Richiami sui numeri complessi per il corso di Fondamenti di Automatica

Richiami sui numeri complessi per il corso di Fondamenti di Automatica

Augusto Ferrante

September 28, 2012

1 Numeri complessi: definizione

Si consideri l’insieme R

delle coppie ordinate di numeri reali. Su tale insieme si con- siderino due operazioni binarie interne (cio` e operazioni che a coppie di elementi di R

associano un terzo elemento ancora interno all’insieme R

):

1. Somma, che verr` a indicata con il simbolo +

e che associa agli elementi (a, b) ∈ R

e (c, d) ∈ R

l’elemento

(a, b) +

(c, d) = (a + c, b + d) ∈ R

(1.1)

2. Prodotto, che verr` a indicato con il simbolo ·

e che associa agli elementi (a, b) ∈ R

e (c, d) ∈ R

l’elemento

(a, b) ·

(c, d) = (ac − bd, ad + bc) ∈ R

(1.2)

E facile verificare che le due operazioni sopra definite rendono l’insieme R `

un campo

(cio` e un corpo commutativo) dove l’unit` a ` e l’elemento (1, 0) ∈ R

lo zero ` e l’elemento

(0, 0) ∈ R

.

Definizione 1.1 Il campo complesso che verr` a indicato con C `e per definizione la terna (R

, +

, ·

). I numeri complessi sono quindi gli elementi dell’insieme R

con le operazioni di somma e prodotto sopra definite.

1.1 Notazione

E immediato verificare che il sottoinsieme R `

di R

definito da R

:= {(a, 0) : a ∈ R},

costituito da coppie il cui secondo elemento ` e nullo, ` e isomorfo a R. Infatti, la relazione χ : R → R

che associa a ciascun numero reale a ∈ R il numero complesso χ(a) := (a, 0) ∈ R

, ` e ovviamente biunivoca. Inoltre, la relazione χ commuta con le operazioni di somma e prodotto in R e in R

:

χ(a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) +

(b, 0) = χ(a) +

χ(b) χ(a · b) = (a · b, 0) = (a, 0) ·

(b, 0) = χ(a) ·

χ(b)

Ci` o significa che se si identificano i numeri reali con il sottoinsieme R

dei numeri com- plessi, allora le operazioni di somma e prodotto complesse sono consistenti con le consuete operazioni di somma e prodotto in R. Pertanto, da questo momento in poi si potranno indicare i numeri complessi del sottoinsieme R

con il solo numero reale corrispondente, si indicher` a cio` e con a il numero complesso (a, 0). Inoltre si elimineranno i pedici C da somma e prodotto e si utilizzeranno solo i simboli + e · (sia per somma e prodotto in R sia per somma e prodotto in C).

Si consideri ora il numero complesso j definto da j := (0, 1) detto unit` a immaginaria. ` E immediato verificare che

j

= −1. (1.3)

Inoltre qualunque numero complesso del tipo (0, b) si pu` o rappresentare come il prodotto

di j per il numero reale b: (0, b) = j · b = jb.

Con la notazione introdotta ` e immediato verificare che per ogni (a, b) ∈ R

, si ha

(a, b) = a + jb. (1.4)

La notazione a secondo membro risulta particolarmente comoda perch´ e in tal modo somma e prodotto tra numeri complessi si comportano i modo consistente con la somma e prodotto di polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata j pur di tener conto della (1.3):

(a, b) + (c, d) = a + jb + c + jd = a + c + j(b + d) = (a + c, b + d) (1.5) (a, b)·(c, d) = (a+jb)·(c+jd) = ac+j(bc+ad)+j

bd = ac−bd+j(bc+ad) = (ac−bd, bc+ad).

(1.6) In conclusione, da questo momento si indicher` a il numero complesso (a, b) nella forma a+jb dove j gode della propriet` a (1.3). Con questa notazione somme e prodotti fra numeri complessi si potranno eseguire con le solite regole di somma e prodotto fra polinomi.

