“erroneamente” il lotto sia inferiore al 5%?

Corsi di Probabilit` a, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf. Gest. Azienda

16/12/2011 Esercizio 1

i) In una procedura di collaudo progettata per decidere se accettare o meno un lotto composto da 50 esemplari, un collaudatore estrae a caso 5 esemplari e decide di accettare il lotto solo se in tale gruppo ci sono meno di 2 esemplari difettosi. Se in uno dei lotti esaminati ci fossero 20 esemplari difettosi, qual `e la probabilit`a che, impiegando il criterio di questo collaudatore, esso venga accettato?

ii) Il collaudatore capisce che `e meglio cambiare criterio, e decide che il lotto deve essere rifiutato anche quando in un’estrazione di due soli esemplari ce n’`e anche solo uno difettoso. Utilizzando questo criterio, qual `e il minimo numero di esemplari difettosi che devono essere presenti in un lotto di 50 esemplari se vogliamo che la probabilit`a di accettare

“erroneamente” il lotto sia inferiore al 5%?

Esercizio 2 Si consideri la funzione f (x) che vale −αx ² + 1 per x ∈



− 1

√ α , 1

√ α



e 0 altrimenti.

i) Stabilire il valore di α per il quale f `e una densit`a di probabilit`a. Da ora in poi si ponga α uguale al valore trovato.

ii) Sia X una v. a. che ha densit`a f . Determinare φ _X (t), specificandone il dominio.

iii) Determinare Var(X) col metodo ritenuto pi` u comodo.

iv) Posto Y = log X + r 1

α

!

, trovare la densit`a di Y , specificandone il supporto.

Esercizio 3 Si considerino 10 v. a. X ₁ , . . . , X ₁₀ i. i. d. e aventi media 1 e varianza 2.

i) Posto S = X ₁ + · · · + X 10 , minorare P (0 < S < 20).

ii) Supponendo (oltre all’indipendenza) che X i ∼ N (1, 2) con (1 ≤ i ≤ 10), calcolare esattamente P (0 < S < 20).

Esercizio 4 Si consideri la catena di Markov sull’insieme

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} associata alla matrice di transizione P a fianco.

i) Disegnare il grafo, classificare gli stati e determinare le classi irriducibili.

ii) Calcolare la probabilit`a che la catena sia nello stato 2 al tempo 3, sapendo che `e nello stato 1 al tempo 0.

iii) Determinare tutte le probabilit`a invarianti della catena.

P =



 

 

 



0 1/3 0 1/3 0 1/3

0 2/3 0 1/3 0 0

0 0 0 0 2/3 1/3

0 1/3 0 2/3 0 0

0 0 1/3 0 0 2/3

0 0 1/3 0 2/3 0



 

 

 



• x = ^x

¹

^+...+x _n

ⁿ

, S ² = _{n −1} ¹ P n

i=1 (x i − x) ² , d Cov = _{n −1} ¹ P n

i=1 (x i − x) (y ⁱ − y), r = _S

x

^{Cov d}

`ıX

S

Y

= ^P

n

i=1

(x

ⁱ

−x)(y

ⁱ

−y)

√ P

n

i=1

(x

ⁱ

−x)

²

P

n

i=1

(y

ⁱ

−y)

²

. P n

i=1 (x i − x) ² = P n i=1 x ² _i

− nx ² , P n

i=1 (x i − x) (y ⁱ − y) = ( P n

i=1 x i y i ) − nxy.

• n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1, 0! = 1. ⁿ _k

= _{k !(n−k)!} ^n! = ⁿ ·(n−1)···(n−k+1)

k! .

• P (A|B) = ^P _P ^(A∩B) _(B) , P (A ∩ B) = P (A|B) P (B). A, B indipendenti: P (A ∩ B) = P (A) P (B), P (A|B) = P (A), P (B |A) = P (B). P (A) = P

k P (A |B k ) P (B k ). P (B |A) = ^{P (A|B)P (B)} _P(A) .

• X discreta, valori a j , P (X = a j ) = p j , allora E [X] = P

j a j p j , E [g (X)] = P

j g (a j ) p j , E  X ² 

= P

j a ² _j p j . P (X ∈ A) = P

i:a

i

∈A P (X = a i ) = P

i:a

i

∈A p i . X ∈ N, P (X ≤ n) = P n

i=0 p i , P (X ≥ n) = P _∞

i=n p i .

• X continua, densit`a f (x), allora E [X] = R _∞

−∞ xf (x) dx, E [g (X)] = R _∞

−∞ g (x) f (x) dx, in particolare E  X ²  R _∞ =

−∞ x ² f (x) dx. P (X ∈ A) = R

A f (x) dx.

