PARTE 6: GRAVITAZIONE

PARTE 6: GRAVITAZIONE

6.1 INTRODUZIONE

Newton conosceva diverse cose circa il moto dei pianeti:

• La luna compie un orbita attorno alla terra di raggio RL ≅60RT;

• tutti i pianeti compiono un moto di rivoluzione attorno al sole su orbite quasi circolari;

• un oggetto sulla superficie della terra si muove su un orbita circolare attorno al centro della terra. L’orbita dell’oggetto è pari al raggio terrestre: R_T ≅6.4⋅10⁶m all’equatore, e ha una velocità angolare

( )

1

10 5

27 . 7 3600

24ore

2 _-

T s

ora

s rad

rad ₋

⋅

=



 



= π

ω

Consideriamo un oggetto che sia stazionario rispetto alla terra, come una mela attaccata a un albero. Se cade, la mela entra in orbita attorno alla terra (come la luna). La mela ha una velocità iniziale dovuta alla rotazione della terra:

465 ⁻1

=

=R ms

V_{mela T} ω_T

Affnchè la mela resti in orbita, la sua accelerazione lontano dalla posizione iniziale sulla superficie della terra (dal ramo dell’albero in questo caso) deve avere una componente verticale abbastanza intensa da bilanciare la accelerazione verticale verso il basso dovuta alla gravità.

L’accelerazione centripeta è:

(

)(

)

2 2

034 . 0 10

27 . 7 10 4 .

6 ⋅ ⋅ ^{− −} = ⁻

=

=

= R m s ms

R

a v _{T T}

T

c ω

L’accelerazione verso il basso dovuta alla gravità, g =9.80ms⁻¹, è 290 volte maggiore di a , per cui la mela non resta in orbita ma_c cade.

mela

alto

basso

6.2 ROTAZIONE DELLA LUNA ATTORNO ALLA TERRA Il moto della Luna attorno alla Terra è descritto dalle seguenti quantità:

• R_L =60R_T =3.84⋅10⁸m

• 2.66 10 ^{6 1}

3 . 27

1 _{− −}

⋅

=

= s

giorni ωL

• a_cL =ω_L²R_L =0.0027ms⁻² <<g a_cL g 3600

≈ 1

⇒

La luna resta in uno stato stazionario sulla sua orbita; da questo si può concludere che la accelerazione dovuta alla gravità uguaglia la accelerazione centripeta della luna:

cL

L a

a =

L’accelerazione della luna verso la terra è molto più debole di quella della mela verso la terra. L’orbita della luna è 60

volte più distante di quella della mela dal centro di massa della terra. Abbiamo appena trovato che l’accelerazione è più piccola di un fattore 3600 (o 60²). Si può ipotizzare che:

( )

2 1

60 _{t L T}

T L

R R R

R g

a = = (1) Considerando questi numeri Newton concluse che la forza centripeta che vincola la luna in orbita attorno alla terra è

2 2

2 1

r R m gR a

m F

L L T cL L

c = = ∝ (2)

6.3 LA FORZA GRAVITAZIONALE

Sia sulla luna che sulla mela agisce una forza centripeta:

2

1 F_c ∝ r

• Qual’è l’origine di questa forza?

• Fino al XVII secolo si credeva che il peso fosse una caratteristica intrinseca di ogni corpo e non necessitasse di spiegazione;

• Era noto da tempo che i pianeti si muovono su orbite ellittiche (leggi di Keplero) anche se tali leggi erano di carattere fenomenologico.

