Richiami di Matematica

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Richiami di Matematica

Tabelle: ci dicono qualcosa sulla relazione tra due grandezze.

Tre esempi: grandezze direttamente proporzionali, inversamente proporzionali e proporzionali una al quadrato dell’altra

x y = 2x

0 0

1 2

3 6

8 16

x y = 1/x

1 1

2 0.5 3 0.333 5 0.2

x y = x

²

0 0

1 1

3 9

5 25

Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2012-13

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Grafici

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Funzioni

Il valore di y dipende da quello di x : diciamo che y ` e funzione di x , y = f (x )

Se y proporzionale ad x il grafico ` e una linea e diciamo che la funzione lineare.

Se ` e proporzionale al quadrato di x diciamo che ` e quadratica

Si pu` o fare il grafico di qualunque funzione mettendo x sull’asse delle ascisse e f (x ) sull’asse delle ordinate.

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Esponenziali e logaritmi

Se a

^x

= b dico che x ` e il logaritmo in base a di b.

x = log

_a

(b)

E particolarmente importante in caso in cui a = e = 2, 71828 circa ` (numero di Nepero). In questo caso parliamo di funzione esponenziale e

^x

, e di logaritmi naturali

e

^x

= y ⇒ x = ln(y ) Logaritmi ed esponenziali hanno alcune propriet` a

1

e

^{x +y}

= e

^x

e

^y

2

(e

^x

)

^y

= e

^xy

3

log(xy ) = log(x ) + log(y )

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Grafico di esponenziale e logaritmo

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Funzioni circolari

arco/raggio =

angolo in radianti

S /R = sin(θ)

C /R = cos(θ)

S /C = tan(θ)

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Grafico delle funzioni circolari

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Propriet` a delle funzioni circolari

sin

²

(x ) + cos

²

(x ) = 1 sin(2x ) = 2 sin(x ) cos(x ) cos(2x ) = cos

²

(x ) − sin

²

(x ) sin(

^x₂

) =

q

1−cos(x ) 2

cos(

^x₂

) =

q

1+cos(x ) 2

sin(0) = sin(π) = 0 sin(

^π₂

) = 1 sin(

³₂

π) = −1 ;

cos(0) = 1 cos(π) = −1 cos(

^π₂

) = cos(

³₂

π) = 0 ;

tan(0) = tan(π) = 0 tan(

^π₂

) e tan(

³₂

π) sono infiniti

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Angolo solido

Ω = Area r

²

Ω

tot

= 4π

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Limiti

Una funzione potrebbe non essere definita per un certo valore di x (per esempio sin(x)/x per x=0) ma avvicinarsi ad un certo valore quando x diventa molto vicino al valore cercato (zero, in questo caso) Diciamo allora che il limite per x che tende a zero di sin(x)/x 1, ovvero

x →0

lim sin(x )

x = 1

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Derivate

Per conoscere la velocit` a devo fare il rapporto tra spostamento e tempo

Se voglio conoscere la velocit` a media in un intervallo molto piccolo, questa sar` a data da

hv i = ¯ v = x

₂

− x

₁

t

2

− t

₁

= ∆x

∆t

Se ∆t diventa molto piccolo, anche ∆x sar` a piccolissimo, ma il rapporto rimane finito. Questo si chiama derivata di x rispetto a t

v (t) = dx

dt = lim

∆t→0

∆x

∆t

La velocit` a media in un intervallo infinitesimo ` e la velocit` a istantanea al tempo t

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Derivate - II

La derivata di una costante ` e nulla.

Viceversa, se la derivata di una funzione rispetto al tempo ` e nulla questa non dipende dal tempo, ed ` e quindi costante

Alcune derivate utili sono dx

ⁿ

dx = n x

ⁿ⁻¹

d sin(x )

dx = cos(x ) d cos(x )

dx = − sin(x ) de

^x

dx = e

^x

dln(x ) dx = 1

x

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Derivate di somme e prodotti

La derivata di una somma ` e la somma delle derivate d (f (x ) + g (x ))

dx = df (x )

dx + dg (x ) dx La derivata di un prodotto si fa con la regola di Leibnitz

d (f (x ) · g (x ))

dx = g (x ) df (x )

dx + f (x ) dg (x ) dx La derivata di una funzione composta ` e

df (y (x ))

dx = df

dy dy dx

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Somme e intergrali

Considero una funzione y = f (x ) > 0 e voglio valutare l’area compresa tra la curva y=f(x) e l’asse delle ascisse per x che varia tra a e b

