non-negative che converge in probabilità ad una v.a

Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.

2015-2016

Prova scritta - 17 gennaio 2017

Problema 1. (pt 12) Sia fXⁿg una successione di v.a. non-negative che converge in probabilità ad una v.a. X, de…nite su uno spazio probabilizzato ( ; F; P ). Nello svolgimento dell’esercizio si possono usare solo le nozioni apprese nel corso di EPS.

1. Mostrare che X è non-negativa, con probabilità 1.

2. Mostrare, in modo elementare con calcoli espliciti (cioè non usando argomen- tazioni teoriche come quella richiesta al punto iii seguente), che la successione

Xn

1+Xn converge in probabilità ad _1+X^X . Si usino (se si vuole) le disuguaglianze

1 1 (_1+x^{x +})

1

1 e ¹

1 (_1+X^X )

1

1+ valide per ogni x 0 ed abbastanza piccolo. Si supponga, eventualmente X limitata.

3. Mostrare che, se f è uniformemente continua, allora f (Xn) ! f (X) in probabilità.

4. Trovare un esempio di funzione f discontinua e di successione fXⁿg (con le proprietà precedenti) tale che f (Xn) non tenda ad f (X) in probabilità.

Problema 2. (pt 9) Si consideri la densità f ( ; x) = C xe ^x21x 0 de…nita per

> 0.

1. Calcolare la costante C , scrivere il modello standard e trovare lo stimatore b_n di massima verosimiglianza.

2. Stabilire se bn è consistente, anche e soprattutto tramite calcolo esplicito basato sulla de…nizione di consistenza.

3. Impostare il calcolo di una regione critica di livello 0.95 per il test H0) 3, H1) < 3. Scrivere la regione critica in termini di bn e riconoscere espicitamente perché è naturale che sia di quella forma, al di là dei teoremi con cui l’avete costruita.

Problema 3. (pt 9) Un’azienda produce componenti per elettrodomenstici. Un suo reparto produce un numero di pezzi giornalieri che varia casualmente di giorno in giorno; con un certo grado di estrapolazione, si supponga che questo numero X aleatorio sia distribuito in modo gaussiano. Nel 2016, il numero medio di pezzi prodotti giornalmente è stato 23.3, con una deviazione standard pari a 6.5.

1. 90 giorni su 100 (mediamente parlando), su quale quantità minima di pezzi prodotti si può contare, in questo regime di lavoro? Spiegare bene come avete traddotto matematicamente questa richiesta.

2. Un dirigente ha studiato un nuovo metodo di produzione che si spera aumenti il numero medio di pezzi prodotti (si può escludere che li diminuisca); non ci sono invece ragioni di ritenere che modi…chi la variabilità. Si vuole innanzi tutto stimare in modo bilaterale tale numero medio, nel regime del nuovo metodo, con una precisione assoluta di due pezzi ed un livello di …ducia del 90%. Quanti giorni di lavoro col nuovo metodo si devono aspettare?

3. Il nuovo metodo di produzione viene implementato e vengono registrati i valori giornalieri di produzione per 20 giorni, trovando una media dei valori pari a 25.8, con deviazione standard pari a 6. Possiamo a¤ermare, al 95% che il nuovo metodo funziona? Formalizzare la risoluzione dichiarando le ipotesi e la regione di ri…uto. Dopo aver eseguito il test, calcolare anche il valore p utilizzando i quantili gaussiani e la nuova deviazione come vera ed eseguire nuovamente il test a posteriori.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1. Sappiamo che, preso > 0, vale

n!1lim P (jXⁿ Xj > ) = 0:

In particolare,

n!1lim P (X X_n ) = 1:

Siccome Xn 0, vale P (X ) P (X X_n ), quindi lim_n!1P (X ) = 1, ovvero

P (X ) = 1:

In…ne, l’evento fX 0g è intersezione degli eventi X n¹ , tutti di prob- abilità 1; ne discende che anche fX 0g ha probabilità 1.

2. Osserviamo che, sui numeri non negativi, la funzione x 7! _1+x^x è strettamente crescente, con inversa y 7! 1 y¹ . Pertanto

P X

1 + X

X_n 1 + X_n

X 1 + X +

= P 1

1 _1+X^X X_n 1

1 _1+X^X +

!

P 1

1 + Xn

1

1 ! 1:

Abbiamo usato X limitata per applicare la funzione inversa ad _1+X^X + , con abbastanza piccolo.

