M. Pugliese, Membro IEEE E. Stefanini

(1)

Estensione del Metodo della Risonanza Trasversa per la Caratterizzazione Elettromagnetica di Guide d’onda tipo Suspended-Stripline a

Superdonduttori Alta Temperatura Critica (caso YBCO-su-LaAlO

3

)

M. Pugliese, Membro IEEE E. Stefanini

Abstract -- I satelliti e le stazioni orbitali stanno assumendo grande importanza come laboratori per ricerche avanzate e, conseguentemente, si rendono necessari dispositivi a microonde tecnologicamente molto evoluti. Lo spazio aperto, inoltre, offre un ambiente di lavoro dove particolari tecnologie, quali quella delle ceramiche superconduttrici, possono ulteriormente e significativamente migliorare le prestazioni dei dispositivi (assenza di dissipazione) se non addirittura aggiungere nuove funzionalità derivanti dalle loro peculiarità (p.es. l'effetto Josephson).

Il presente lavoro è focalizzato su una rigorosa caratterizzazione elettromagnetica di strutture guidanti suspended-stripline in cui la striscia centrale è costituita da un film sottile di YBCO (ceramica superconduttrice ad alta temperatura) depositato su un substrato di LaAlO3.

Obiettivo dello studio è stato di aggiornare il modello di caratterizzazione elettromagnetica basato sul metodo della risonanza trasversa, ampiamente discusso in [1] per introdurre i contributi al campo dei materiali superconduttori e, in particolare, di YBCO su LaAlO3 [2], [3], [4]. Il modello è stato implementato in MATHEMATICA e usato per produrre le simulazioni.

I. La struttura guidante suspended-stripline

In figura 1 è mostrata la sezione trasversa di una guida tipo suspended-stripline.

x

y z

ε₀

ε₀ ε₀ε_r

Fig. 1 La generica sezione di una struttura guidante suspended-stripline

La striscia centrale di YBCO è depositata su uno strato dielettrico incassato in una guida d'onda rettangolare metallica; normalmente si progetta l'impedenza caratteristica di una guida d'onda a 50 Ω.

Dal punto di vista cristallografico, il migliore substrato per film sottili di YBCO è LaAlO₃ la cui costante dielettrica,

ε

_r

= 23

, ha un valore talmente elevato da impedire in microstrisce tradizionali di costruire una linea adattata a 50 Ω. Si è considerata, pertanto, la struttura suspended stripline dove la

(2)

II. Cenni sulla caratterizzazione elettromagnetica di un superconduttore

In questa sezione vengono forniti dei cenni sulla caratterizzazione elettromagnetica dei superconduttori. Un superconduttore è un materiale non metallico che, per valori opportuni di campo magnetico esterno e per temperature inferiori alla temperatura critica, presenta resistività nulla in continua e molto contenuta in frequenza almeno fino alla frequenza di transizione.

Il campo elettromagnetico riesce a penetrare nel superconduttore secondo un profilo di ampiezza di tipo esponenziale negativo con lunghezza caratteristica LAMBDA.

Un modello molto semplice ed usato è quello “dei due fluidi” [2]: la corrente totale è composta da due fluidi di portatori, gli elettroni come portatori di corrente “normale” e i super-portatori (coppie di elettroni secondo la teoria BCS) come portatori di corrente “superconduttiva”. Se si applica un campo elettromagnetico esterno in condizioni di superconduttività, questo modello prevede che la costante dielettrica del superconduttore in funzione della pulsazione

ω

^{sia [2]:}

(II.1)

( )

0 0 2 2

1

µ ε ω ω λ

ε

_r =−

dove alcune approssimazioni sono state introdotte (vedi App.I). Il parametro λ è la lunghezza di penetrazione del campo magnetico all'interno del superconduttore ed in funzione della temperatura,

ε0è la costante dielettrica del vuoto, µ₀è la permeabilità magnetica del vuoto.

