Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 2 (a.a. 2018/19) SETTIMANA 1:
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano.
Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Orientamento di una curva. Curve semplici e chiuse. Curve di classe C1 e C1 a tratti. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana.
Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, strofoide, rodonea, elica cilindrica, cardioide, spirale cartesiana e logaritmica.
SETTIMANA 2:
Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva.Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve
parametrizzate mediante ascissa curvilinea. Versore normale, binormale, piano
osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per una curva biregolare in R3.
SETTIMANA 3:
Equazioni di Frenet. Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprietà elementari ed esempi.
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno e del confronto tra limiti, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
SETTIMANA 4:
Funzioni continue, continuità’ parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti . Insiemi compatti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi, connessi per archi, convessi e stellati. Teorema dei valori intermedi (dim).
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale: rette tangenti. Regole di derivazione. Derivata direzionale e significato
geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim).
Teorema del gradiente (dim).
SETTIMANA 5:
Interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale (dim). Primo
teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello.
Teorema di Lagrange per funzioni di due variabili (dim). Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim). Secondo teorema di derivazione delle funzioni composte, secondo.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim).
SETTIMANA 6:
Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwartz. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di
caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi, esempi.
Massimi e minimi assoluti in domini compatti, esempi
Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (dim)
SETTIMANA 7:
Problemi di ricerca di massimi e minimi vincolati.
Superfici, sostegno di una superficie, superfici semplici. Superfici cartesiane. Coordinate cilindriche e sferiche. Cilindro e sfera, Superfici regolari, versore normale e piano
tangente. Superfici equivalenti e proprietà geometriche. Parametrizzazione di una superficie di rotazione. Superfici rigate.
SETTIMANA 8:
Superfici regolari con bordo, bordo e orientamento del bordo di una superficie
Funzioni di tre o più variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente. Funzioni differenziabili e derivate direzionali. Formula di derivazione delle funzioni composte.
Integrale dipendente da un parametro, continuità e regola di Leibniz di derivazione sotto segno di integrale
Massimi e minimi relativi, condizione necessaria del I ordine per l’esistenza. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili.
Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Proprietà elementari. Baricentro di un corpo filiforme.
Domini normali nel piano.
SETTIMANA 9:
Definizione di integrale doppio su domini normali. Proprietà elementari dell'integrale doppio e formule di riduzione. Esempi. Proprietà di simmetria nell'integrale doppio.
Baricentro di un corpo piano. Calcolo di aree e di volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio. Coordinate polari e polari ellittiche. Esempi.
SETTIMANA 10:
Integrale di superficie. Area di una superficie. Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim).
Domini normali in R3. Integrale triplo: definizione, proprietà elementari e formule di riduzione.
Calcolo di baricentri e volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale triplo. Coordinate cilindriche e sferiche. Esempi.
Calcolo di aree e di volumi. Teorema di Guldino.
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà elementari.
SETTIMANA 11:
Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim). Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali irrotazionali, Teorema sui campi irrotazionali (dim). Insiemi semplicemente connessi. Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi (Lemma di Poincaré). Metodi per determinare un potenziale di un campo conservativo.Teorema di Green (dim in un rettangolo). Curve chiuse omotope e teorema di invarianza per omotopia in R^2. Applicazioni del Teorema di Green per il calcolo di aree. Teorema di Gauss della divergenza in R2. Flusso di un campo vettoriale.
Teorema di Gauss della divergenza in R3. Teorema di Stokes e teorema di invarianza per omotopia in R^3. Forme differenziali e campi vettoriali: forme differenziali esatte e chiuse, primitiva di una forma differenziale esatta. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Formule di Gauss-Green.
SETTIMANA 12:
Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'EDO, integrale generale e soluzione singolare.
Problema di Cauchy. Funzioni lipshitziane e Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità' locale della soluzione di un problema di Cauchy. Interpretazione geometrica per
equazioni del primo e del secondo ordine. Pennello di Peano. Equazioni a variabili separabili (dim). Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine (dim).
Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee.
Soluzioni linearmente indipendenti, determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché due funzioni risultino linearmente indipendenti (dim).
Teorema sull'integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee (dim). Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine complete.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazioni differenziali lineare del II ordine completa a coefficienti costanti.
Equazione dell'oscillatore armonico semplice, smorzato e forzato, fenomeno della risonanza.
- Equazioni differenziali lineari di ordine n>2 - Equazioni differenziali di Eulero
