Universit` a del Salento

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Universit` a del Salento

Corso di Laurea in Ingegneria Industriale Prova scritta di Geometria e Algebra

16 gennaio 2013 SOLUZIONI Parte 1: Domande a risposta multipla.

1. Se i vettori v

₁

, v

₂

, . . . , v

_n

di V sono linearmente indipendenti, allora

dim V ≥ n

dim V = n

dim V ≤ n

dim V < n

dim V > n

Soluzione. La dimensione ` e il numero massimo di vettori linearmente indipendenti, quindi se abbiamo n vettori linearmente indipendenti la dimensione di V sar` a almeno n. Cio` e dim V ≥ n.

2. Se A e B sono due matrici simili allora

det A = det B

A · B = Id

A · B

⁻¹

= Id

det A = det B

⁻¹

B · A · B

⁻¹

= A.

Soluzione. Matrici simili hanno lo stesso determinante.

3. Se f : R

³

−→ R

ⁿ

` e un’applicazione lineare iniettiva allora

n ≥ 3

n = 3

n ≤ 3

n < 3

una tale f non esiste.

Soluzione. L’applicazione lineare f ` e iniettiva, essa ha quindi nucleo banale. La relazione fondamentale diventa dim Im f = 3. Ma Im f ⊆ R

ⁿ

e quindi n ≥ 3.

4. Se f : U −→ V e g : V −→ W sono applicazioni lineari e g ◦ f ` e suriettiva allora

g ` e suriettiva

f ` e suriettiva

g e f sono suriettive

g ` e iniettiva

f ` e iniettiva

Soluzione. Da g ◦ f suriettiva abbiamo W = Im(g ◦ f ) = g(f (U )) ⊆ g(V ) e quindi anche g(V ) = W , cio` e g ` e suriettiva.

5. Se u e v sono vettori di R

³

di norma a rispetto al prodotto scalare standard allora

|u + v| ≤ 2a

|u + v| ≥ 2a

|u + v| = 2a

|u + v| = |u| + |v|

(2)

|u + v| = 0

Soluzione. Dalla disuguaglianza di Minkowski abbiamo |u + v| ≤ |u| + |v| = 2a.

Parte 2: Esercizio.

1. Provare che la seguente forma bilineare

β(



 x

₁

y

₁

z

₁



 ,



 x

₂

y

₂

z

₂



) = 2x

₁

x

₂

− x

1

y

₂

− x

2

y

₁

+ 2y

₁

y

₂

− y

1

z

₂

− z

1

y

₂

+ 2z

₁

z

₂

` e un prodotto scalare su R

³

e ortonormalizzare e

₁

, e

₂

, e

₃

rispetto a β.

Soluzione. La matrice associata ad β nella base canonica di R

³

` e

A =





2 −1 0

−1 2 −1

0 −1 2





il cui polinomio caratteristico ` e det(A − t Id) = (2 − t)((2 − t)

²

− 2) = (2 − t)(2 + √

2 − t)(2 − √

2 − t). Gli autovalori, cio` e le radici di questo polinomio, sono quindi 2, 2 + √

2, 2 − √

2. Essendo essi tutti positivi, β ` e un prodotto scalare visto anche che A ` e una matrice simmetrica.

Per ortonormalizzare e

1

, e

2

, e

3

usiamo il processo di Gram-Schmidt. Nel primo passo definiamo v

1

= w

1

= e

1

/|e

1

|

β

e, visto che |e

1

|

²_β

= β(e

1

, e

1

) = 2, abbiamo v

1

= w

1

= 1/ √

2(1, 0, 0).

Nel secondo passo abbiamo w

₂

= e

₂

− β(e

₂

, v

₁

)v

₁

. Calcoliamo prima β(e

₂

, v

₁

) = −1/ √

2 e quindi w

₂

= (1/2, 1, 0). Allora poniamo v

₂

= w

₂

/|w

₂

|

_β

e, visto che |w

₂

|

²_β

= β((1/2, 1, 0), (1/2, 1, 0)) = 3/2, otteniamo v

2

= p2/3(1/2, 1, 0).

Infine al terzo passo abbiamo w

3

= e

3

− β(e

3

, v

1

)v

1

− β(e

3

, v

2

)v

2

. Visto che β(e

3

, v

1

) = 0 e β(e

3

, v

2

) =

−p2/3, otteniamo w

3

= (1/3, 2/3, 1). Infine da β(w

3

, w

3

) = 4/3 abbiamo v

3

= √

3/2(1/3, 2/3, 1).

Concludiamo che normalizzando e

1

, e

2

, e

3

otteniamo i vettori

v

1

= 1

√ 2



 1 0 0



 , v

2

= r 2

3 



1 2

1 0



 , v

3

=

√ 3 2



 1/3 2/3 1



 .

Parte 3: Teoria.

1. Dimostrare che se V ` e uno spazio vettoriale con prodotto scalare β allora per ogni coppia di vettori u, v ∈ V si ha |β(u, v)| ≤ |u|