Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare: Appunti

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare:

Appunti

Preparati da D.Gamba

January 6, 2006

Part I

Stabilita’ nucleare e fisica del neutrone

Chapter 1

Introduzione e concetti base

Nel secolo che segui’ la scoperta del nucleo da parte di Rutherford, numerose applicazioni hanno beneficiato: 1) delle proprieta’ del nucleo, 2) delle tecniche di misure nucleari, 3) degli acceler- atori di particelle, 4) dei sensori nucleari. Queste applicazioni trovano spazio nelle piu’ svariate discipline, come ad esempio la medicina, la biologia, l’arte, l’archeologia, l’energia, la scienza dei materiali, le scienze naturali,l’esplorazione spaziale, lo studio dell’ambiente e non ultimo per im- portanza il settore bellico. C’e’ da rilevare che molte di queste applicazioni sono molto specifiche ed hanno un piccolo impatto sulla vita quotidiana, mentre altre hanno un grande impatto.

L’approccio ai diversi argomenti e’ fatto principalmente dal punto di vista sperimentale, partendo dai principi fisici fondamentali, con esempi illustrativi. Gli argomenti trattati nel Corso

riguardano solo alcuni aspetti degli impieghi delle tecniche di fisica nucleare, in particolare nel campo dell’energia e dell’analisi strutturale. Si rimanda ai corsi specifici per l’approfondimento sopratutto della fisica nucleare. Particolare cura sara’ posta nella risoluzione dei problemi, convinto che imparare a risolvere i problemi e’ parte integrale dell’imparare e capire la fisica.

1.1 Richiami

1.1.1 Costituenti base del nucleo ed atomo

Un nucleo atomico e’ la parte centrale massiva di un atomo consistente diA nucleoni: Z protoni e N neutroni; con A si indica la numero di massa e Z il numero atomico. Le dimensioni nucleari sono espresse in fermi, o femtometri, dove 1fm = 10⁻¹⁵m mentre quelle atomiche sono di 4 ordini di grandezza maggiori.

Le proprieta’ base dei costituenti atomici sono illustrate nella seguente tabella:

carica massa(u) spin(~) momento angolare(J T⁻¹)

protone e 1.007276 1/2 1.411×10⁻²⁶

neutrone 0 1.008665 1/2 -9.66×10⁻²⁷

elettrone −e 0.000549 1/2 9.28×10⁻²⁴

Il protone ha carica positiva pari a e=1.6022× 10⁻¹⁹C (Coulomb). La massa e’ espressa in unita’

atomiche di massa (u), tale che la massa atomica dell’atomo¹²₆ C₆ e’ esattamente 12.000 u.

1.1.2 Isotopi, isotoni e isobari

Isotopi di un elemento sono atomi i cui nuclei hanno lo stezzo Z, ma diverso N. Essi hanno la stessa struttura elettronica e quindi simili proprieta’ chimiche. Ad es. l’idrogeno ha tre isotopi:

11H₀,²₁H₁ e³₁H₂, i cui nuclei sono rispettivamente il protone p, il deutone d ed il tritone t. Pure il carbonio ha tre isotopi naturali: ¹²₆ C₆,¹³₆ C₇e¹⁴₆ C₈. Nuclei con lo stesso N ma diverso Z sono chiamati isotoni e nuclidi con lo stesso numero di massa A sono indicati come isobari. Nel rappresentare una specie nucleare o nuclide si omette sia Z che N in quanto A=Z+N e la Z e’

fissata dal simbolo dell’elemento chimico, cosi’ con³H si indica il nuclide e si sa che per il simbolo H la Z vale 1 e quindi N=2, o come con²³⁵U si intende il nuclide Uranio che ha Z=92; il nuclide Uranio ha tre isotopi:²³³U,²³⁵U e²³⁸U. In pratica per le applicazioni sono usati tutti gli elementi, fino a Z=94 (Plutonio), ma quelli piu’ importanti per le applicazioni sono solo poche decine.