Ponendo k² =

ω

²

ε

₀

ε

_r

µ

₀ come definizione della costante di propagazione e introducendo la (II.1), si ottiene

(II.2) ² 1₂

−

λ

= k

III. Metodo della risonanza trasversa

Questo metodo consente di ricavare l'andamento della costante di propagazione

k

_z

= k

_z

( ) f

nel dominio della frequenza per ogni modo di campo elettromagnetico eccitato. L’ipotesi di base è che il campo elettromagnetico sia scomponibile in onde piane, ovvero valga la condizione di separabilità, e che siano note la geometria della struttura e le caratteristiche elettriche dei materiali. Fisicamente deve accadere che la componente trasversa del campo elettromagnetico che si stabilisce all'interno di una struttura sia in condizione di risonanza alla generica sezione della struttura stessa. In fig. 2 è riportata la sezione trasversa nell'ipotesi di struttura suspended-stripline. L’asse z è la direzione di propagazione delle onde.

La sezione trasversa è globalmente non omogenea ma può essere scomposta in un numero finito di regioni omogenee raccordate tramite le condizioni al contorno per i campi elettromagnetici.

Il metodo della risonanza trasversa consente di definire il polinomio

k

_z

( ) f

avente grado pari al numero di modi eccitati alla frequenza f. Per scrivere questo polinomio è necessario calcolare, per ogni regione, la matrice a blocchi di trasmissione T e, per ogni interfaccia fra regioni adiacenti, la matrice a blocchi di accoppiamento K. La matrice T descrive la trasmissione del campo elettromagnetico all'interno di una regione, la matrice K descrive l'accoppiamento dei campi elettromagnetici all'interfaccia tra due regioni adiacenti.

(3)

(III.1)









×

∇

×

∇

−

×

∇

=

×

∇

×

∇ +

×

∇

=

i i hz

i ez i

i i ez

i hz i

j A A H

j A A E

r r

r

r r

r

ωµ ωε

1 1

In [1] questo metodo è ampiamente sviluppato e sono riportati alcuni confronti con le misure sperimentali che ne dimostrano l’efficacia. In questo articolo saranno descritte le modifiche da apportare a tale metodo per tenere in conto eventuali materiali superconduttori.

b₀ x

y

b₅

b₃ b₄

b₂

b₁ b

0

0 a₁ a₂ a₃ a

z

I IIIc

IIIb

IIIa II

IV

Fig. 2 Modello della sezione di una generica struttura guidante stratificata

IV. Modello della striscia di superconduttore

La regione in cui è posta la striscia di superconduttore YBCO è la IIIb (Fig. 31). Un superconduttore si può modellare come un materiale dielettrico di costante pari alla (II.1) in cui le onde elettromagnetiche si propagano con costante di propagazione pari alla (II.2). Se si suppone che la striscia di superconduttore (nel nostro YBCO) sia spessa t e larga W. Se t<<λ (come normalmente accade nell’ipotesi di film sottili) allora il campo elettromagnetico è totalmente penetrato lungo l’asse X per cui la regione IIIb è vista come un dielettrico di costante relativa ε_rlungo X. Se W>>λ (come normalmente accade in tutte le applicazioni pratiche essendo W dell’ordine dei mm e λ dell’ordine dei nm) allora il campo elettromagnetico è quasi totalmente riflesso lungo l’asse Y e quindi trattabile con ottima approssimazione come una parete elettrica perfetta.

Pertanto nelle ipotesi t<<λ e W>>λ la regione IIIb è

(4)

ε

r

PEP PEP

ε

r

t W

Fig. 3 Modello della Regione IIIb nel caso di una striscia di superconduttore

Questo modello elettromagnetico per la striscia di superconduttore modifica sostanzialmente solo le matrici associate alla regione stessa e alle limitrofe, ovvero T3b, K2,3 e K3,4, lasciando inalterato il resto nonché la complessità globale dell’algoritmo di soluzione. È interessante notare che questa considerazione dimostra indirettamente che un supercoduttore non equivale, dal punto di vista elettromagnetico, a un conduttore perfetto. Nel seguito verranno fatte le seguenti posizioni

(IV.1)

2 3

b b W

a a t

−

=

−

=

IV.i Calcolo della matrice di trasmissione T per la regione IIIb

Dopo aver opportunamente fattorizzato i potenziali vettore ed imposto le condizioni al contorno per y=0 e y=bi è possibile definire la matrice T^IIIb di trasmissione per la regione IIIb del tipo

