Matematica Discreta II
Lezione del giorno 8 novembre 2007 Teoria degli anelli
Un anello è un insieme non vuoto A in cui sono definite 2 operazioni (indicate rispettivamente con i simboli di somma e prodotto) tali che
1 a) A rispetto alla somma è un gruppo commutativo 2 b) A rispetto al prodotto è un semigruppo
3 c) Valgono le proprietà distributive:
per ogni a,b,cA si ha a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca
Seguendo le convenzioni fatte per il linguaggio additivo, l’elemento neutro della somma nell’anello A sarà indicato col simbolo 0A e detto lo zero dell’anello. Per ogni elemento aA, il simmetrico di a rispetto alla somma sarà detto opposto di a e indicato con il simbolo –a.
Se nell’anello A vale la proprietà commutativa del prodotto, si dice che A è un anello commutativo.
Se l’anello A è un monoide rispetto al prodotto (quindi se esiste un elemento neutro del prodotto) si dice che A è un anello con unità.
Seguendo le convenzioni fatte per il linguaggio moltiplicativo, se A è un anello con unità l’elemento neutro del prodotto nell’anello A sarà indicato col simbolo 1A e detto l’unità dell’anello; se un elemento aA è simmetrizzabile rispetto al prodotto, si dirà che a è invertibile, il suo simmetrico sarà detto inverso di a e indicato con il simbolo a-1.
Esempi:
Gli insiemi numerici A=Z, A=Q, A=R, rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto fra numeri interi, razionali, reali, sono anelli commutativi con unità.
Gli insiemi di matrici nxn A=Mn(R), A=Mn(Q), A=Mn(R) (rispettivamente ad elementi interi, razionali, reali) rispetto alle operazioni di somma di matrici e di prodotto righe per colonne sono anelli con unità non commutativi (dove 0A è la matrice “nulla” in cui tutti gli elementi sono =0, mentre 1Aè la matrice
“identità” in cui tutti gli elementi sono =0 tranne quelli della diagonale principale che sono =1).
L’insieme A=Zm delle classi di congruenza modulo m (con m>1 intero fissato) rispetto alle operazioni di somma e di prodotto di classi di congruenza è un anello commutativo con unità (dove 0A è la classe [0], 1A è la classe [1]).
Proprietà elementari di un anello
Se A è un anello, valgono le seguenti proprietà:
1) Per ogni aA si ha: a0A= 0Aa = 0A
2) Per ogni a,bA si ha: a(-b) = (-a)b = -(ab) Dimostrazione:
1) Essendo 0A neutro della somma, si ha 0A = 0A+0A . Dunque, per una delle proprietà distributive, si ha a0A = a(0A +0A)=a0A + a0A. Essendo 0A neutro della somma si ha a0A +0A = a0A = a0A +a0A. Per la legge di cancellazione valida nel gruppo additivo A(+) si conclude che 0A= a0A . Con ragionamenti analoghi si dimostra che 0A= 0Aa.
2) Sfruttando la 1) e una delle proprietà distributive, si ha 0A = a0A = a(b+(-b)) = ab+a(-b) da cui si conclude che a(-b)= -(ab). Con ragionamento analogo si dimostra che (-a)b= -(ab).
Dato un anello A con unità, essendo A monoide rispetto al prodotto, si può costruire il gruppo moltiplicativo A* di tutti gli elementi invertibili di A.
Se A è un anello con unità, l’elemento 0A non è invertibile, in quanto, per la proprietà 1), per ogni elemento aA si ha a0A = 0Aa =0A , dunque non esiste l’inverso di 0A .
Un anello A è detto un corpo se è un anello con unità in cui ogni elemento 0A è invertibile (quindi se A è un corpo si ha A*=A-{0A}. Un corpo commutativo è detto campo (quindi un campo è un anello commutativo con unità in cui ogni elemento 0A è invertibile).
Esempi:
L’anello Z non è un corpo (né quindi un campo) perché gli unici interi invertibili sono 1, -1.
Gli anelli Q e R sono campi. L’anello A=M2(R) non è corpo perché le uniche matrici invertibili sono quelle con determinante non nullo.
Teorema. L’anello A=Zm delle classi di congruenza modulo m (con m>1 è un intero fissato) è un corpo (quindi un campo, essendo commutativo) m è un numero primo.
Dimostrazione:
() Per assurdo sia d un divisore non banale di m. Allora 1<d<m, quindi [d]≠[0]= 0A, ed essendo per ipotesi A=Zm un corpo, [d] ha inverso in A=Zm. Per una proprietà delle classi di congruenza, ciò implica che d,m sono coprimi, contraddizione perché mcd(d.m)=d>1.
