Primo grado Secondo grado Calcolo Algebrico

Calcolo Algebrico

Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali:

^{ax + b = 0}

(a ≠ 0) x = − b

a

Primo grado

Secondo grado ax

²

+ bx + c = 0 (a ≠ 0)

Si hanno due soluzioni che possono essere reali distinte, reali coincidenti o complesse coniugate

€

x₁ = −b − b² − 4 ac 2a

x₂ = −b + b² − 4 ac 2a

Δ = b² − 4 ac Δ > 0

Δ = 0 Δ < 0

Due soluzioni reali e distinte Soluzioni reali e coincidenti

Soluzioni complesse e coniugate disequazioni

ax + b ≥ 0

ax² + bx + c ≥ 0

Si risolvono le equazioni associate e quindi si stabilisce in quali intervalli limitati o illimitati

a>0 x>-b/a a<0 x<-b/a

a > 0 Δ > 0

x ≤ x U x ≥ x

-b/a -b/a

x₁ x₂

Discriminante

Δ = 0

x = x₁ = x₂

La disequazione è soddisfatta per ogni valore reale di x nel caso a>0

Non è invece soddisfatta per alcun valore di x quando a<0

x₁ x₂ a < 0

Δ > 0

x₁ ≤ x ≥ x₂

x₁ =x₂

a<0 La disequazione è soddisfatta solo per x=x₁=x₂

a>0 La disequazione è soddisfatta per ogni valore di x compresi x₁=x₂

x₁ =x₂

Δ<0

Esempi.

• Sappiamo da un’analisi qualitativa che un certo oggetto è una lega di oro e rame. Noto il volume dell’oggetto v e il suo peso p, dobbiano inoltre conoscere

la densità dell’oro puro o=19.3 g/cm³ e la densità del rame puro r=8.9 g/cm³

Dobbiamo calcolare la percentuale di oro presente x volume dell’oro presente

v-x volume del rame presente ox+(v-x)r=p

• Scrivere un’equazione di secondo grado che abbia come soluzioni x₁=-4/5 e x₂=17/6

• Una bombola da 15 l contiene un gas alla pressione di 8 atm. Quanti litri di gas alla pressione di 1atm possono essere effettivamente erogati (usare la legge PV=cost)

• Una miscela di CO e CO₂ pesa 25g sapendo che il Carbonio rappresenta il 33% del peso totale della miscela, determinare la composizione

Elementi di Geometria Analitica Rette e segmenti

Su un piano cartesiano la distanza tra due punti P(x₁;y₁) e Q(x₂;y₂) d(P, Q) = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

In un piano cartesiano ogni equazione di primo grado ax+by+c=0 rappresenta una retta (casi in cui a=0 e b=0)

è più familiare l’espressione y=mx+n (con m=-a/b e n=-c/b) m=coefficiente angolare --- pendenza della retta

m>0 m<0

Date due rette

y=mx+n ; y=m’x+n’

sono parallele se m=m’

sono perpendicolari se m=-1/m’

Grafici

Utile rappresentazione di un fenomeno fisico Tempo Posizione

-4.0000 -7.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 2.0000 0.0000 5.0000 2.0000 11.000 3.0000 14.000

4.0000 17.000 ^-10

-5 0 5 10 15 20

-5 0 5

posizione

tempo

Anche nei casi di una dipendenza non lineare delle variabili spesso ci si riporta ad una rappresentazione lineare

es. y=t² si riporta in grafico y in funzione di t² anzichè t

Es. Legge oraria di un moto rettilineo uniforme x=3t+5

Coniche:

curve che si possono ottenere come intersezione di un cono con un piano; al variare dell’inclinazione del piano rispetto al cono si possono ottenere ellissi,parabole iperboli ecc.

Le coniche sono rappresentate nel piano cartesiano dalle equazioni di secondo grado:

ax

²

+ bxy + cy

²

+ dx + fy + g = 0

http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica

Ogni parabola possiede un’asse di simmetria; il punto in cui l’asse di simmetria incontra la parabola si chiama vertice , le equazioni del tipo:

rappresentano tutte e sole le parabole con asse di simmetria verticale (x=-b/2a); il vertice V(-b/2a; -Δ/4a)

y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Parabola :

il luogo dei punti P per i quali la distanza da una retta (detta direttrice) è uguale alla distanza da un punto fisso F (detto fuoco). L'asse di una parabola è una retta perpendicolare alla sua direttrice passante per il fuoco.

Circonferenze ed ellissi:

Circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio r > 0

x

²

+ y

²

= r

x

²

+ y

²

= r

²

Ellisse di semiassi a e b con centro nell’origine degli assi; e` definita come il luogo geometrico dei punti P tali che la somma della distanza tra i due fuochi sia uguale a 2a

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1

a

-b

b

-a

P

Iperbole e iperbole equilatera :

Le due rette che si avvicinano indefinitamente all’iperbole sono gli asintoti dell’iperbole e l’ampiezza dell’angolo β determina la forma dell’iperbole

fissati due punti detti fuochi F , F’ e un numero reale positivo 2a, con 2a < d(F, F'), L'iperbole è il luogo dei punti P tali che il valore assoluto della differenza delle

distanze di P da due punti fissi F, F’sia costante.

Cioè, | distanza[P,F1] - distanza[P,F2] | = 2a, dove a rappresenta una costante.

asintoti

β

I vari elementi associati ad una iperbole sono:"

Fuochi = due punti fissi da cui tutti i punti dell'iperbole hanno differenza costante"

Vertici = intersezioni del segmento che unisce i fuochi con i due rami dell'iperbole."

Asintoti = due rette che si definiscono "tangenti all'infinito dell'iperbole", ovvero una coppia di rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano sempre più senza però mai intersecarle."

Particolarmente importanti sono le iperbole equilatere ossia le iperbole i cui asintoti sono tra loro perpendicolari (assi cartesiani)