=1^-

La risonanza è stato legato (cc) del quark charm.

Successivamente si scoprono stati eccitati y’, y’’ etc

Ø 1977 Fermilab, scoperta della risonanza U (Upsilon) in collisioni di protoni

M_U = 9.46 GeV/c² G_U=52 keV/c² Stato legato (bb) di quark bottom

Ø 1983 CERN SPS, scoperta dei bosoni W^± (80.4 GeV/c²) e Z⁰ (91.1 GeV/c²)

Ø 1995 Fermilab, scoperta del top quark (173.8 GeV/c²) in collisioni protone-antiprotone

_

_

Y = B + S + C + ! B + T

Ipercarica generalizzata