• V ar [X] = σ X ² := E h

(X − µ X ) ² i

dove µ _X = E [X]. V ar [X] = E  X ² 

−µ ² X . Cov (X, Y ) = E [(X − µ X ) (Y − µ Y )], Cov (X, Y ) = E [XY ] − µ X µ _Y . ρ (X, Y ) = ^{Cov(X,Y )} _σ

X

σ

Y

. −1 ≤ ρ (X, Y ) ≤ 1.

• E [aX + bY + c] = aE [X]+bE [Y ]+c. V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ]+2Cov (X, Y ). V ar [aX] = a ² V ar [X].

Standardizzazione di X: ^{X −µ} _σ

^X

X

.

• X, Y indipendenti: P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A) P (Y ∈ B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X, Y ) = 0, ρ (X, Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

• F (x) = P (X ≤ x). F (t) = R t

−∞ f (x) dx. F ^′ (t) = f (t). F (q α ) = α.

• ϕ (t) = E  e ^tX 

, ϕ ^′ (0) = E [X], ϕ ^′′ (0) = E  X ² 

; ϕ aX (t) = E  e ^taX 

= ϕ X (at). X, Y indipendenti implica ϕ X +Y (t) = ϕ X (t) ϕ Y (t).

• X ∼ B (n, p) : P (X = k) = ⁿ k

p ^k (1 − p) ^{n −k} , E [X] = np, V ar [X] = np (1 − p), σ = p

np (1 − p), ϕ (t) = q + pe ^t
n

dove q = 1 − p. X 1 , ..., X n ∼ B (1, p) indipendenti implica S = X 1 + ... + X n ∼ B (n, p).

• X ∼ipergeometrica di parametri N, M e n : P (X = k) =

N k

_M

n −k

N+M n

con k = 0, 1, · · · , n.

• X ∼ P (λ): P (X = k) = e ^{−λ λ} _k!

^k

, E [X] = λ, V ar [X] = λ, σ = √

λ, ϕ (t) = e ^λ ( ^e

^t

−1 ). Se np n = λ allora lim n →∞ n

k

p ^k _n (1 − p ⁿ ) ^{n −k} = e ^{−λ λ} _k!

^k

.

• X ∼ N µ, σ ²

: f (x) = √ ¹

2πσ

²

exp 

− ^(x−µ) _2σ

2 ²



. E [X] = µ, V ar [X] = σ ² , ϕ (t) = e ^µt e

^{t2 σ22}

. X, Y gaussiane indipendenti, a, b, c ∈ R implica aX + bY + c gaussiana. X ∼ N µ, σ ²

si pu`o scrivere come X = σZ + µ, con Z ∼ N (0, 1). F µ,σ

²

(x) = Φ ^{x −µ} _σ

. Φ ( −x) = 1 − Φ (x). q α = −q 1−α . Soglie µ ± σq α .

• X ∼ Exp (λ): f (x) = λe ^−λx per x ≥ 0, zero per x < 0. E [X] = λ ¹ , V ar [X] = _λ ¹

2

, σ = _λ ¹ , ϕ (t) = _λ ^λ _−t per t < λ.

F (x) = 1 − e ^−λx per x ≥ 0, zero per x < 0.

• TLC: P 

X

1

+...+X √ nσ

n

−nµ ∈ A 

≈ P (Z ∈ A), con Z ∼ N (0, 1).

• X = ^X

¹

^+...+X n

ⁿ

∼ N  µ, ^σ _n

²



. E  S ² 

= σ ² . ^S _σ

2²

(n − 1) ∼ χ ² n −1 .

• µ = X ± ^{σq √}

¹⁻

_n

^α2

; µ = X ± ^{S ·t}

(n−1) 1−α

√ n

2

.

•    ^{x −µ} σ

⁰

√ n    > q 1−

^α₂

.    ^{x −µ} S

⁰

√ n    > t ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₁₋

^α₂

. P 

|Z| >    ^{x −µ} S

⁰

√ n     , P _µ 

X ∈ h

µ ₀ − ^{σq √}

¹⁻

_n

^α2

, µ ₀ + ^σq √

¹⁻

n

^α2

i . ^S _σ

₂²

(n − 1) >

χ ² _{α,n −1} . T = n P k i=1

( p b

i

−p

ⁱ

)

²

p

i

= P k

i=1

( ^{X b}

ⁱ

−np

ⁱ

)

²

np

i

> χ ² _{α,k −1} .

• y = A + Bx, B = ^{Cov d} _S

²

X

= r ^S _S

^Y

X

, y = A + Bx.