Richiami di matematica Richiami di matematica

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Richiami di matematica Richiami di matematica Richiami di matematica Richiami di matematica

● Tabelle: ci dicono qualcosa sulla relazione tra due grandezze.

● Tre esempi: grandezze direttamente proporzionali, inversamente proporzionali e proporzionali una al quadrato dell'altra

x y

0 0

1 2

3 6

8 16

x y

1 1

2 0.5

3 0.33

5 0.2

x y

0 0

1 1

3 9

5 25

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Grafici

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Funzioni Funzioni Funzioni Funzioni

● Il valore di y dipende da quello di x: diciamo che y funzione di x, y=f(x)

● Se y è proporzionale ad x il grafico è una linea e diciamo che la funzione è lineare.

● Se è proporzionale al quadrato di x diciamo che è quadratica

● Si può fare il grafico di qualunque funzione mettendo x sull'asse e f(x) sull'asse y.

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Esponenziali e logaritmi Esponenziali e logaritmi Esponenziali e logaritmi Esponenziali e logaritmi

● Se a^x=b dico che x è il logaritmo in base a di b.

● È particolarmente importante in caso in cui a=e=2,71828 circa (numero di Nepero). In questo caso parliamo di

funzione esponenziale e^x, e di logaritmi naturali Logaritmi ed esponenziali hanno alcune proprietà

x = log

_a

y

x = ln y

e⁽^{x+ y)}=e^xe ^y,(e^x)^y=e^xy ,log( xy)=log (x)+log ( y),log(x^y)= y log(x)

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Grafico di esponenziale e logaritmo

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Funzioni circolari Funzioni circolari Funzioni circolari Funzioni circolari

θ

S Arco

C R

● Arco/R=angolo in radianti

● S/R = sin(θ)

● C/R = cos(θ)

● S/C = tan(θ)

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Grafico delle funzioni circolari

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Propriet

Propriet à à delle funzioni circolari delle funzioni circolari Propriet

Propriet à à delle funzioni circolari delle funzioni circolari

sin²( x)+cos²(x)=1

sin(2x)=2sin( x)cos (x)

cos(2x)=cos²(x )−sin²(x ) cos(2x)=cos²(x )−sin²(x ) cos(2x)=cos²(x )−sin²(x ) sin( x

2 )=

√

^{1−cos (x )}²

cos( x

2 )=

√

^1+cos(x)²

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Angolo solido Angolo solido Angolo solido Angolo solido

Ω= Area r²

Ω

_totale

= 4 π

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Limiti Limiti Limiti Limiti

● Una funzione potrebbe non essere definita per un certo valore di x (per esempio sin(x)/x per x=0) ma avvicinarsi ad un certo valore quando x diventa molto vicino al valore cercato (zero, in questo caso)

● Diciamo allora che il limite per x che tende a zero di sin(x)/x è 1, ovvero

lim

_{x → 0}

sin( x)

x =1

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Derivate Derivate Derivate Derivate

● Per conoscere la velocità devo fare il rapporto tra spostamento e tempo

● Indico il cambiamento dello spostamento e quello del tempo con

● Se voglio conoscere la velocità media in un intervallo molto piccolo, la velocità sarà

x₂−x₁=Δ x , t₂−t ₁=Δ t

v= Δ x

Δ t

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Derivate - II Derivate - II Derivate - II Derivate - II

● Se x₂->x₁ ottengo la velocità istantanea

● Alcune derivate utili sono

v=lim

_Δ _{x → 0}

Δ x

Δ t = d x d t

dxⁿ

dx =n xⁿ⁻¹ , dsin(x)

dx =cos (x), dcos( x)

dx =−sin (x ) de ^x

=e^x , dln(x )

= 1

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Derivate di somme e prodotto Derivate di somme e prodotto Derivate di somme e prodotto Derivate di somme e prodotto

1. La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate

2. La derivata di un prodotto si fa con la regola di Leibniz

3. La derivata di una funzione composta è

d

dx(f (x)+g( x))=df ( x)

dx +dg (x ) dx

d

dx (f (x) g( x))=df ( x)

dx g (x )+f (x )dg (x ) dx

d

dx(f (g (x )))=df ( y ) dy

dg (x)

dx con y =g (x )

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Somme e integrali Somme e integrali Somme e integrali Somme e integrali

● Considero una funzione y = f(x)>0 e voglio valutare l'area compresa tra la curva y=f(x) e l'asse delle ascisse per x che varia tra a e b

● Questa quantità si può ottenere dividendo l'area in piccoli rettangoli, per cui:

● L'integrale può essere visto come un'area I =

∑

_i ^{f ( x}ⁱ^)⋅Δ ^xⁱ⁼

∫

_a^b ^{f ( x)dx}

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Proprietà degli integrali Proprietà degli integrali Proprietà degli integrali Proprietà degli integrali

● Se considero la funzione

trovo che f(x) = dF(x)/dx, cioè la derivata dell'integrale è la funzione integranda

● L'integrale si calcola quindi cercando la funzione di cui l'integrando è derivata

● La funzione integrale è definita a meno di una

costante se il suo estremo inferiore non è specificato (integrale indefinito)

F (z )=

∫

_a^z ^{f (x )dx}

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Statistica e probabilità Statistica e probabilità Statistica e probabilità Statistica e probabilità

● Come faccio a sapere se una medicina è efficace?

