Programma di Analisi Matematica 2 (a.a. 2019/20)
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano. Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Orientamento di una curva. Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, elica cilindrica. Curve semplici e chiuse. Curve di classe C1 e C1 a tratti. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana. Esempi:
circonferenza, ellisse, cuspide, astroide, strofoide, rodonea, elica cilindrica, cardioide, spirale archimedea e logaritmica. Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva. Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve parametrizzate mediante ascissa curvilinea. Versore normale, binormale, piano osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per curve biregolari in R3. Equazioni di Frenet. Teorema fondamentale delle curve in R^3.Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2. Teorema fondamentale delle curve in R^2
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato e compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprietà. Funzioni di due variabili reali:
dominio, immagine, grafico, insiemi di livello. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno e del confronto tra limiti, algebra dei limiti. Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti.
Funzioni continue, continuità parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi per archi, convessi e stellati.
Aperti connessi, Teorema dei valori intermedi (dim).
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale: rette tangenti. Regole di derivazione. Primo teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivata direzionale e significato geometrico.
Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di continuità delle funzioni differenziabili (dim). Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente (dim). Teorema del differenziale (dim). Secondo teorema di derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello. Teorema di Lagrange per funzioni di due variabili (dim). Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim).
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (dim). Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Ricerca di massimi e minimi relativi. Massimi e minimi assoluti in domini compatti. Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R^2. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (dim). Problemi di ricerca di massimi e minimi vincolati.
Funzioni di tre o più variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali, gradiente. Funzioni differenziabili. Massimi e minimi relativi, condizione necessaria del I ordine per l’esistenza. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Teorema della funzione implicita per equazioni.
Superfici, sostegno di una superficie. Superfici cartesiane. Coordinate cilindriche e sferiche. Cilindro e sfera. Superfici cartesiane. Superfici semplici. Superfici regolari, versore normale e piano tangente. Superfici orientabili e orientamento di una superficie. Superfici equivalenti e proprietà geometriche. Parametrizzazione di una superficie di rotazione.
Superfici rigate. Superfici regolari con bordo, bordo e orientamento del bordo di una superficie. Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Indipendenza dalla
parametrizzazione scelta. Proprietà elementari.. Baricentro di un corpo filiforme. Domini normali nel piano.
Integrale doppio su domini normali: definizione, proprietà elementari e formule di riduzione. Proprietà di simmetria nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano.
Calcolo di aree e di volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio. Coordinate polari e polari ellittiche.
Integrale di superficie. Area di una superficie. Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim). Interpretazione geometrica dell’integrale curvilineo di una funzione di due variabili reali.
Integrale triplo su domini normali: definizione, proprietà elementari e formule di riduzione.
Calcolo di baricentri e volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale triplo. Coordinate cilindriche e sferiche. Teorema di Guldino sul volume di un solido di rotazione.
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim). Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali irrotazionali, Teorema sui campi irrotazionali (dim). Insiemi semplicemente connessi. Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi (Lemma di Poincaré). Metodi per determinare un potenziale di un campo conservativo.Teorema di Green e conseguenze. Formula per il calcolo di aree. Teorema di Gauss della divergenza in R2. Flusso di un campo vettoriale.
Teorema di Gauss della divergenza in R3. Teorema di Stokes. Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'EDO, integrale generale. Problema di Cauchy. Funzioni lipshitziane e Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy. Interpretazione geometrica per equazioni del primo e del secondo ordine. Pennello di Peano. Integrale generale di equazioni a variabili separabili (dim).
Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine (dim). Equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee. Soluzioni linearmente indipendenti, determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché due funzioni risultino linearmente indipendenti. Teorema sull'integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee (dim). Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine complete. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del II ordine completa a coefficienti costanti.
Equazione dell'oscillatore armonico semplice, smorzato e forzato, fenomeno della risonanza.