Figure 1.1: Masse atomiche

1.1.3 Masse nucleari ed energia

All’interno del nucleo, neutroni e protoni interagiscono l’un l’altro e sono confinati nel volume nucleare sotto l’influenza delle forze nucleari attrattive ed elettromagnetiche repulsive. L’energia di legame ha un effetto diretto sulle masse di un atomo.

Alla scala atomica, 1 u e’ equivalente a 931.5 MeV/c², questo spiega perche’ variazioni di

qualche electron volt non ha effetto sulla massa dell’atomo, mentre le energie nucleari ( ricordare la relazione di Einstein E=mc²) hanno sensibili effetti sulle masse atomiche.

Piu’ alte le masse maggiore e’ l’energia e meno stabile e’ il nuclide ( si puo’ pensare al nuclide come ad uno stato eccitato), per cui se il nuclide puo’ diminuire la sua energia attraverso la disintegrazione esso lo fara’.

L’energia di legame B, o binding energy, di un nucleo si intende come il lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoi nucleoni costituenti, oppure come l’energia rilasciata durante la formazione del nucleo dai suoi costituenti. La massa di un atomo e’ minore della massa dei suoi costituenti di una quantita’ pari alla massa equivalente di B, cioe’

m(A, Z) = Zm_H + Nm_n− B/c² (1.1)

dove m(A,Z), m_H e m_nsono le masse atomiche del nuclide, di un atomo di idrogeno e di un neutrone e B e’ espresso in unita’ di energia.

La relazione assume che le energie di legame degli elettroni ( dell’ordine degli eV ) nei diversi atomi siano trascurabili. Tutti gli effetti delle forze agenti sui nucleoni all’interno del nucleo sono contenuti nel termine di energia di legame. Una variazione della energia di legame induce una variazione trascurabile nella massa atomica, la cui unita’ di massa e’ equivalente a circa 1 GeV.

La differenza tra la massa atomica ( in unita’ di massa atomica) ed il numero atomico,∆ = m(A,Z) - A, e’ chiamato mass excess; se si plotta∆ vs il numero di massa A, si ha la seguente curva con un minimo attorno ad A∼ 50,Fig. 1.3

Si distinguono due regioni,∆ < 0 e ∆ > 0. ∆ < 0, per 20 < A <180 significa che il nuclide ha massa minore rispetto alla somma dei componenti e quindi lo stato finale e’ piu’ stabile di quello

Figure 1.2: Scala atomica

Figure 1.3: Mass Excess

Figure 1.4: Binding energy per nucleone

iniziale, indica inoltre che bisogna fornire energia se si vuole passare dallo stato di nuclide allo stato iniziale di singoli nucleoni individuali.∆ >0, per 20>A> 180, invece indica che il nuclide e’ instabile perche’ ha un eccesso di massa e quindi cerchera’ di portarsi in una condizione stabile mediante decadimento radioattivo.

L’energia di legame nucleare cresce col numero atomico A e quindi per comodita’ si parla di energia di legame per nucleone B/A, il cui andamento in funzione di A e’ mostrato in Fig. 1.4 La caratteristica piu’ evidente della curva B/A e’ che e’ approssimativamente costante attorno a 8MeV per nucleone, eccetto che per nuclei molto leggeri o molto pesanti. La costanza B/A implica un effetto di saturazione nelle forze nucleari e quindi che la forza tra nucleoni e’ a corto range.

Il rapido aumento iniziale di B/A per nuclei molto leggeri si puo’ spiegare come il risultato della competizione tra effetti di volume, che vorrebbe B crescere come A ed effetti di superficie che invece vorrebbe B decrescere con A come A^2/3. All’altro estremo della curva B/A vs A, la graduale discesa di B/A per A>100 si puo’ spiegare come l’effetto della repulsione coulombiana che diventa piu’ importante man mano che il numero di protoni nel nucleo cresce.