2 Parte reale, parte immaginaria, coniugio

Definizione 2.1 Dato il numero complesso s = a + jb, si dice parte reale di s, e si indica con Re(s), il numero reale a:

Re(a + jb) := a.

Si dice parte immaginaria

di s, e si indica con Im(s), il numero reale b:

Im(a + jb) := b.

Si dice coniugato di s, il numero complesso, indicato con s, definito da s = a + jb := a − jb.

1

Nella letteratura matematica scritta in italiano si usava definire coefficiente dell’immaginario il nu-

mero reale b e riservando l’espressione “parte immaginaria” per la quantit` a jb. Qui si segue invece la

tendenza pi` u moderna coerente con il termine inglese imaginary part con cui si denota appunto il numero

reale b.

Si invita il lettore a dimostrare le seguenti propriet` a. Se s, s

, s

sono numeri complessi, si ha:

1. s = s

2. s

+ s

= s

+ s

3. s

· s

= s

· s

4. (1/s) = 1/s s 6= 0

5. s = s ⇔ s ∈ R

6. Re(s) =

7. Im(s) =

8. s · s = [Re(s)]

+ [Im(s)]

3 Rappresentazione cartesiana e rappresentazione po- lare

I numeri reali si possono considerare come il sottoinsieme di C costituito dai numeri complessi a parte immaginaria nulla. Inoltre, cos`ı come si rappresentano i numeri reali come punti di una retta (la retta reale), i numeri complessi si rappresentano come punti di un piano cartesiano (piano complesso o piano di Gauss). Precisamente il numero a + jb viene rappresentato dal punto di ascissa a e ordinata b. In questo modo la retta reale coincide con l’asse delle ascisse mentre i punti nell’asse delle ordinate rappresentano i numeri puramente immaginari ossia quelli a parte reale nulla (si noti che lo zero ` e l’unico numero che ` e sia reale sia puramente immaginario). La scrittura di un numero complesso s nella forma a + jb ne mette in evidenza parte reale e parte immaginaria ossia le coordinate cartesiane del corrispondente punto nel piano di Gauss; per questa ragione si parla di rappresentazione cartesiana del numero complesso s. Una rappresentazione alternativa che risulta particolarmente utile ` e quella che mette in evidenza le coordinate polari del punto che rappresenta s e precisamente:

il modulo di s che viene indicato con |s| ed ` e la distanza del punto s dall’origine degli assi.

Dal Teorema di Pitagora risulta immediato che ∀s ∈ C si ha:

|s| = p

[Re(s)]

+ [Im(s)]

(3.1)

e l’argomento o fase di s che viene indicato con arg(s) ed ` e l’angolo (con segno) compreso tra il semiasse reale positivo e il segmento che unisce l’origine degli assi cartesiani con il punto s. ` E facile verificare che ∀s ∈ C si ha:

arg(s) =



 



 



arctan 

Im(s) Re(s)



Re(s) > 0 sign(Im(s)) ·

Re(s) = 0 π + arctan





Re(s) < 0

(3.2)

dove sign(·) ` e la funzione segno che vale 1, 0 o −1 a seconda che il suo argomento sia positivo, nullo o negativo.

Osservazione. Si noti che la formula precedente assegna convenzionalmente il valore 0 all’argomento del numero complesso 0 per il quale l’angolo relativo non ` e definito.

Si noti anche che l’argomento di un numero complesso ` e stato definito a meno di multipli interi di 2π; la formula (3.2) produce un valore dell’argomento compreso tra −

e

π:

naturalmente a questo valore si pu` o aggiungere un arbitrario multiplo intero di 2π.

