Fondamenti di Informatica 2: esercitazione di laboratorio Applicazioni dei fogli elettronici in ambito tecnico-scientifico
Pier Luca Montessoro
1. Vettori e matrici con array formula
a) Si scrivano le funzioni ed espressioni necessarie a calcolare il prodotto scalare tra due vettori di lunghezza massima 5 termini.
Nell’esempio, le celle bordate rappresentano le tre espressioni necessarie; le altre celle sono state generate mediante operazioni di copia-incolla. La prima espressione (“trasposta del secondo vettore”) è una array formula che fa uso della funzione transpose.
b) Si estenda l’esempio precedente per calcolare il prodotto di una matrice per un vettore (si veda l’esempio a fianco).
2. Prede e predatori
Sia x una popolazione di prede, e y una popolazione di predatori. Le prede, in assenza di predatori, tendono a proliferare, e quindi ad aumentare in numero; i predatori, invece, in assenza di prede, tendono a morire di fame.
Inoltre, l’interazione tra prede e predatori è tale per cui all’aumentare dei predatori il numero di prede diminuisce (perché vengono mangiate), e il numero di predatori diminuisce al diminuire del numero di prede. Tali relazioni possono essere espresse dal sistema di equazioni differenziali non lineari qui a fianco riportato.
In esso, il primo termine rappresenta la tendenza della popolazione a crescere o a diminuire se lasciata da sola, e il secondo termine rappresenta l’effetto dell’interazione tra le due popolazioni.
Mediante il foglio elettronico EXCEL si tracci l’andamento delle funzioni x(t) e y(t).
Suggerimenti:
• Per l’integrazione numerica del sistema di equazioni si utilizzi il metodo di Eulero (fig. a fianco)
• Si assegnino dei nomi alle costanti a, b, c e d ed a dt. Questo renderà più leggibili le formule.
• Si utilizzi un passo di incremento del tempo (∆t) di 0.02 unità.
• Si utilizzino per le costanti a, b, c e d i seguenti valori: a = 1, b = 0.5, c = 1, d = 0.5.
• Si assegnino le seguenti condizioni iniziali: t = 0, x(0) = 1, y(0) = 0.5.
• Si traccino le due funzioni per un intervallo di 12 unità di tempo.
3. Equazione di Laplace
Il secondo problema consiste nel risolvere l’equazione di Laplace in due dimensioni per il caso di un conduttore carico elettricamente posto tra due piani paralleli messi a terra (potenziale di 0 V, si veda la figura a fianco).
L’equazione di Laplace in due dimensioni e in coordinate cartesiane è:
La corrispondente equazione alle differenze finite, con spaziatura della griglia uguale in entrambe le direzioni, fornisce il valore di ogni nodo come la media dei valori dei nodi vicini: Fi, j=( / )(1 4 Fi +1, j+Fi -1, j +Fi, j+1+Fi, j-1)
Mediante foglio elettronico EXCEL si calcoli il potenziale di punti nello spazio compreso tra i due piani, nell’ipotesi di potenziale del conduttore di 10 V e se ne ricavi il grafico tridimensionale (superficie).
Suggerimento: per risolvere il problema dei bordi del sistema (celle in corrispondenza delle estremità dei piani) si consideri doppio il contributo delle celle interne: A2=AVERAGE(A1,B2,B2,A3)
+
−
=
−
=
dxy dt cy
dy
bxy dt ax
dx
t t t x x dx
dt t y y dy
dt t
n n n n
n
n n
n
= + = +
= +
− −
− −
1 1 −
1
1
1
∆ , ∆ , ∆
0V
0V 10V
∂
∂ ∂
∂
2 2
2
2 0
F x
F + y =
PRODOTTO SCALARE TRA VETTORI
1 2 3 4 5 12 12 3 44 564 7
3 44 564 7
12 6 132 2256 35 2441
trasposta del secondo vettore
secondo
prodotto dei singoli termini risultato primo vettore
MATRICE PER VETTORE
1 2 3 65 65 764 34
4 5 6 764 65 764 34
7 8 9 34 65 764 34
10 11 12 65 764 34
65 1528 102 1695
260 3820 204 4284
455 6112 306 6873
650 8404 408 9462
matrice
vettore
trasposta del vettore replica della trasposta
del vettore
prodotto dei singoli termini
risultato
