Le geodetiche del cono.
Immaginiamo di costruire un cono di carta a partire da uno sviluppo di ampiezza inferiore ad un semicerchio. Fissiamo un filo ad un punto della superficie laterale del cono, avvolgiamolo intorno al cono e facciamo ripassare il filo per il punto che abbiamo fissato in modo da formare un cappio intorno ai cono. A questo punto tendiamo filo dalla parte libera, sempre facendolo passare dal punto fisso, sino a che raggiunga una posizione stabile sul cono. Qual è questa posizione?
Si osserva anzitutto che il filo non si dispone parallelamente alla base del cono a formare una circonferenza sulla sua superficie, ma assume una posizione inclinata a formare un ellisse; il punto fisso è il punto dell’ellisse a minor distanza dalla circonferenza di base del cono. Cos’ha di particolare questa posizione rispetto a tutte le altre possibili? Questa posizione ha la proprietà di ridurre al minimo la lunghezza del cappio; infatti, se tirando ulteriormente il filo questa posizione non si modifica, ciò significa che in una qualsiasi altra posizione (o più o meno inclinata) sarebbe richiesto un tratto di filo aggiuntivo.
Ripassiamo ora con una matita la traccia del filo sulla superficie conica, indicando anche la posizione del nostro punto fisso. Tolto il filo, apriamo i cono tagliandolo lungo la generatrice passante per il punto fisso. Cosa otteniamo? Una linea retta. Questa è la geodetica sul cono, la linea più breve tra due punti. Partendo da un punto della superficie del cono, la linea più breve per tornare allo stesso punto si presenta dunque nello sviluppo come una porzione di retta.
Ora ci chiediamo:
• E’ sempre possibile partire da un punto e tornare allo stesso punto lungo il cammino più breve sulla superficie di un cono?
ovvero
• E’ sempre possibile costruire su un cono una geodetica chiusa?
La risposta è no. Ciò è possibile solo se l’apertura del cono è inferiore ad un certo valore.
Possiamo verificano costruendo coni di carta coni aperture sempre maggiori e usando la stessa
tecnica del filo prima descritta. Osserveremo che quando l’apertura è abbastanza grande non si
riesce più ad ottenere un filo teso sulla superficie del cono. Il cappio cioè si sfila dal vertice del cono quando noi io tiriamo.
E quale è, dunque, il valore limite di semiapertura di un cono al di sotto del quale possiamo disegnare geodetiche chiuso sulla sua superficie laterale? Una retta può partire da una generatrice e arrivare al punto corrispondente sull’altra generatrice nello sviluppo del cono (cioè al punto che si identifica con il primo quando si chiude lo sviluppo) solo se lo sviluppo è più piccolo di un semicerchio. Il caso limite è uno sviluppo semicircolare.
Se α è l’angolo AÒB dello sviluppo, α l’apotema del cono ed R il suo raggio di base, possiamo scrivere
cono
cerchio