Le formule (3.1) e (3.2) permettono di calcolare modulo e fase di un numero complesso a partire dalla conoscenza di parte reale e parte immaginaria. Utilizzando le note propriet` a dei triangoli rettangoli risulta immediato invertire tali relazioni e ottenere parte reale e parte immaginaria di un numero complesso in funzione di modulo e fase. Precisamente,

∀s ∈ C si ha:

Re(s) = |s| cos(arg(s)) (3.3)

e

Im(s) = |s| sin(arg(s)). (3.4)

Pertanto, indicando con ρ e ϑ modulo e fase di un numero complesso s = a + jb, si pu` o scrivere

s = a + jb = |s| cos(arg(s)) + j|s| sin(arg(s)) = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)]. (3.5)

La scrittura s = ρ[cos(ϑ) + j sin(ϑ)] mette in evidenza modulo e fase (e cio` e le coordinate polari) di s e pertanto ` e chiamata rappresentazione polare. Nel prossimo paragrafo si vedr` a una seconda forma di rappresentazione polare.

- 6

r

ρ = |s|

ϑ = arg(s)

s = a + jb

a b

C

R I

         

Figure 1: Rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso nel piano di Gauss.

3.1 Esponenziali complessi

Si vuole ora definire l’esponenziale complesso ossia la quantit` a e

con s ∈ C. La definizione dovr` a essere consistente con la corrispondente definizione nel caso reale. Si richiede cio` e che, nel caso in cui s sia un numero complesso a parte immaginaria nulla (ossia un numero reale) il suo esponenziale coincida con il consueto esponenziale reale. Il seguente risultato sar` a utile allo scopo:

Proposizione 3.1 Sia a ∈ R. Allora la serie P

aⁱ

i!

converge assolutamente al numero reale e

. In formule:

∞

X

i=0

a

i! = e

∀a ∈ R (3.6)

Analogamente, si ha:

∞

X

i=0

(−1)

a

(2i)! = cos(a)

∞

X

i=0

(−1)

a

(2i + 1)! = sin(a) (3.7)

La (3.6) suggerisce la seguente definizione

Definizione 3.1 Sia s ∈ C. L’esponenziale complesso e

` e definito da:

e

:=

∞

X

i=0

s

i! . (3.8)

La Proposizione 3.1 garantisce che la precedente definizione sia consistente con l’esponen- ziale reale. Inoltre si pu` o dimostrare che la serie a secondo membro della (3.8) converge per ogni s ∈ C e pertanto l’esponenziale `e ben definito per ogni s ∈ C. Infine, si pu`o dimostrare che per ogni s

, s

∈ C si ha

e

= e

e

.

Sia ora ϑ reale. Si vuole calcolare e

. Si ha:

e

=

∞

X

i=0

(jϑ)

i! = 1 + jϑ − ϑ

2! − j ϑ

3! + ϑ

4! + · · · (3.9)

Si possono riarrangiare i termini della sommatoria in due gruppi uno composto di numeri reali e uno di numeri puramente immaginari. Si ha cos`ı

e

= 1 − ϑ

2! + ϑ

4! − ϑ

6! + · · · + j



ϑ − ϑ

3! + ϑ

5! + · · ·



=

∞

X

i=0

(−1)

ϑ

2i! + j

∞

X

i=0

(−1)

ϑ

(2i + 1)!

(3.10) e quindi, tenendo conto della (3.7),

e

= cos(ϑ) + j sin(ϑ) (3.11)

Confrontando quest’ultima espressione con la (3.5) si ottiene la seguente espressione che rappresenta un arbitrario numero complesso s come prodotto del suo modulo per l’esponenziale di jϑ:

s = ρe

; con ρ := |s| e ϑ := arg(s). (3.12)

La (3.12) ` e una forma alternativa (e pi` u comune) di rappresentazione polare del numero complesso s.

Dalla (3.11) consegue immediatamente che e

= cos(−ϑ) + j sin(−ϑ), ossia

e

= cos(ϑ) − j sin(ϑ). (3.13)

Quest’ultima e la (3.11) sono le celebri formule di Eulero. Combinando assieme la (3.11) e la (3.13) si ottengono le formule

cos(ϑ) = e

+ e

2 (3.14a)

sin(ϑ) = e

− e

2j (3.14b)

che permettono di esprimere seno e coseno come combinazioni lineari di esponenziali immaginari.