Si puo’ utilizzare la curva B/A per un breve calcolo per stimare l’energia rilasciata nelle reazioni di fissione ( rottura ) e fusione ( unione ). Si supponga di avere una rottura simmetrica di un nucleo con A∼ 240 con due frammenti ciascuno di massa A/2. La reazione conduce ad uno stato finale con B/A di circa 8.5 MeV, che e’ circa 1 MeV piu’ grande della B/A dello stato iniziale.

Quindi l’energia rilasciata per la reazione di fissione si puo’ stimare in 240 MeV, ( calcoli piu’

accurati indicano 200 Mev). Per una reazione di fusione, ad esempio²H +²H→⁴He, i valori di B/A di²H e⁴He sono rispettivamente 1.1 e 7.1 MeV/nucleone. Il guadagno in B/A e’ circa 6 MeV/nucleone e quindi l’energia rilasciata per una reazione di fusione e’∼ 24 MeV.

1.1.4 Energia di legame e reazioni nucleari

Il concetto di binding energy si puo’ anche applicare alle reazioni a due corpi dove lo stato iniziale consiste di una particellai incidente su un nucleo targhetta I e lo stato finale consiste di una particella uscentef ed un nucleo residuo F .

La reazione si puo’ scrivere come:

i + I → f + F + Q (1.2)

doveQ e’ un’energia chiamata ”Q-value” della reazione. Corrispondentemente, si ha la definizione

Q ≡ [(Mⁱ+ MI) − (M^f + MF)]c² (1.3) dove per M si intendono le masse atomiche. Ogni reazione nucleare ha un caratteristico

Q − value; la reazione e’ detta esotermica(endotermica) per Q>0 (Q<0) quando l’energia e’

rilasciata(assorbita). Cosi’ una reazione endotermica non puo’ avvenire a meno che non venga fornita energia in piu’ oltre una certa soglia. Spesso questa energia e’ l’energia cinetica della particella incidente. Si puo’ esprimere Q in termini di energia cinetica invocando la

conservazione dell’energia totale, che vale per ogni reazione:

T_i+ M_ic²+ T_I+ M_Ic² → Tf + M_fc²+ T_F + M_Fc² (1.4) Combinando questa relazione con la (1,3) si ottiene perQ

Q = Tf + TF − (Tⁱ+ TI) (1.5)

Poiche’ le masse si possono esprimere in termini di energia di legame, un’altra espressione di Q e’ la seguente

Q = B(f ) + B(F ) − B(i) − B(I) (1.6)

Ad esempio la Q della reazione di cattura neutronica del boro, tecnica usata nella medicina nucleare, che e’ basata sulla reazione

10

5 B + n →⁷3 Li +⁴He + Q (1.7)

vale Q = B(Li)+B(α)-B(B) = 39.245+28.296- 64.750 = 2.791 MeV. La reazioe e’ esotermica, quindi puo’ essere indotta da un neutrone con poca energia cinetica, neutrone termico. Il modo piu’ pratico per calcolare ilQ − value e’ di usare le masse a riposo dello stato iniziale e quello finale. In molte reazioni di interesse ilQ − value varia tra 1-5 MeV. Una eccezione importante e’

la fissione, dove Q∼ 170-210 MeV a seconda dello stato finale).