(IV.2)

















=

′

IIIb c IIIb

c

IIIb c IIIb

s

IIIb s IIIb

c

IIIb c IIIb

c

IIIb

T T

T

0 0

&

in cui le matrici diagonali T_cÎIIb, TÎIIb_s e T_cÎIIb_′ sono date dalle (IV.3) TÎIIb_c Diag{cos(k_xÎIIbdÎIIb)}

= n

(IV.4) T_cÎIIb Diag{ k_xÎIIbsin(k_xÎIIbdÎIIb)}

n

− n

′ =

(IV.5) ( )}

{ _IIIb

x IIIb IIIb x IIIb

s

n n

k d k Diag sin

T =

avendo posto

(5)

(IV.7)

(

k_x^IIIb

)

²

(

k^IIIb

)

²

(

k_y^IIIb

)

² k_z²

n

= − −

con

(

k^IIIb

)

² dato da (II.2) e con _y^IIIb

k n dato da (IV.8)

W k_y^IIIb n

n

=

π

IV.ii Calcolo della matrice di accoppiamento K della regione IIIb con le regioni adiacenti II e IV

L’applicazione delle condizioni al contorno per il campo elettromagnetico sui piani di equazione x=a₂ e x=a₃ equivale ad imporre le:

(IV.9)



 



=

+ +

1 , ,

i z y i

z y

i z y i

z y

H H

E

per le due interfaccia i=II, i+1=IIIb e i=IIIb, i+1=IV.

Le nuove matrici KÎI^,ÎII e KÎII^,ÎVsono:

(IV.10)

[ ]

















⋅

= ⁻

III II s III II

III II III II

III II III II c

II III II

J K

K K

K J

N K

, ,

3 , 4

, 3 , 3 ,

2 , 2

, 2 , 1 ,

, 1

0 0

0

0 0

0

0 0

(IV.11)

[ ]

















⋅

= ⁻

IV III s IV III

IV III IV III

IV III IV III c

III IV

III

J K

K K

K J

N K

, ,

3 , 4

, 3 , 3 ,

2 , 2

, 2 , 1 , , 1

0 0

0

0 0

0

0 0

dove

[ ]

^N^III ⁻¹ è una matrice di normalizzazione definita in [1].

(IV.12)

[ ]















⋅

=

⋅

=

III IIIc II s IIIc II IIIb II s IIIb II IIIa II s IIIa II III II

IIIc II c IIIc II IIIb II c IIIb II IIIa II c IIIa II III II

IIIc II s IIIc II IIIb II s IIIb II IIIa II s IIIa II III II

III IIIc II c IIIc II IIIb II c IIIb II IIIa II c IIIa II III II

D J

J J

K

J J

J K

J J

J K

D J

J J

K

, , ,

, ,

3 , 4

, , ,

, ,

3 , 3

, , ,

, ,

2 , 2

, , ,

, ,

2 , 1

δ δ

δ

γ γ

γ

β β

β

α α

α

(6)

(IV.13)

 





 







⋅

 







 







=

 







 







=

 







 







=

⋅

 







 







=

IV IV IIIb s IV IIIb IV

III

IV IIIc c

IV IIIb c IV IIIb

IV IIIa c IV

III

IV IIIc s

IV IIIb IV s IIIb

IV IIIa s IV

III

IV IV IIIb c IV IIIb IV

III

D J

K

J J J K

D J

K

0 0 0 0

, , ,

3 , 4

, , ,

, ,

3 , 3

, , ,

, ,

2 , 2

, , ,

2 , 1

δ γ β α

dove

(IV.14)

















=

IIIc IIIb IIIa

III

D D D

D

0 0

con

(IV.15)







= 

W Diag n

D^IIIb

π

(IV.16)

[ ]







=

IIIc II s IIIb II s IIIa II s III II s

IIIc II c IIIb II c IIIa II c III II c

J J

, ,

(IV.17)



























=

















=

IV IIIc s

IV IIIb s

IV IIIa s IV III s

IV IIIc c

IV IIIb c

IV IIIa c IV III c

J J J J

, , , ,

(7)

