Universit`a degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea in Fisica
Corso di “Fisica nucleare e subnucleare”
Breve nota sulla teoria di Yukawa
prof. Andrea Bizzeti marzo 2007
Nell’elettromagnetismo classico la forza di Lorentz su una carica elettrica vie- ne esercitata dal campo elettromagnetico, a sua volta generato da altre cariche in quiete o in movimento: l’interazione tra cariche elettriche avviene quindi at- traverso la “mediazione” del campo elettromagnetico, che si propaga con velocit`a finita.
Le sei componenti del campo elettromagnetico (Ex, Ey, Ez; Bx, By, Bz) sono in generale esprimibili come opportune combinazioni lineari delle derivate par- ziali di un quadripotenziale Aµ(ct; x, y, z) =
1 cΦ; ~A
funzione delle coordinate spazio-temporali. Il quadripotenziale risulta definito a meno del quadri-gradiente di una funzione scalare f (ct; x, y, z), la cui aggiunta lascia invariato il campo elettromagnetico (invarianza di gauge).
Aggiungendo il quadri-gradiente di una opportuna funzione f `e possibile ot- tenere un quadripotenziale con quadri-divergenza nulla (gauge di Lorentz), che soddisfa l’equazione differenziale
Aµ≡ 1 c2
∂2
∂t2 − ∇2
Aµ = µoJµ (1)
con Jµ = (ρc; ~ ). In particolare, nel vuoto questa equazione si riduce all’equa- zione delle onde Aµ = 0 .
In elettrodinamica quantistica l’interazione elettromagnetica tra cariche elet- triche `e trasmessa dai fotoni. In questa teoria due cariche elettriche (p.es. nell’a- tomo di idrogeno, oppure nella diffusione coulombiana) interagiscono attraverso lo scambio di uno o pi`u fotoni virtuali1.
La funzione d’onda di un fotone (reale) che si propaga nel vuoto con quantit`a di moto ~P ed energia E soddisfa la relazione
E2 c2 −P2
Aµ= −~2 1 c2
∂2
∂t2 − ∇2
Aµ= 0 , (2)
1Le particelle (inclusi i fotoni) che vengono emesse e riassorbite all’interno di un processo (e, quindi, non sono presenti n´e nello stato iniziale n´e in quello finale) vengono dette particelle virtualiper distinguerli dalle particelle reali presenti nello stato iniziale e/o finale del processo.
1
da cui si possono ricavare le seguenti propriet`a del fotone: massa nulla (m2c2 = E2/c2−P2 = 0) e spin 1 (funzione d’onda quadrivettoriale).
Partendo invece dalle propriet`a del fotone (m = 0, S = 1) `e possibile ricavare la sua equazione d’onda nel vuoto Aµ= 0 . In presenza di una carica puntiforme q in quiete nell’origine tale equazione diventa
Φ = q ǫ0
δ3(~r ) ; ~A = 0 (3)
ed ha come unica soluzione statica (indipendente dal tempo) e regolare all’infinito il potenziale coulombiano
Φ (~r ) = Φ (r) = q 4πǫ0
1
r . (4)
Il potenziale cos`ı ricavato pu`o essere utilizzato per trattare l’interazione tra due cariche in condizioni non relativistiche.
Consideriamo adesso una interazione trasmessa da particelle (virtuali) di spin zero e massa diversa da zero. L’equazione d’onda nel vuoto di queste particelle sar`a:
+ m2c2
~2
Φ = − 1
~2
E2
c2 −P2−m2c2
Φ = 0 . (5)
In presenza di una sorgente puntiforme l’equazione diventa
+m2c2
~2
Φ = g δ3(~r) . (6)
La soluzione statica di quest’ultima `e il potenziale di Yukawa Φ(r) = g
4π 1
r exp
−mc
~ r
= g 4π
1
r exp
−r R
. (7)
Si noti che questo potenziale, a differenza di quello coulombiano, contiene una lunghezza caratteristica R = ~/mc, detta range dell’interazione, tale che r Φ(r) decresce di un fattore e quando r aumenta di una lunghezza R . Dal range della interazione nucleone-nucleone (R ≈ 1 fm) si pu`o stimare la massa m delle particelle scambiate:
m = ~ c
1
R ≈200 MeV/c2 . (8)
Queste particelle sono state identificate nei tre mesoni π (π+, π0, π−), di massa m ≃ 140 MeV/c2: lo scambio di un mesone π± tra un protone ed un neutrone trasferisce la carica elettrica dall’uno all’altro trasformando il protone in neutrone e viceversa, mentre lo scambio del mesone π0lascia invariata la carica di ciascun nucleone ed `e quindi possibile anche tra nucleoni identici.
Il potenziale dell’interazione nucleone-nucleone a distanze r & 1 fm `e ben descritto dallo scambio di un singolo mesone π, mentre a distanze inferiori occorre considerare anche i contributi, non pi`u trascurabili, dello scambio di pi`u mesoni π o di altri mesoni di massa maggiore (m & 770 MeV/c2).
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