● Se faccio un test su due pazienti, qualunque risultato è poco affidabile

● Se potessi fare il test su un miliardo di pazienti, mi aspetterei che su due miliardi il risultato non cambi molto

● Se ho due possibili casi, guariti e non guariti, ed ho N¹ guariti e N² non guariti su N^tot casi, le frequenze relative sono f¹=N¹/Ntot e f²=N²/N^tot

● Per grandi numeri questi valori restano stabili e sono la probabilità di ottenere i valori 1 e 2 nella misura

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Valore medio Valore medio Valore medio Valore medio

● Se ho N misure con K possibili risultati y¹,..,y^K, e le misure danno x¹, .. ,x^N, definisco il valore medio come

● Alternativamente, se fⁱ sono le frequenze relative di yⁱ, ho che

̄x =∑_i=1^N ^xⁱ

N

̄x =

∑

_{i =1}^K ^f ⁱ ^yⁱ

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Precisione della misura Precisione della misura Precisione della misura Precisione della misura

● Quanto è precisa la mia misura di una grandezza che ha un valore definito?

● Se la precisione fosse massima, tutte le misure sarebbero identiche

● Cerco di valutare l'errore che faccio attraverso la varianza

● Definisco la deviazione standard come

σ²=∑_i=1^N ⁽^xi−̄x)² N

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Distribuzioni continue Distribuzioni continue Distribuzioni continue Distribuzioni continue

● Molti esperimenti (ad esempio, la misura di una lunghezza) hanno infiniti possibili valori.

● Posso allora “raggrupparli”, ad esempio, in intervalli di ampiezza Δ e considerare la

frequenza relativa di misure che cadono nell'intervallo [x, x+Δ]

● Per Δ piccolo, il rapporto tra f(x,Δ) e Δ si chiama distribuzione di frequenze f(x)

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Probabilità Probabilità Probabilità Probabilità

● È il rapporto tra il numero di volte che un evento si verifica e il numero totale di eventi

● La somma di tutte le probabilità fa uno

● Se N eventi si escludono a vicenda P¹+P²+...+P^N=1

● Se due eventi sono indipendenti, la probabilità che si verifichino entrambi è il prodotto delle probabilità

P^ij=Pⁱ·P^j

● Ad esempio, se tiro un dado due volte, la probabilità di avere 6 sia la prima volta che la seconda è 1/6 x 1/6 = 1/36

Problema: se il 57 non esce sulla ruota di Roma da 85 settimane,

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Probabilità e frequenza Probabilità e frequenza Probabilità e frequenza Probabilità e frequenza

● Il teorema di Bernoulli ci assicura che per

grandi numeri la frequenza relativa tende ad essere uguale alla probabilità.

● Si può parlare di distribuzione di probabilità in modo analogo a quanto si fa per la

distribuzione di frequenza

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Esempi di distribuzioni Esempi di distribuzioni Esempi di distribuzioni Esempi di distribuzioni

● Supponiamo di fare N prove in cui c'è una

probabilità p che si verifichi A e una probabilità 1-p che non si verifichi

● Nella sequenza, la probabilità che A si verifichi K volte è

● Esercizio: facendo a testa o croce, su 10 lanci

P_K= N !

K !(N −K )! p^K (1− p )^{N − K}

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Distribuzione di Poisson Distribuzione di Poisson Distribuzione di Poisson Distribuzione di Poisson

● Dalla formula precedente se ne può dedurre

una che vale per k^<<N: se m è il valore medio di questa distribuzione, la probabilità di ottenere k è:

P ( K )= m^K

K ! e⁻^m

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Distribuzione normale o di Gauss Distribuzione normale o di Gauss Distribuzione normale o di Gauss Distribuzione normale o di Gauss

● È la più frequente, specialmente negli errori di misura

● Il fatto che sia così comune dipende dal teorema del limite centrale

● È una distribuzione continua

P ( x)= 1

σ √^{2 π} ^exp

(

⁻⁽ ^x−m)2 σ² ²

)

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Errore nelle misure Errore nelle misure Errore nelle misure Errore nelle misure

● La probabilità che una misura cada in un

intervallo [-σ,+σ] attorno al valor medio, è del

68,26%, quella che cada nell'intervallo[-2σ,+2σ]

del 95,44%, [-3σ,+3σ] del 99,74%.

● Se il risultato si allontana dal valore previsto di più di 5σ, si può cominciare a pensare la teoria sia sbagliata.

● Se misuro il valore medio di N valori lo scarto quadratico medio è

σ =σ /

√

^N

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Correlazioni Correlazioni Correlazioni Correlazioni

● Sospetto che l'aumento di peso delle persone sia proporzionale alla quantità di calorie che mangiano:

come posso provarlo?

● Se c'è proporzionalità, la legge che collega peso e calorie è (y=peso, x=calorie)

● Non ci sarà però una legge così esatta, per via delle fluttuazioni nella popolazione, che posso considerare come fossero errori.

● Posso allora scrivere, per ogni misura

y= Ax+ B y= Ax+ B

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Correlazioni - 2 Correlazioni - 2 Correlazioni - 2 Correlazioni - 2

● Cerco ora di rendere minimo l'errore (al quadrato), cioè cerco A a B per cui

● Questo problema si risolve con le derivate,

usando il fatto che la derivata di una funzione è nulla nei minimi

∑_i ⁽ ^yⁱ⁻^Axⁱ⁻^B)²^=minimo