Legge di Gravitazione Universale
Ogni oggetto nell’universo che abbia una massa esercita una forza di attrazione gravitazionale verso qualsiasi altro oggetto massivo, e subisce a sua volta l’attrazione gravitazionale di tutti gli altri oggetti massivi.
La mela attira la Terra La Terra attira la mela
La Luna attira la Terra La Terra attira la Luna
E’ un tipico esempio della III legge di Newton
(legge di azione e reazione)
Legge di Gravitazione Universale
Una particella puntiforme di massa M1 attira gravitazionalmente (ed è attratta gravitazionalmente da) una massa puntiforme M2 con una forza di modulo:
E direzione lungo la retta congiungente le due masse 2 2
1
r M G M
F =
Questa legge è valida per qualsiasi corpo
(puntiforme) presente nell’universo
Nota:
La legge è vera per particelle puntiformi, cosa succede per un corpo come la Terra che ha una forma ….. ?
Principio di Sovrapposizione:
Dato un insieme di particelle puntiformi, la forza gravitazionale netta esercitata su ciascuna di esse è data dalla seguente somma:
−
=
=ni i
Net
F
F
2 1 1
Un corpo con una forma ed un volume può essere quindi scomposto in volumetti infinitesimi a cui applicare il principio di sovrapposizione
=
→∞− = n Vol
n
i i
Net
F dF
F
2 1 1
Nota:
Si può dimostrare che una sfera di materiale uniforme di massa M da un punto di vista gravitazionale è perfettamente equivalente ad un punto materiale della medesima massa posto al suo centro. Quindi una sfera di materiale uniforme attira una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse concentrata nel suo centro.
Nota
:Sulla Superficie terrestre la forza di gravità vale:
( )
Mg M
F
Mg M
R M G M r
M G M
F
T T T
=
=
⋅ =
⋅
=
=
=
−8 . 9
6370000 10 98 . 10 5
67 .
6
11 2422 2
L’energia potenziale di una massa puntiforme nel punto generico A si può calcolare a partire dalla definizione stessa di energia potenziale.
L’energia potenziale posseduta da una massa puntiforme m0 nel punto A (xA,yA,zA) immersa in un campo gravitazionale generato dalla massa puntiforme M è data da (-) il lavoro necessario portare la carica dal punto di riferimento P a A.
(Cioè anche U(A) = - LP A oppure U(A) = + LA P )
ds r r
G Mm ds
F A
U
l l
⋅
=
⋅
=
2 0) (
Poiché il lavoro non dipende dalla traiettoria posso scegliere una traiettoria ‘facile’ per andare da A a P 1) Mi muovo su un arco di circonferenza di
centro in M da A al punto B
Poiché lo spostamento è ortogonale alla forza (radiale) il lavoro è nullo 2) Mi muovo in direzione radiale da B a P
M
m0A(x
A,y
A,z
A)
m0
P(x
rif,y
rif,z
rif)
B dr
r G Mm A
U
P A−>
−
=
2 0) (
−
=
−
−
=
−
−
=
+
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
>
−
>
−
A rif
A p
A
A P P
P A A P
A
GMm r r
GMm r r
GMm r A
U
r GMm r
GMm r r dr
GMm r dr
G Mm A
U
1 1
1 1
) 1 (
1 1 1
) 1 (
0 0
0
0 2 0
2 0 0
Se considero il punto di riferimento all’infinito l’energia potenziale di una massa puntiforme m0 posta nel punto A all’interno del campo gravitazionale generato dalla massa M distante da m0 UA è dato da:
−
= r
G Mm A
U ( )
0Le tre leggi di Keplero per il moto planetario sono delle conseguenze della legge di gravitazione universale
1° Legge
Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il sole occupa uno dei fuochi
2° Legge
Il segmento che collega un pianeta al sole descrive aree uguali in tempi uguali
3° Legge
Il quadrato del periodo di un pianeta è proporzionale al cubo del semiasse maggiore della sua orbita
2 2
2 2
D C
B
A