Siano s

= ρ

e

e s

= ρ

e

. ` E immediato verificare che

s

s

= ρ

ρ

e

e

= ρ

ρ

e

. (3.15) Analogamente, se s

6= 0

s

/s

= (ρ

/ρ

)e

e

= (ρ

/ρ

)e

. (3.16)

Queste relazioni si possono esprimere con le seguenti regole:

Nel prodotto di numeri complessi, il modulo del prodotto ` e pari al prodotto dei moduli dei fattori e l’argomento del prodotto ` e pari alla somma degli argomenti dei fattori.

Nel rapporto di numeri complessi, il modulo del rapporto ` e pari al rapporto dei moduli e l’argomento del rapporto ` e pari alla differenza fra l’argomento del numeratore e quello del denominatore.

Sia n ∈ N. In modo analogo al calcolo del prodotto si pu`o calcolare la potenza n-esima di un numero complesso s = ρe

:

s

= ρ

e

. (3.17)

Dalla relazione precedente si pu` o ricavare la seguente regola

Nella potenza n-esima di un numero complesso s, il modulo ` e pari alla potenza n-esima del modulo di s e l’argomento ` e pari all’argomento di s moltiplicato per n.

3.2 Radici n-esime complesse

Sia s = ρe

un numero complesso fissato. Si desidera risolvere l’equazione

z

= s (3.18)

nell’incognita z ∈ C. Ci`o significa calcolare tutti i numeri complessi z che soddisfano tale relazione. Si indichino con ρ

e ϑ

rispettivamente modulo e argomento di z. Poich´ e due numeri complessi coincidenti devono avere lo stesso modulo ` e evidente che ρ

= √

ρ ossia tutte le soluzioni della (3.18) hanno il medesimo modulo e questo ` e pari alla radice n-esima del modulo di s. Rimane da imporre che primo e secondo membro della (3.18) abbiano il medesimo argomento

. Nell’imporre questo vincolo bisogna tenere presente che l’argomento ` e definito a meno di multipli interi di 2π. Pertanto, non si deve imporre nϑ

= ϑ ma

nϑ

= ϑ + k2π, k = 0, ±1, ±2, . . . (3.19) Quest’ultima ammette le soluzioni

ϑ

= ϑ + k2π

n , k = 0, ±1, ±2, . . . (3.20)

per` o solo n di tali soluzioni corrispondono ad argomenti diversi. Infatti, a valori di k che differiscono per multipli interi di n corrispondono valori di ϑ

che differiscono per multipli interi di 2π e che pertanto individuano il medesimo argomento. In conclusione, la (3.18) ammette esattamente n soluzioni z

, z

, . . . , z

che hanno tutte il medesimo modulo ρ

= √

ρ, k = 0, 1, . . . , n − 1, e i cui argomenti sono ϑ

= ϑ

n + k

n 2π, k = 0, 1, . . . , n − 1. (3.21)

2

Questo vicolo va imposto nel caso in cui ρ > 0. Si ricordi infatti, che se ρ = 0, l’argomento non ` e

definito. In tal caso, l’unica soluzione della (3.18) ` e z = 0.

Queste n soluzioni vengono chiamate radici n-esime complesse di s. ` E facile vedere che, nel piano complesso, esse sono disposte ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio pari a ρ

= √

ρ.

Esercizio. Si calcolino le radici complesse terze quarte e quinte di 1, −1, j, 1 + j.

Esercizio. Si dimostri che quando s ` e reale e la sua (unica!) radice n-esima reale esiste, essa ` e una delle n radici n-esime complesse di s.

4 Polinomi in s

In questa sezione si considerano polinomi nell’indeterminata complessa s e a coefficienti complessi, ossia oggetti del tipo

P (s) = a

s

+ a

s

+ . . . + a

s + a

, a

∈ C. (4.22) Senza perdita di generalit` a, se n > 0 si assumer` a a

6= 0 (invece, nel caso n = 0 in cui il polinomio si riduce ad una costante complessa, tale costante pu` o anche essere nulla). Gli a

si dicono coefficienti del polinomio P (s). Se a

= 1 il polinomio si dice monico.