Questa quantit` a si pu` o ottenere dividendo l’area in piccoli rettangoli, per cui:

I = X

i

f (x

_i

)∆x per ∆x → 0 questo diventa esattamente l’area considerata, ed ` e l’integrale della funzione

lim X

f (x )∆x = Z

b

f (x )dx

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Propriet` a degli integrali

Se considero la funzione

F (z) = Z

z

0

f (x )dx trovo che

dF (z)

dz = f (z)

cio` e che la derivata della funzione integrale ` e la funzione integranda L’integrale si calcola quindi cercando la funzione di cui l’integrando ` e derivata

La funzione integrale ` e definita a meno di una costante se il suo estremo inferiore non ` e specificato (integrale indefinito)

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Statistica e probabilit` a

Come faccio a sapere se un farmaco ` e efficace?

Facendo un test su due pazienti, il risultato non pu` o essere generalizzato

Se potessi fare un test su un miliardo di pazienti, mi aspetterei che su due miliardi il risultato non cambi molto

Se ho due casi possibili, per esempio pazienti guariti e non guariti, ed ho N

1

pazienti guariti e N

2

non guariti, f

1

= N

1

/(N

1

+ N

2

) e

f

₂

= N

₂

/(N

₁

+ N

₂

) sono le frequenze relative

Per grandi numeri f

1

e f

2

restano stabili e sono le probabilit` a di avere

guarigione o non guarigione

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Valore medio

Suppongo di misurare N volte una grandezza (ad esempio la temperatura, la velocit` a o l’et` a) e di trovare i valori x

₁

, x

₂

, . . . , x

_N

Il valore medio della misura ` e definito come

hxi = ¯ x = 1 N

N

X

i =0

x

_i

Se ho ottenuto N

₁

volte x

₁

, N

₂

volte x

₂

, . . . allora posso scrivere hxi = 1

N (N

1

x

1

+ N

2

x

2

+ . . . ) = N

1

N x

1

+ N

2

N x

2

+ · · · = f

₁

x

₁

+ f

₂

X

₂

+ · · · = X

i

f

_i

x

_i

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Precisione della misura

Quanto ` e precisa la mia misura di una grandezza che ha un valore definito?

Se la precisione fosse massima, tutte le misure sarebbero identiche Cerco di valutare l’errore che faccio attraverso la varianza

σ

²

= 1 N

N

X

i =1

(x

i

− hxi)

²

Definisco la deviazione standard come σ =

√

σ

²

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Distribuzioni continue

Molti esperimenti, come la misura di una lunghezza, hanno infiniti possibili valori

Posso allora raggrupparli, ad esempio, in intervalli di ampiezza ∆ e considerare la frequenza relativa di misure che cadono nell’intervallo [x , x + ∆]

Per ∆ piccolo il rapporto tra la frequenza di queste misure e ∆ si chiama distribuzione di frequenze

La pi` u usata di queste distribuzioni ` e quella normale (o di Gauss)

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Probabilit` a

E il rapporto tra il numero di volte che un evento si verifica e il ` numero totale di eventi

La somma delle probabilit` a di tutti gli eventi indipendenti fa uno P

tot

= P

1

+ P

2

+ · · · + P

_N

= 1

Ad esempio, se tiro un dado due volte, la probabilit` a di avere 6 sia la prima volta che la seconda 1/6 x 1/6 = 1/36

Il teorema di Bernoulli ci assicura che per grandi numeri la frequenza relativa tende ad essere uguale alla probabilit` a.

Problema: se il 57 non esce sulla ruota di Roma da 85 settimane, qual ` e la probabilit` a che esca la prossima settimana?

Si pu` o parlare di distribuzione di probabilit` a in modo analogo a

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Errore nelle misure

La probabilit` a che una misura cada nell’intervallo [hx i − σ, hx i + σ] ` e del 68,23%

[hx i − 2σ, hx i + 2σ] ` e del 95,44%

[hx i − 3σ, hx i + 3σ] ` e del 99,74%

Se la misura si allontana per pi` u di 5σ dal valore che mi aspetto, posso cominciare a pensare che ci sia qualcosa di sbagliato

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Correlazioni

Sospetto che l’aumento di peso delle persone sia proporzionale alla quantit` a di calorie che mangiano: come posso provarlo?

Se c’` e proporzionalit` a, la legge che collega peso e calorie (y=peso, x=calorie)

y = Ax + B dove A e B sono costanti

Non trover` o per valori descritti esattamente da questa legge, per via delle fluttuazioni nella popolazione, che posso considerare come fossero errori