1.1.5 Energia di separazione

La definizione di energia di legame, qui adottata, implica uno stato finale dove tutti i nucleoni sono separati e distanti l’un l’altro. Si puo’ definire un’altra energia di legame in cui lo stato finale

e’ uno stato che comprende la separazione di un solo nucleone. L’energia richiesta per separare una particella a dal nucleo e’ detta energia di separazione Sa. Questa e’ anche l’energia rilasciata, o energia disponibile per la reazione quando la particella a e’ catturata. Il bilancio energetico e’

quindi

Sa = [Ma(A^′, Z^′) + M(A − A^′, Z − Z^′) − M(A, Z)]c² (1.8) in cui a e’ trattato come un ’nucleo’ con numero atomico Z^′ e numero di massa A^′. Per un

neutrone, ad esempio, si ha

Sn = [Mn+ M(A − 1, Z) − M(A, Z)]c² (1.9) La S_ne’ chiamato nella letteratura energia di legame del last neutron. La S_nvariera’ da nucleo a nucleo; nel range dove B/A e’ quasi costante si puo’ stimare dalla curva B/A che S_n ∼ S^p ∼ 8 MeV, mentre per i nuclei piu’ pesanti S_n∼ 5-6MeV. Quando un nucleo M(A-1,Z) assorbe un neutrone vi e’∼ 1MeV di differenza ( o piu’ quasi fino a 4 MeV in certi casi) tra il neutrone assorbito nella condizione di neutrone pari o neutrone dispari.

La differenza e’ la ragione per cui²³⁵U puo’ iniziare una reazione di fissione con neutroni termici (E<1MeV), mentre per l’²³⁸U sono necessari neutroni veloci (E>1MeV). Le energie di

separazione di neutroni e protoni hanno un comportamento sistematico che si puo’ riassumere cosi’:

S_n(N pari)>Sn(N dispari) per un dato Z, S_p(Z pari)> Sp(Z dispari) per un dato N

Questo effetto e’ attribuito alla proprieta’ di pairing delle forze nucleari, spiegabile con

l’esistenza di una forza di legame tra coppie di nucleoni identici nel medesimo stato che hanno momento angolare totale che punta in direzioni opposte. Questa e’ anche la ragione della eccezionale stabilita’ della particellaα, i nuclei pari pari sono piu’ stabili.

1.1.6 Abbondanza sistematica dei nuclidi stabili

La carta di stabilita’ si costruisce plottando il numero di Neutroni vs il numero atomico Z per tutti i nuclidi stabili.Il risultato, in Figura 1.5, mostra che

N∼ Z per bassi A, mentre N>Z per alti A.

Si puo’ facilmente spiegare come per i nuclei pesanti la repulsione coulombiana favorira’ una distribuzione neutrone-protone con piu’ neutroni che protoni, piu’ difficile spiegare perche’ debba esserci ugual numero di protoni e neutroni per i nuclidi leggeri; si puo’ notare che avere piu’

neutroni che protoni significa che il nucleo e’ in uno stato di energia piu’ alto e quindi meno stabile. Questo effetto di simmetria e’ piu’ evidente per bassi A e meno ad alti A. Dalla Figura 1.5 si puo’ notare che:

Figure 1.5: Carta della stabilita’

i. Nel caso di A dispari, esiste un solo isobaro stabile, eccetto per A=113,123.

ii. Nel caso di A pari, esistono solo nuclidi pari-pari, eccetto A=2,6,10,14.

A Z N Type N. stabili+long lived Grado di stabilita’ N.tipico nuclidi stabili

Even Even Even e-e 166+11=177 High 2-3

Odd Even Odd e-o 55+3=58 Fair 1

Odd Odd Even o-e 51+3=54 Fair 1

Odd Odd Odd o-o 6+4=1 low 0

1.2 Formula empirica dell’energia di legame e parabola delle masse

La curva dell’energia di legame descrive come la stabilita’ dei nuclidi varia col numero di massa A. La curva e’ derivata da dati sperimentali sulle masse atomiche. Un modo di analizzare la curva e’ quello di decomporre l’energia di legame in vari contributi dalle interazioni fra i nucleoni. La formula empirica che si considera qui ( Weizsaecker in 1935) e’ basata sul modello a goccia del nucleo. Le assunzioni generali sono:

1. Il nucleo e’ composto di materia incompressibile, cosi’ R∼ A^1/3. 2. La forza nucleare non distinge protoni da neutroni.

