Matematica Discreta II Lezione del giorno 8 ottobre 2007 Strutture algebriche.

Matematica Discreta II

Lezione del giorno 8 ottobre 2007 Strutture algebriche.

Un’operazione definita nell’insieme (non vuoto) A è una funzione

f : AxA → A (dove AxA = {(x,y) / x,yA } è il prodotto cartesiano)

che associa ad ogni coppia ordinata (x,y) di elementi di A (operandi) un unico elemento f(x,y) di A (risultato).

Useremo spesso il simbolo xy per indicare il risultato f(x,y) dell’operazione applicata agli operandi x,y.

Esempi.

1) Nell’insieme N dei numeri naturali (interi >0) sono esempi di operazioni (dati gli operandi x,y in N) quelle definite ponendo:

xy = x+y xy = x∙y xy = x^y

2) Negli insiemi Z (numeri interi relativi), Q (numeri razionali relativi), R (numeri reali relativi) sono esempi di operazioni (dati gli operandi x,y) quelle definite ponendo:

xy = x+y xy = x∙y xy = x-y

3) Fissato un naturale n>1, nell’insieme Mn(Z) delle matrici con n righe ed n colonne ad elementi in Z, sono esempi di operazioni (dati come operandi le matrici x=(aij)i,j=1,…,n

y=(bij)i,j=1,…,n) quelle definite ponendo:

xy =(cij)i,j=1,…,n dove cij=aij+bij per ogni i,j=1,…..,n (somma di matrici) xy =(cij)i,j=1,…,n dove cij=aij∙bij per ogni i,j=1,…..,n (prodotto di matrici)

xy =(cij)i,j=1,…,n dove cij=ai1∙b1j+ai2∙b2j+….+ ain∙bnj per ogni i,j=1,…..,n (prodotto righe per colonne di matrici)

Analoghe operazioni si possono definire in Mn(Q) e in Mn(R).

4) Fissato un insieme non vuoto X, nell’insieme F(X) di tutte le possibili funzioni f: X → X si può definire l’operazione di composizione o prodotto operatorio, in cui, dati come operandi le funzioni f, g : X → X, il risultato è fg = fg, dove fg : X → X è la funzione composta definita da (fg)(x)=f(g(x)) per ogni x in X

5) Nell’insieme A = {a, b, c} di cardinalità 3, possiamo definire un’operazione indicando, per ognuna delle 9 coppie possibili (x,y) di operandi in A, il risultato xy. Un esempio può essere il seguente:

aa=b, bb=b, cc=a, ab=c, ba=a, ac=b, ca=c, bc=a, cb=a

Si può schematizzare tale operazione in una tavola operazionale di 9 caselle disposte in 3 righe e 3 colonne, facendo corrispondere alle righe e alle colonne ordinatamente gli elementi a,b,c, e inserendo in ogni casella il risultato xy, dove x è l’operando corrispondente alla riga della casella, e y è l’operando corrispondente alla colonna della casella:

a b c a

b c

In modo analogo, dato un insieme finito di cardinalità n:

b c b

a b a

c a a

A = {a1, a2,……, an}

in cui sia definita un’operazione, si può costruire una tavola operazionale con n² caselle disposte in n righe ed n colonne.

Dato un insieme A in cui è definita un’operazione , e dato un sottoinsieme (non vuoto) B di A, diremo che B è chiuso rispetto all’operazione  se comunque presi gli operandi x,yB si ha che il risultato xyB. In questo caso anche nell’insieme B è definita la stessa operazione .

Esempio:

Nell’insieme N dotato di operazione di somma xy = x+y, il sottoinsieme B dei numeri naturali pari è chiuso, mentre il sottoinsieme C dei naturali <100 non lo é.

In un insieme A in cui è definita un’operazione , si dice che l’operazione soddisfa la proprietà associativa, se, comunque dati x,y,zA, si ha (xy) z=x(yz).

Esempi:

Esaminiamo quali delle operazioni definite negli esempi 1),….,5) soddisfano la proprietà associativa.

Nell’esempio 1) è ben noto che le prime due operazioni (somma e prodotto) soddisfano la proprietà associativa, mentre l’operazione di elevamento a potenza xy = x^y

non la soddisfa in quanto per esempio (23) 3=2⁹2(33)=2²⁷.

Nell’esempio 2) è ben noto che le prime due operazioni (somma e prodotto) soddisfano la proprietà associativa, mentre le operazioni di sottrazione xy = x-y non la soddisfa in quanto in generale (xy) z=(x-y)-zx(yz)=x-(y-z).

Nell’esempio 3) le 3 operazioni fra matrici (somma, prodotto, prodotto righe per colonne) soddisfano tutte la proprietà associativa, come si può verificare (anche se la verifica nel caso del prodotto righe per colonne è u po’ macchinosa).

Nell’esempio 4) è facile verificare che la composizione di funzioni in F(X) soddisfa la proprietà associativa.

Nell’esempio 5) l’operazione definita in A non soddisfa la proprietà associativa: per esempio si ha (ab) c=cc=a, mentre a(bc)=aa=b.