Definizione 4.1 Dato un polinomio P (s) non nullo rappresentato dalla (4.22), il numero naturale n si dice grado di P (s) e si indica con deg(P (s)).

Definizione 4.2 Un numero complesso z si dice zero del polinomio P (s) se P (z) = 0.

Come ` e noto, se z ` e uno zero del polinomio P (s) allora P (s) ` e divisibile per s − z ossia P (s) ammette la rappresentazione

P (s) = (s − z)P

(s), (4.23)

dove P

(s) ` e un polinomio tale che deg(P

(s)) = deg(P (s)) − 1.

3

Di solito il grado del polinomio nullo non viene definito oppure viene convenzionalmente posto al

valore −∞.

Definizione 4.3 Sia z uno zero del polinomio P (s). Si dice molteplicit` a di z (come zero di P (s)) il massimo valore di ν per il quale (s − z)

divide P (s) ossia tale che P (s) ammette la rappresentazione

P (s) = (s − z)

P

(s), (4.24)

dove P

(s) ` e un polinomio.

In particolare, uno zero semplice ` e uno zero di molteplicit` a unitaria ossia un numero complesso z tale che

P (s) = (s − z)P

(s), (4.25)

dove P

(s) ` e un polinomio che non ha z tra i suoi zeri.

Uno zero di molteplicit` a pari a 2 o zero doppio ` e un numero complesso z tale che

P (s) = (s − z)

P

(s), (4.26)

dove P

(s) ` e un polinomio che non ha z tra i suoi zeri.

Esercizio. Si indichi con P

(s) la derivata i-esima di P (s) ossia P

(s) =

P (s).

1. Si dimostri che z ` e uno zero semplice di P (s) se e solo se P (z) = 0 e P

(z) 6= 0.

2. Si dimostri che z ` e uno zero doppio di P (s) se e solo se P (z) = P

(z) = 0 e P

(z) 6= 0.

3. Pi` u in generale si dimostri che z ` e uno zero di molteplicit` a ν di P (s) se e solo se P (z) = P

(z) = . . . = P

(z) = 0 e P

(z) 6= 0.

Continuit` a degli zeri di un polinomio

Un risultato molto importante sancisce che gli zeri di un polinomio sono funzioni continue dei coefficienti. In altre parole se i coefficienti di un polinomio variano con continuit` a i corrispondenti zeri del polinomio descrivono curve continue nel piano complesso. Ci` o ` e reso rigoroso dal seguente teorema.

Teorema 4.1 Sia dato un polinomio P (s) = a

s

+ a

s

+ . . . + a

s + a

. Siano

z

, i = 1, 2, . . . , m i suoi zeri e ν

le corrispondenti molteplicit` a. Si indichi con I(z, r)

il cerchio aperto (nel piano complesso) di raggio r centrato in z. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se |b

− a

| < δ ∀i = 1, 2, . . . , n, allora per ogni i = 1, 2, . . . , m, il polinomio P

(s) := b

s

+ b

s

+ . . . + b

s + b

ha ν

zeri (contati con la loro molteplicit` a) in I(z

, ε).

Teorema fondamentale dell’algebra e rappresentazioni di polinomi a coef- ficienti complessi

Il seguente risultato garantisce che ogni polinomio non costante ammette zeri in C. Esso

` e noto come Teorema fondamentale dell’algebra.

Teorema 4.2 Sia P (s) un polinomio a coefficienti complessi e sia deg(P (s)) ≥ 1. Allora esiste z ∈ C tale che P (z) = 0.

Esercizio. Si dimostrino i seguenti corollari.