Un metodo più veloce, però un po’fortuito, consiste nel passaggio X_n

1 + X_n

X

1 + X = X_n X

(1 + X_n) (1 + X) che permette di ricondurre più velocemente a jXⁿ Xj.

3. Basta ripetere una dimostrazione delle dispense.

4. Basta che Xn> 0 tenda ad 0 ed f = 1_{( 1;0]}. Va svolta la veri…ca.

Esercizio 2.

1. Z ₁

0

2xe ^x2dx = Z ₁

0

e ^tdt = 1 C = 2

f ( ; x) = 2 xe ^x21_{x 0}

Usiamo = (0;1)ⁿ coi suoi boreliani e le misure P di densità L ( ; x1; :::; xn) = 2ⁿ Y

xi n

e (^x21+:::+x2n) log L = ::: + n log x²₁+ ::: + x²_n : Vale poi

@

@ log L = n

x²₁+ ::: + x²_n che è zero per ⁿ = x²₁+ ::: + x²_n, = _x2 ⁿ

1+:::+x²_n. Quindi lo stimatore di MV è

b_n= n

X₁² + ::: + X_n²

avendo indicato con X1; :::; X_n un campione di densità f ( ; x).

2. Il modello è chiaramente esponenziale, quindi bn è consistente per un no- to teorema. Vediamo però il calcolo esplicito. Se stabiliamo che ^X12+:::+X_n ²ⁿ converge in probabilità a ¹, allora basta applicare il teorema sulla stabilità della convergenza in probabilità sotto funzioni continue: ne discende subito che _X2 ⁿ

1+:::+X_n² converge in probabilità a (de…nizione di consistenza). Per veri…care la condizione detta sopra, possiamo applicare la legge dei grandi numeri, trattandosi della media aritmetica di v.a. indipendenti ed identi- camente distribuite; bisogna però veri…care che E [X₁²] = ¹ e che X₁² abbia varianza …nita; per quest’ultimo scopo basta che sia E [X₁⁴]…nito, fatto vero grazie al decadimento esponenziale della densità. Resta da svolgere il calcolo

E X₁² = Z ₁

0

2xx²e ^x2dx = Z ₁

0

te ^tdt = ::: = 1 : 3. Il rapporto di verosimiglianza, per 2 > ₁, è

L ( ₂; x₁; :::; x_n)

L ( 1; x1; :::; xn) = ²

1 n

e ^{( 2 1)}(^x21+:::+x²_n):

Rispetto a T (x1; :::; x_n) := x²₁ + ::: + x²_n, è decrescente, perché ²

1

n

è una costante positiva e x 7! e ^{( 2 1)x}è decrescente ( 2 > ₁). Pertanto la miglior regione critica ha la forma

fT dg

e per trovare d basta imporre l’equazione

P ⁼³(T d) = 0:05:

Riscritta in termini di bn essa appare del tipo nb_n d⁰o

con d⁰ = ⁿ_d e questa è la struttura naturale, volendo ri…utare un’ipotesi del tipo 3 (ri…uteremo :::se un suo stimatore assume valori d⁰ con d⁰ opportuno).

Esercizio 3.

1. Detto X N (23:3; 6:5²), cerchiamo n (meglio se intero) tale che P (X n) 0:9:

Cerchiamo x tale che P (X x) = 0:9, cioè P (X x) = 0:1. Vale allora x = 23:3 + 6:5 q_0:1 = 23:3 6:5 1:28 = 14:98:

2. L’uso delle t di Student rende implicita la risoluzione e quindi ci a¢ diamo alle gaussiane. L’intervallo di …ducia per la media è

X q₁

p 2

n

e vogliamo ^qp1_n² 2. Sostituendo = 6:5, = 0:1, troviamo n 6:5 q_0:95

2

2

= 6:5 1:645 2

2

= 28:582 quindi n = 29.

3. E’ più naturale, viste le premesse, svolgere un test unilaterale. L’ipotesi nulla è H⁰)media 23.3, l’alternativa H⁰)media >23.3, la regione di ri…uto, usando le t di Student perché il campione è basso, osservando che t19;0:05 = 1:729 e che 23:3 + ^{6 1:729p}₂₀ = 25:62

X > 25:62

e pertanto il test risulta signi…cativo. Il valore p è dato da P (^23:3;62) X > 25:8 = P (^23:3;62) X 23:3

6

p20 > 25:8 23:3 6

p20

= 1 25:8 23:3

6

p20 = 1 (1:86)

= 1 0:96856 = 0:03144:

E’inferiore a 0.05 e quindi anche così il test risulterebbe signi…cativo.