() Sia [d]≠[0]= 0A, quindi possiamo supporre 1≤d<m. Poiché m è primo, il mcd(d,m) può coincidere solo con 1 o con m, ma essendo d<m certamente m non è divisore di d, dunque mcd(d,m)=1, e, per una proprietà delle classi di congruenza, ciò implica che [d] è invertibile in A=Zm. Abbiamo dimostrato che ogni elemento di A=Zm è invertibile, dunque A=Zm è un corpo (ed anche un campo).
Esempio di corpo che non è campo:
Hamilton costruì un esempio di corpo non commutativo (quindi di corpo che non è campo) introducendo l’insieme A=Q(R) dei quaternioni reali. Un quaternione reale è una espressione algebrica della forma a+bi+cj+dk, dove i coefficienti a,b,c,d sono numeri reali variabili, e dove i,j,k sono dei simboli letterali fissati. Nell’insieme A=Q(R) dei quaternioni reali si definiscono le operazioni di somma e prodotto di quaternioni, utilizzando le usuali operazioni fra espressioni algebriche letterali, ma con le seguenti convenzioni (che permettono di moltiplicare fra loro i simboli i,j,k) :
i2=j2=k2= -1; ij=k, ji= -k, jk=i, kj= -i, ki=j, ik= -j .
Si verifica che rispetto a tali operazioni A=Q(R) è un anello (ovviamente non commutativo) con unità:
in particolare si ha 0A = 0+0i+0j+0k, 1A = 1+0i+0j+0k .
Infine A=Q(R) è un corpo: ogni quaternione z= a+bi+cj+dk≠0A ha inverso dato da:
z-1= (a/t)+(b/t)i+(c/t)j+(d/t)k , dove t=a2+b2+c2+d2 é la cosiddetta norma del quaternione z (si verifica infatti facilmente che zz-1=1A=1+0i+0j+0k) .
Si dice che in un anello A vale la legge di annullamento del prodotto se, comunque presi a,bA, da ab=0A segue a=0A oppure b=0A .
Esempi:
Negli anelli A=Z, A=Q, A=R, vale la legge di annullamento del prodotto, perché è ben noto che il prodotto di numeri (interi, razionali, reali) non nulli è non nullo.
Nell’anello A=M2(R) non vale la legge di annullamento del prodotto, perché esistono matrici non nulle il cui prodotto righe per colonne è la matrice nulla:
per esempio
0 0
0
1
1 0
0
0 =
0 0
0
0 = 0A .
Nell’anello A=Z6 non vale la legge di annullamento del prodotto, perché per es. [2][3]=[0]= 0A . Teorema. In ogni corpo (e quindi in ogni campo) A vale la legge di annullamento del prodotto.
Dimostrazione:
Siano a,bA tali che ab=0A e per assurdo supponiamo che sia a≠0A e b≠0A . Essendo A corpo, esiste l’inverso b-1A. Per la proprietà associativa del prodotto e per una delle proprietà elementari di ogni anello si ha:
a = a1A = a(bb-1) = (ab)b-1 = 0Ab-1 = 0A (contraddizione).
Polinomi a coefficienti in un anello
Se A è un anello, ed x è un simbolo astratto, si può costruire l’insieme A[x] dei polinomi a coefficienti in A nell’indeterminata x, formato dalle espressioni algebriche della forma:
f(x) = a0+a1x+a2x2+….+amxm dove aiA, m intero³0.
Il polinomio nullo è quello con tutti i coefficienti =0A.
Fra i polinomi di A[x] si possono definire nel modo usuale una somma e un prodotto di polinomi (sfruttando le operazioni dell’anello A):
(a0+a1x+a2x2+….)+(b0+b1x+b2x2+….)=(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+….
(a0+a1x+a2x2+….)(b0+b1x+b2x2+….)=(a0b0)+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+….
(in generale il coefficiente della potenza xk del prodotto è la somma dei prodotti aibj tali che i+j=k).
Rispetto a tali operazioni anche A[x] è un anello, come si verifica facilmente.
In particolare l’elemento neutro della somma fra polinomi è il polinomio nullo.
Se l’anello A ha unità 1A, anche l’anello dei polinomi A[x] ha unità, data dal polinomio:
1A+0Ax+0Ax2+……
Se l’anello A è commutativo, anche l’anello dei polinomi A[x] è commutativo.