Corollario 4.1 Dato un polinomio di grado n descritto dalla (4.22) esistono n numeri complessi z

, i = 1, 2 . . . , n (non necessariamente distinti) tali che

P (s) = a

(s − z

)(s − z

) · · · (s − z

) = a

n

Y

i=1

(s − z

). (4.27)

Nella (4.27), raggruppando fra di loro gli z

coincidenti (e supponendo, senza perdita di generalit` a, che gli z

tutti diversi fra loro siano i primi m) si ottiene

P (s) = a

(s − z

)

(s − z

)

· · · (s − z

)

= a

m

Y

i=1

(s − z

)

. (4.28)

dove si sono messi in evidenza, oltre che gli zeri z

del polinomio anche le loro molteplicit` a

ν

. I due casi estremi sono: (1) ν

= 1 ∀i. In tal caso m = n e tutti gli zeri hanno

molteplicit` a unitaria e (2) ν

= n. In tal caso m = 1 e P (s) ha un solo zero di molteplicit` a

pari a n.

Corollario 4.2 La somma delle molteplicit` a degli zeri di un polinomio P (s) ` e pari al grado di P (s).

La rappresentazione (4.22) mette in evidenza i coefficienti di P (s), le (4.27) e (4.28) ne mettono in evidenza gli zeri. La (4.28) mette in evidenza anche le moteplicit` a degli zeri di P (s). Oltre a tali rappresentazioni vi ` e un’ulteriore forma che mette in evidenza i reciproci degli zeri non nulli. Precisamente, a partire dalla (4.28) si considerino i seguenti due casi:

1. P (s) ha uno zero nell’origine ossia uno degli z

` e nullo. Senza perdita di generalit` a si assuma che sia il primo: z

= 0. Allora

P (s) = a

s

m

Y

i=2

(s − z

)

. (4.29)

Si osservi che (s − z

)

= (−z

)

 1 −

i



= (−z

)

(1 + τ

s)

dove si sono definiti gli opposti dei reciproci degli zeri τ

:= −1/z

. Definendo inoltre la costante comples- sa b

:= a

Q

i=2

(−z

)

, si ottiene agevolmente la P (s) = b

s

m

Y

i=2

(1 + τ

s)

(4.30)

che mette in evidenza lo zero nell’origine con la sua molteplicit` a e gli opposti dei reciproci degli zeri non nulli.

2. P (s) non ha uno zero nell’origine ossia P (0) 6= 0. In tal caso con passaggi del tutto analoghi al caso precedente si ottiene

P (s) = b

m

Y

i=1

(1 + τ

s)

(4.31)

con τ

:= −1/z

e b

:= a

Q

i=1

(−z

)

.

Si vede facilmente che, rinominando opportunamente i simboli, le rappresentazioni (4.30)

e (4.31) si possono vedere come casi particolari della seguente rappresentazione valida per

tutti i polinomi:

P (s) = b

s

p

Y

i=1

(1 + τ

s)

, (4.32)

dove ν = 0 se P (0) 6= 0. Se invece P (0) = 0, ν > 0 ` e la molteplicit` a dello zero nell’origine di P (s).

4.1 Polinomi a coefficienti reali

Si considereranno ora i polinomi nell’indeterminata s a coefficienti reali. Naturalmente, essendo questi un caso particolare di polinomi a coefficienti complessi, continuano a valere tutti i risultati fino ad ora enunciati. In particolare, tutti i polinomi a coefficienti reali possono essere rappresentati da ciascuna delle formule (4.22), (4.27), (4.28) e (4.32).

Tuttavia, tali formule non rappresentano solo i polinomi a coefficienti reali.

Nel seguito si individueranno espressioni analoghe che per` o rappresentano tutti e soli i polinomi a coefficienti reali.

L’analoga della (4.22) ` e ovviamente la

P (s) = a

s

+ a

s

+ . . . + a

s + a

, a

∈ R. (4.33)

Per ottenere l’analoga della (4.28) si utilizza il seguente risultato.

Lemma 4.1 Dato un polinomio P (s) a coefficienti reali, sia z 6∈ R uno zero a parte immaginaria non nulla di P (s). Allora, anche ¯ z ` e zero di P (s) e la sua molteplicit` a ` e la medesima di quella di z.