3. La forza nucleare satura, short range.

La formula empirica delle masse e’ generalmente scritta in termini della energia di legame B(A, Z) = avA − a^sA^2/3− a^cZ(Z − 1)

A^1/3 − a^a(N − Z)²

A + δ (1.10)

dove i coefficientia sono determinati fittando i dati delle masse. I coefficienti v,s,c e a riferiscono rispettivamente a volume, superficie, carica ed asimmetria,δ indica il termine di pairing che vale

δ = ap/√

A per nuclei e-e , = 0 per e-o,o-e,= −a^p/√

A per o-o

dove a_pe’ un altro coefficiente da determinare attraverso il fit. Tipici valori per i 5 coefficienti sono, espressi in MeV:

av = 16, as = 18, ac = 0.72, aa = 23.5, ap = 11

Il fit ai dati sperimentali non e’ perfetto per cui in letteratura si possono trovare valori leggermente diversi per i coefficienti; in media l’accordo e’ abbastanza buono ed e’ attorno ai 2 MeV, eccetto dove c’e’ un forte effetto della shell, per cui si puo’ aggiungere∼ 1-2 MeV alla formula per rappresentare l’extra legame per i nuclei con shell chiuse di neutroni o protoni.

Mentre i primi tre termini della formula empirica di massa sono autoesplicativi in termini di modello a goccia, il termine di asimmetria si puo’ spiegare come l’energia necessaria per

trasformare un nucleo con N=Z in un nucleo con N>Z. Infatti l’energia necessaria per un nucleo per passare da N=Z→ N>Z sara’ proporzionale al numero di nucleoni da trasformare e cioe’ ν = (N-Z)/2 moltiplicato la differenza di energia dei livelli occupati dai nucleoni prima e dopo lo spostamento, che in media e’ pari aν∆; ora essendo ∆ ∼ E^F/A con E_F energia di Fermi che e’

indipendente da A, cosi’∆ ∼ 1/A e si ricava l’espressione per il termine di asimmetria.

I relativi contributi all’energia di legame per nucleone che mostrano l’importanza relativa dei vari termini della formula semimepirica si possono dedurre dal seguente grafico.

METTERE GRAFICO

Eccetto che per gli estremi del grafico, la formula semiempirica fornisce le energie di legame accurate al 1% coi dati sperimentali, che significa che le masse atomiche hanno un’incertezza di 1 su 10⁴. La formula semiempirica puo’ essere usata per determinare la costante r₀ nella relazione R=r0A^1/3infatti compare nei coefficientiaveas; ne risultar0 = 1.24 · 10⁻¹³cm.

1.2.1 Parabola della massa e linea di stabilita’

La formula di massa puo’ essere utilizzata per ricavare la massaM(A, Z)

M(A, Z)c² ≃ A[Mⁿc² − a^a+ as/A^1/3] + xZ + yZ²− δ (1.11) dove

x = −4a^a− (Mⁿ− M^H)c² ≃ −4a^aey = ^4a_A^a +_A^a1^c/3

La relazione, per A costante, assume la forma di una parabola in Z, il cui minimo si ha per un numero atomico, Z_A, del nucleo stabile per quel dato A. La condizione di minimo richiede che sia

∂ M/∂ Z|^ZA=0, per cui

ZA− x/2y ≈ A/2 1 + ¹₄h

ac

aa

iA^2/3

(1.12) Notare che se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb in B(A,Z), si sarebbe ottenuto la seguente espressione

ZA≈ (Mn− M^H)c²A^1/3

2ac ∼ 0.9A^1/3 (1.13)

che e’ molto imprecisa nella determinazione del numero di massa, infatti per un nucleo stabile con Z_A=20 il corrispondente numero di massa risulterebbe∼ 9.000 che chiaramente non e’ realistico.