(IV.18)

( )











=

∫

3

2 3

2

) ( ) (

, ,

b

IV k IIIb n k n IV IIIb c

b

IIIb k II k n n IIIb II c

dy y c y c J

(IV.19)

( )











=

∫

3

2 3

2

) ( ) (

, ,

b

IV k IIIb k n

n IV IIIb s

b

IIIb k II k n n IIIb II s

dy y s y s J

dove

(IV.20)

 



≠

= = +

= −

0 0

0 1

1 )]

( ) cos[

(

_,

, 2

n for

n b for

y y k

c _o_n

n o IIIb IIIb y

n

δ

(IV.21) s_n^IIIb

(

y

)

sin

[

k_y^IIIb

(

y b₂

)]

n

−

=

Le quantità

α

_i_{, +}_i ₁ ,

δ

_i_{, +}_i ₁ ,

β

_i_{, +}_i₁ e

γ

_i_{, +}_i₁ sono i fattori di accoppiamento tra la regione i e la regione i+1. Nel caso in oggetto si è interessati all’interfaccia i=II, i+1=IIIb e i=IIIb, i+1=IV.

(IV.22)





 





−

= −

+

+ 2

0 1 0

1

,

( / )

1 ) / (

k k e

e e k

z i r

i r i r z i

i

ωε

α

(IV.23)





 





−

= −

+

+ + 2

0 2 0 1

1 1

,

( / )

) / (

k k

z i r

z i r i r i r i

i

ε

ε ε β ε

(IV.24) ₂

0 2 0 1

1

, ( / )

) / (

k k

z i r

z i r i

i −

= −

+

ε

δ ε

(IV.25)





 





−

= −

+

+ 2

0 1 0

1

, e

(

k

/

k

)

e e k

z i r

i r i r z

i

ωµ

γ

IV.iii Calcolo della matrice di propagazione

La combinazione fra matrici di accoppiamento e matrici di trasmissione permette di ottenere la matrice di propagazione

M

_R del campo trasverso lungo x

(8)

(IV.26) 



 



=



 



 ×

×

=

∏

=

−

22 21

12 , 11

1

M M

M T M

K T

M

IV

II i

i i i I

R & &

L’applicazione delle condizioni al contorno sulle superfici metalliche della struttura ai piani x = 0 e x

= a equivale ad imporre l'uguaglianza a zero del determinante del blocco M₁₂

(IV.27) Det

[

M₁₂

] = 0

V. Simulazioni

Il modello descritto è stato implementato con il MATHEMATICA.

Lo scopo delle simulazioni è compiere una valutazione preliminare delle costanti di propagazione.

Sono state effettuate due tipi di simulazione.

Il primo tipo vuole sostanzialmente validare il metodo numerico adottato nell’implementazione del modello matematico e, pertanto, sono stati inseriti gli stessi parametri geometrici ed elettrici di [1] e si è cercata solo una conferma dell’andamento della costante di propagazione in frequenza del modo fondamentale; ciò è stato compiuto ipotizzando la presenza di otto modi nella struttura e limitando all’asse reale il campionamento dell’equazione caratteristica (4.2.26).

Tab. 1 riassume i dati di ingresso dell’analisi: tutti i valori sono riferiti alla Fig. 1 e le lunghezze sono espresse in millimetri.

b

₀ = -0.002

b

₁ = 0

b

₂ = 3.0560

b

₃ = 4.0560

b

₄ = 7.1120

b

₅ = 7.114

a

₁ = 1.4605

a

₂ = 2.0955

a

₃ = 2.1905 A = 3.5560 εr ⁼⁹^.⁶ b = 7.112

Tab. 1

Fig. 4 mostra i risultati ottenuti tramite i due metodi: il grafico, che è relativo al modo fondamentale, mostra un buon accordo con l’analogo grafico presentato in [1].