Esercizio. Si dimostri il lemma precedente.

Siano r e c rispettivamente il numero di zeri reali e di coppie di zeri complessi coniugati.

Per semplicit` a di notazioni risulta conveniente distinguere gli zeri reali da quelli non reali.

Si indichino quindi con z

, i = 1, . . . , r gli zeri reali e con ζ

, ¯ ζ

, i = 1, . . . , c, le coppie di zeri complessi coniugati (a parte immaginaria non nulla). La (4.28) si particolarizza allora nella

P (s) = a

r

Y

i=1

(s − z

)

c

Y

i=1

[(s − ζ

)(s − ¯ ζ

)]

. (4.34) Si definiscano ora i parametri reali

ω

:=

q

ζ

ζ ¯

= |ζ

| > 0, e ξ

:= − (ζ

+ ¯ ζ

)

2ω

= −2Re(ζ

)

2ω

= −Re(ζ

)

ω

(4.35)

dove si ha −1 < ξ

< 1 perch` e ω

= |ζ

| = p[Re(ζ

)]

+ [Im(ζ

)]

. Si osservi che

(s − ζ

)(s − ¯ ζ

) = s

− (ζ

+ ¯ ζ

)s + ζ

ζ ¯

= s

+ 2ξ

ω

s + ω

(4.36) che, sostituita nella (4.34) fornisce l’espressione

P (s) = a

r

Y

i=1

(s − z

)

c

Y

i=1

(s

+ 2ξ

ω

s + ω

)

, a

, z

, ξ

, ω

∈ R, ω

> 0, −1 < ξ

< 1 (4.37) Rimane cos`ı dimostrato che, al variare dei parametri reali a

, z

, ξ

, ω

e delle molteplicit` a ν

, µ

∈ N, la (4.37) rappresenta tutti e soli i polinomi a coefficienti reali. Inoltre, in questa rappresentazione, se ω

> 0 e −1 < ξ

< 1 allora z

sono gli zeri reali di P (s) e ω

sono i moduli degli zeri non reali di P (s). Rimane da dare un significato ai parametri ξ

. Ricordando le (4.35) e (3.3) si ha:

ξ

= −Re(ζ

) ω

= −|ζ

| cos(arg(ζ

)) ω

= − cos(arg(ζ

)) = cos(ϕ

). (4.38) dove si ` e definito ϕ

:= π − arg(ζ

). ϕ

ha pertanto il significato di angolo compreso fra il segmento che unisce lo zero ζ

con l’origine del piano complesso e il semiasse reale negativo. In conclusione ξ

hanno il significato dell’opposto del coseno dell’argomento degli zeri non reali di P (s) oppure del coseno degli angoli ϕ

.

Da ultimo, per ottenere un formula analoga alla (4.32) ma che rappresenti tutti e soli polinomi a coefficienti reali, si tratta di fare i seguenti passaggi. A partire dalla rappre- sentazione (4.37) si consideri il solo fattore a

Q

i=1

(s − z

)

relativo agli zeri reali. Con

gli stessi passaggi che hanno permesso di passare dalla (4.28) alla (4.32) si pu` o ottenere la

a

Y

i=1

(s − z

)

= ˆ b

s

p

Y

i=1

(1 + τ

s)

dove τ

= −1/z

sono gli opposti dei reciproci degli zeri reali di P (s) e ˆ b

` e un parametro reale. A questo punto, raccogliendo gli ω

dai fattori della seconda produttoria nella (4.37) si ottiene la

P (s) = b

s

p

Y

i=1

(1 + τ

s)

c

Y

i=1



1 + 2ξ

s ω

+ s

ω



, (4.39)

dove b

, τ

, ξ

, ω

sono tutti parametri reali. In particolare, b

= ˆ b

Q

i=1

ω

∈ R. Inoltre,

ω

> 0 e −1 < ξ

< 1 sono gli stessi parametri che appaiono nella (4.37) (e quindi hanno

la stessa interpretazione in termini degli zeri di P (s)).