Con un fit ai dati sperimentali dalla relazione precedente (METTERE REFERENZA) si ricava cheac/4aa= 0.0078 che equivale adaa ∼ 20-30 MeV, questo significa che la deviazione della linea di stabilita’ da N=Z=A/2 e’ il risultato dell’effetto coulombiano, che favorisce Z_A<A/2, diventando relativamente piu’ importante dell’effetto di simmetria che favorisce Z=A/2.

I nuclidi instabili per eccesso di neutroni o protoni possono attivare dei processi di decadimentoβ che permettono ad un nucleo di cambiare il suo numero atomico Z mantenendo costante il

numero di massa A. Un nucleo con troppi protoni puo’ emettere positroni (e⁺oβ⁺) con emissione di neutrino(ν), es.

16

9 F →¹⁶8 O + β⁺+ ν (1.14)

e nel caso il nucleo si trovi con neutroni in eccesso puo’ emettere un elettrone e⁻oβ⁻ ed un antineutrinoν convertendo un neutrone in protone, es.

16

7 N →¹⁶8 O + β⁻+ ν (1.15)

Un processo competitivo col decadimentoβ⁺ e’ la cattura elettronica (EC). In questo processo un elettrone della shell atomica piu’ interna e’ catturato dal nucleo cosicche’ la carica nucleare e’

ridotta da Z a Z-1.

Perche’ il bilancio delle masse atomiche sia mantenuto, ciascun processo di decadimento deve essere energeticamente permesso:

M(A, Z + 1) > M(A, Z) + 2me β⁺ decay M(A, Z) > M(A, Z + 1) β⁻ decay M(A, Z + 1) > M(A, Z) Electron Capture

La relazione parabolica, per un determinato nuclide, permette di prevedere con quali transizioni il nuclide si spostera’ lungo la parabola delle masse verso il punto di stabilita’. Ricordare che nel caso di A dispari si ha una sola parabola, mentre per A pari se ne hanno due. Eccetto che per due casi, A=113 e A =123, nel caso di A dispari c’e’ un solo isobaro stabile. Nei due casi citati la discrepanza deriva dalle piccole differenze di massa che fa si’ che in ciascun caso uno degli isobari abbia una vita media eccezionalmente lunga. Nel caso di A pari possono esserci piu’

isobari stabili pari-pari, il massimo numero trovato e’ 3, mentre per gli isobari dispari-dispari questi giacciono sulla parabola di massa superiore e ci si aspetterebbe che non ce ne siano di stabili, in realta’ ci sono diverse eccezioni, quali²H,⁶Li,¹⁰B e¹⁴N. La spiegazione e’ dovuta agli effetti di struttura nucleare che nei nuclei leggeri e’ molto forte e non sono tenuti in conto nella formula di massa. Per certi isobari dispari-dispari entrambi i decadimentiβ possono avvenire nello stesso nucleo.

Chapter 2 Il neutrone

. Massa:mn= 1.675 × 10⁻²⁷Kg . Carica = 0; Spin = 1/2

. Momento magnetico di dipolo:µn= 1.913µN

. Magnetone nucleare:µN = eh/4πmp = 5.051 × 10⁻²⁷JT⁻¹

. Energia cinetica =mnv²/2 = kBT = (~k)²/2mn;k = 2π/λ = mnv/(~)

Il neutrone non ha carica elettrica, esso puo’ facilmente penetrare la barrriera coulombiana ed attivare reazioni col nucleo. Il neutrone interagisce principalmente col nucleo di un atomo, eccetto nel caso di scattering magnetico, in cui l’interazione coinvolge lo spin del neutrone ed il momento magnetico dell’atomo.

Il neutrone come sonda per studiare la struttura atomica e nucleare della materia presenta diversi vantaggi:

- lunghezza d’onda confrontabile con le distanze interatomiche - Energia cinetica confrontabile con quelle degli atomi nei solidi - Sono penetranti

- Interagiscono poco con la materia non avendo carica elettrica e quindi lo scattering e’ pulito - La sensitivita’ isotopica permette di rilevare variazioni di contrasto

- Il momento magnetico accoppiato al campo magnetico permette di ”vedere” elettroni spaiati Gli svantaggi nell’impiego dei neutroni sono principalmente:

- Le sorgenti di neutroni sono deboli, quindi basso segnale.