• Newton ed altri suoi contemporanei (Hooke) ipotizzarono che il peso fosse una particolare manifestazione di una attrazione generale tra corpi di qualsiasi genere;

RL Terra

Luna

vL

Newton scoprì che le semplici leggi che legano le forze al moto degli oggetti ordinari si applicano egualmente bene al moto dei pianeti. La domanda di base può essere posta nella forma:

• Di che forma è la forza attrattiva gravitazionale che due oggetti esercitano uno sull’altro? La legge che esprime la forza che il corpo 1 esercita su 2 è

dove: M₁ Me ₂ sono le masse dei due corpi;

r12 è il modulo del vettore che ha origine nel centro di massa di 1 e vertice nel centro di massa di 2;

G è la costante gravitazionale;

Si può dare una stima di G dalla conoscenza del sistema Terra-Luna:

2 2 2

L L T L

L T

R M gR R

M F =GM =

ove si è usata la (1); si ha quindi

T T

M G gR

2

=

6.4 MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE

• Nell’espressione del 2° principio della dinamica:

a m F& _i&

=

la quantità mi rappresenta l’inerzia del corpo; è la massa inerziale.

• Nella legge di Newton della gravitazione:

2 2 1

r m F = Gm^{g g}

la massa mg è definita anche se a = 0: è la massa gravitazionale.

Ci si può domandare quale sia la relazione che intercorre tra mi e mg.

2 12 12

2

1 ˆr

r M F=−GM

Una risposta si può ottenere considerando le seguenti figure

Consideriamo l’attrazione esercitata dalla Terra su due masse mgA

ed mgB

gB gA

TB TA gB

T TB

gA T TA

m m F F

R m F GM

R m F GM

T

T ⇒ =











=

=

2 2

Se T è la Terra, le forze sono i pesi:

gB gA

B A

m m P P =

Se invece immaginiamo di lasciare cadere liberamente le stesse due masse della figura precedente, per il 2° principio si ha:

iB iA B A iB

B iA A

m m P P g m P

g m

P ⇒ =





=

=

Dall’uguaglianza dei rapporti tra i pesi segue che le masse inerziale e gravitazionale sono proporzionali.

Per una valutazione ancora più precisa, studiamo il problema del pendolo:L’equazione è:

l g s m s

m_i=− _g sin

e il periodo delle piccole oscillazioni è:

g m

l T m

g

π i

=2

il che dimostra, per confronto con misure effettuate su pendoli reali, per i quali il periodo è dato da g

T =2π l , che il rapporto =1

g i

m

m , l’equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.

MT

miA

miB

MT

mgA

mgB

θ

nˆ

l

6.4 ESPERIMENTO DI CAVENDISH

L’esperimento di Cavendish (1798) ha condotto alla misura della costante di gravitazione universale G. L’apparato è descritto in figura. Viene misurato l’angolo di torsione del braccio che unisce le masse m prima in assenza

( )

( )

Per l’equilibrio del sistema si deve uguagliare a 0 il momento assiale risultante dalla forza di attrazione gravitazionale e dalla forza elastica di richiamo generata dal filo.

θ Cθ Fl

Fr

M_u =



 



= 

=2 2 cos 2

dove C è la costante elastica di torsione e α è l’angolo di torsione. Sostituendo l’espressione per F si ottiene

θ θ

θ l C

l

Gmm =



 







 



 



 



 2

2 2

2 ' ₂ cos

sin

da cui



 



 



 



= 

2 2

'

2 α θ θ

tan mm sin

G lC

Risulta ₂

2

1011

67 .

6 kg

G= ⋅ ⁻ Nm .

Lampada Filo di torsione (quarzo) Specchio

Scala graduata

θ θ

m’ r m

F

l

6.5 LE LEGGI DI KEPLERO

1. I pianeti compiono, nel loro moto intorno al sole, orbite piane di forma ellittica, di cui il sole occupa uno dei fuochi.

2. Il raggio vettore, scelto con origine nel sole, spazza aree uguali in tempi uguali), ovvero il moto dei pianeti avviene con velocità areolare costante.

3. Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è costante, ed uguale per tutti i pianeti.

6.6 IL PROBLEMA DEI DUE CORPI – 1a LEGGE DI KEPLERO

Consideriamo due elementi materiali per i quali l’unica forza agente sia la loro mutua interazione.