(9)

Fig. 4 Andamento della costante di propagazione per il modo fondamentale per la struttura proposta in [1]

Il secondo tipo di simulazione, una volta giudicato valido il modello, vuole simulare ancora l’andamento del modo fondamentale ma, stavolta, per una struttura con striscia centrale in HTS. La struttura analizzata è ricavata dalla precedente sostituendo la striscia centrale di conduttore perfetto con una striscia di YBCO e lasciando inalterato tutto il resto: tale modo di procedere rappresenta una pura astrazione teorica perché il dielettrico considerato, che è tipico delle applicazioni normali, non è in grado di supportare la crescita dell’YBCO.

In questo caso, tuttavia, si è interessati più al confronto fra la struttura ideale e quella HTS che alla pratica realizzabilità del dispositivo. I valori caratteristici dei parametri dell’YBCO riportati in Tab.2.

Il risultato ottenuto è mostrato in Fig. 5.

Fig. 5 Andamento della costante di propagazione per il modo fondamentale per la struttura proposta in [1] con striscia centrale HTS

Tale risultato è stato ottenuto fissando la temperatura di lavoro al valore di 77 °K e a nove il numero di modi considerati.

Se si confrontano i grafici di Figg. 5 e 6, si può notare come la curva relativa alla struttura HTS presenta, a parità di frequenza, ordinate maggiori di quella relativa alla struttura ideale: questo comportamento si manifesta su tutte le frequenze prese in considerazione nel corso dell’analisi.

Pertanto il modello riesce a tenere in conto il fatto che un film HTS ha fatto aumentare in modo significativo l’induttanza totale della struttura.

VII. Considerazioni

L’incremento del valore della costante di propagazione, per ogni valore della frequenza, del campo nella struttura con conduttore HTS rispetto alla struttura con conduttore perfetto è da imputarsi ad un aumento dell’induttanza totale della struttura guidante per effetto dell’immagazzinamento di campo magnetico all’interno del superconduttore (contributo di induttanza cinetica). Considerando tutto il volume della regione IIIb penetrato dal campo magnetico (t<<λ), l’espressione per l’induttanza aggiuntiva è data da [2]

(10)

(VII.1)

wt t

w

L ₂

2 int

ln 4 2

π

µλ





 





=

Questo fatto mette in luce la differenza concettuale tra un superconduttore e un conduttore perfetto.

VIII. Conclusioni

Si è cercato di ottenere una rappresentazione simbolica che fosse molto più regolare e sistematica di quella proposta in [1]: questo modo di procedere ha reso anche possibile la determinazione di tutte le matrici di accoppiamento a partire da un solo metodo di calcolo.

Ciò è stato fatto in base alla precisa esigenza di rendere agevoli le modifiche topologiche necessarie per introdurre la nuova sottoregione IIIb.

Per quanto è stato esposto, la novità concettuale più interessante è il modello della regione IIIb dove, sotto ipotesi normalmente verificate, un film sottile superconduttivo viene visto, dal punto di vista elettromagnetico, come un dielettrico lungo un certo asse e come un conduttore perfetto lungo un altro. Questo modello ha reso abbastanza agevole la modifica al metodo [1] per tenere in conto il contributo di un mezzo superconduttivo.

Le simulazioni al computer hanno evidenziato che la costante di propagazione nella struttura con conduttore HTS è sempre maggiore, a parità di frequenza di lavoro, rispetto al caso di conduttore perfetto. Ciò si può senza dubbio imputare ad un aumento dell’induttanza totale associata alla struttura con HTS per il contributo di induttanza cinetica dei super-portatori nel superconduttore.

IX. Referenze

[1] Bornemann, J., Rigorous Field Theory Analysis of Quasiplanar Waveguides, IEE Proceedings, February 1985.

[2] Mei, K.K., Guo-chun Liang, Electromagnetics of Superconductors, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, September 1991.

[3] Stefanini, E., Analisi di Srutture Guidanti Multistrato a Superconduttore Tramite la Tecnica del Mode-Matching, Electronic Engineering Degree Thesis, State University "La Sapienza", A.A. 1995- 1996.

[4] Pugliese, M., Dispositivi a Microonde con Superconduttori ad Alta Temperatura Critica: Progetto e Realizzazione di Strutture Filtranti Suspended-Stripline, Electronic Engineering Degree Thesis, State University "La Sapienza", A.A. 1991-1992.