- Alcuni elementi assorbono facilmente i neutroni, es. Cd,B,Gd.

- Limitazione nella cinematica, non puo’ assumere tutti i valori di energy e momentum transfer.

Le reazioni avvengono a qualsiasi energia, fino ad un massimo di qualche decina di MeV, e quindi e’ importante conoscere la sezione d’urto in funzione dell’energia. I neutroni in un reattore nucleare, ad esempio, hanno energia che varia da 10⁻³eV (1meV) a 10⁷ eV (10 MeV) che significa un range di 10 ordini di grandezza.

Si definiscono 5 (4) regioni di energia: cold, thermal, epithermal,( resonance o slow ) , fast; in queste regioni non tutte le reazioni sono egualmente importanti; quale reazione e’ importante dipende dal nucleo targhetta e dall’energia del neutrone. Le reazioni piu’ importanti sono:

. (n, n) - scattering elastico ( che puo’ essere scattering potenziale e scattering risonante ) . (n, γ) - cattura radiattiva

. (n, n^′) - scattering inelastico, la reazione produce eccitazione dei livelli nucleari . (n, p), (n, α) - emissione di particelle cariche

. (n, f ) - fissione

Se si e’ interessati ai reattori a fissione le reazioni in ordine di importanza sono fissione, cattura, scattering.

2.0.2 Sorgenti di neutroni

La vita media di un neutrone libero, essendo instabile via decadimentoβ, e’ di circa 10.6 min. I neutroni sono prodotti con reazioni nucleari e poiche’ non possono essere accelerati, essendo neutri, li si puo’ solo decelerare, partendo dall’ energia iniziale, fino a raggiungere l’energia stabilita per mezzo di collisioni con atomi di materiali. Questo processo di slowing down e’ detto moderazione dei neutroni, in questo modo si ottengono neutroni che hanno le energie volute, anche molto basse, che si classificano come:

- Cold E≤ 0.010 eV - Thermal E≤ 0.100 eV - Epithermal E≤ 1 eV

- Slow E≤ 1 KeV

- Fast E≤ 10 MeV

Attualmente si usano solo due tipi di reazione per produrre neutroni per la ricerca e le applicazioni su larga scala: fissione nucleare coi reattori di ricerca e nuclear

spallation,spallazione nucleare. Per i neutroni da fissione il punto centrale e’ che la loro produzione e’ sempre accompagnata da produzione di calore e la quantita’ di calore che puo’

essere rimossa in modo sicuro limita alla fine il flusso di neutroni disponibile. Questo e’ basso se riferito ad altre sorgenti di radiazione come ad esempio la radiazione gamma da sincrotrone o sorgenti di luce laser; un reattore ad alto flusso manda fuori, dopo il monocromatore, un flusso dell’ordine di10⁸cm⁻²s⁻¹ neutroni mentre un laboratorio a raggi X manda un flusso dell’ordine di10¹⁷cm⁻²s⁻¹. La Nuclear spallation produce meno calore della fissione e per questo e’ una tecnica in sviluppo, in piu’ si hanno brevi impulsi di neutroni.

Figure 2.1: Spettro energia dei N da sorgente Ra-Be

Figure 2.2: Energia dei N in reazione

3H(d,n)⁴He

Sorgenteα-Berillio Una sorgente di neutroni adatta ad essere usata in laboratorio si ottiene attraverso la stessa reazione che ha permesso di scoprire il neutrone. L’isotopo stabile del Berillio,

9Be, ha un neutrone poco legato ( energia di legame 1.7 MeV ), se una particellaα da un decadimento radiattivo, (5-6 MeV), scattera un nucleo di⁹Be, viene rilasciato un neutrone con formazione di¹²C

4He +⁹Be→¹²C + n

Il Q-value della reazione e’ 5.7 MeV. Se si mettono insieme un materiale emettente particelleα a vita media lunga, come il²²⁶Ra e il⁹Be, si ottiene una produzione di neutroni a rate costante.