Sia uˆ il versore della congiungente i due elementi. Sul primo elemento agirà una forza ϕ(ρ)uˆ, e sul secondo elemento, per il terzo principio della

dinamica, una forza −ϕ(ρ)uˆ. In un sistema di riferimento inerziale si ha:

u a

M_S&_S =ϕ(ρ)ˆ (1) u

a

M_T&_T =−ϕ(ρ)ˆ (2) Consideriamo ora un sistema di riferimento con centro in S; per il teorema dei moti relativi sarà

S T T

r T

Ta u M a u M a

M &^{( )} =−ϕ(ρ)ˆ− &^(τ) =−ϕ(ρ)ˆ− &

da cui, con la (1):





−

−

=

−

−

=

S T T

r T

T M

M u u a

M u a

M ( )ˆ

)ˆ ˆ (

)

( ^{( )}

)

( ϕ ρ &^τ ϕ ρ ϕ ρ

&

da cui

u M a

M M

M _r

T S T

S

T ^{( )} =−ϕ(ρ)ˆ +

&

Il moto di T attorno ad S è quindi lo stesso che si avrebbe se S fosse fisso e T possedesse una massa

S T

S T

M M

M M

= + µ Se la forza è quella di interazione gravitazionale:

) 2

(ρ ρ

ϕ GM^SM^T

= che ammette energia potenziale

ρ GMρ^SM^T U( )=−

l’equazione si riscrive:

M u M

a_T^r G( ^{T S}) ˆ

2 )

(

ρ

− +

& =

poiché a& dipende da una funzione del tipo _T^(r) 



 



 



+ θ ρ

ρ

1 1

2 2

d

d (espressione del Binet), la equazione

è una equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti. La sua soluzione è data dall’integrale generale dell’omogenea associata

S ϕ ( ρ ) uˆ ρ uˆ T ) ( ρ ϕ

−

uˆ

(

)

ρ1 = cos − A

più un integrale particolare, che si porre nella forma p 1 1 = ρ L’integrale generale è quindi

( ) ( ) ( )

p p

p

p θ ψ θ

ψ ρ θ

cos 1 cos

1 cos 1

1 A e

A − + = + − = +

=

con e=p A, in quanto si può sempre porre ψ =0 con una opportuna scelta delle condizioni iniziali.

Questa rappresenta l’equazione di una conica in coordinate polari, di eccentricità e, fuoco in S e parametro p . Se e<1 la conica è un ellisse,se e=1 è una parabola. Se e>1 una iperbole.

6.7 LA 3a LEGGE DI KEPLERO

Consideriamo un sistema formato dal sole e da un pianeta, per i quali l’unica forza agente sia la loro attrazione gravitazionale. Sia uˆ il versore della congiungente i due corpi. La forza agente sul pianeta è

r u M a GM

M_T&_T =− ^S₂ ^T ˆ (1) Per il terzo principio della dinamica sul sole agisce una forza

r u M a GM

M_S&_S = ^S₂ ^T ˆ (2) Consideriamo ora un sistema di riferimento con centro in S; per il teorema dei moti relativi sarà

S T T

T S T

r S T

T u M a

r M a GM

M r u

M a GM

M &^{( )} =− ₂ ˆ− &^(τ) =− ₂ ˆ− &

da cui, con la (2):



 



− 

−

=

−

−

= u

r M GM r u

M a GM

M r u

M a GM

M_T&_T^{(r) S}₂ ^T ˆ _T&^{(τ) S}₂ ^T ˆ _{T 2}^T ˆ da cui

(

)

r

a&_T^(r) =−G_{2 S} + _T ˆ

Proiettando sulla normale principale, ricordando che ^vers

( )

( ) ( )

2 2

2

2 1 2 4

GM r r T

M M G T

r r r

M M G r s

S T

S T

S 



≅ + ⇒

 =



 



⇒ 

= + π π