Dalla catena di decadimento del²²⁶Ra e figli, come il²²²Rn, si hannoα emesse con un’energia di circa 5-8 MeV; in questo modo si hanno neutroni con uno spettro di energia fino a 13 MeV. I neutroni non sono monoenergetici per diversi motivi: (1) provengono da diversi processi di decadimentoα, (2) il rallentamento dovuto a collisioni con ogni materiale solido, (3) le varie direzioni di emissione che i neutroni possono assumere dato leα incidenti casualmente, e (4) la possibilita’ che il¹²C sia lasciato in uno stato eccitato. La energia piu’ probabile per il neutrone e’

∼ 5 MeV e la produzione di neutroni e’ di ∼ 10⁷ neutroni per secondo per ogni Curie, (Ci), di attivita’. Da ricordare che 1 Ci = 3.7×10¹⁰decays/s. Un tipico spettro di neutroni e’ mostrato in figura 2.1.

A causa della elevata emissione di raggiγ del²²⁶Ra e figli, si usa ultimamente come sorgente il

210Po(138 d),²³⁸Pu (86 y) e l’Americio²⁴¹Am (458 y). Queste sorgenti producono∼ 2-3 × 10⁶ neutroni per secondo per un’attivita’α di 1 Ci.

Sorgenti fotoneutroniche In un processo simile a quello delle sorgenti(α, n) discusse precedentemente, si puo’ usare la reazione(γ, n) per produrre neutroni. Il vantaggio della produzione fotoneutronica e’ che il neutrone e’ quasi monoenergetico, sopratutto se il fotone e’

quasi monoenergetico. Per esempio il sodio²⁴Na emette unγ di 2.76 MeV; l’assorbimento di tale energia da parte del⁹Be supera l’energia di legame dei neutroni per cui si puo’ avere:

γ+⁹Be→⁸Be + n

La resa o ”yield” e’ buona, (2×10⁶ neutroni/s per Ci di²⁴Na), ma la vita media e’ breve, (15 h).

L’energia del neutrone e’ di circa 0.8 MeV. Una sorgente diγ puo’ essere l’isotopo a vita media lunga¹²⁴Sb (60 d) che emette unγ energetico che supera proprio la energia di legame neutronica del⁹Be; i neutroni emessi hanno una energia molto minore, circa 24 KeV.

Fissione spontanea Una sorgente naturale di neutroni e’ il processo di fissione spontanea di isoptopi quale²⁵²Cf (2.65 y). I neutroni sono prodotti direttamente nella fissione ad una rate di circa 4 neutroni per fissione. La fissione avviene solo nel 3% dei decadimenti, ( il resto essendo decadimentoα ) e la rate di produzione e’ di circa 2.3× 10¹²neutroni/s per grammo di²⁵²Cf o equivalentemente 4.3× 10⁹n/s per Ci di²⁵²Cf. Le energie dei neutroni sono quelle caratteristiche della fissione, hanno una distribuzione continua con una energia media di 1-3 MeV.

Reazioni Nucleari Ci sono naturalmente molte reazioni nucleari che producono neutroni.

Queste richiedono un acceleratore per produrre un fascio di particelle per iniziare la reazione, per cui non sono molto convenienti come sorgenti di neutroni, come quelle precedenti. Tuttavia scegliendo accuratamente l’energia incidente e l’angolo a cui si osserva il neutrone emesso si puo’ ottenere un fascio ragionevolmente monenergetico di energia prefissata. Tra le reazioni che si possono usare sono:

3H + d→⁴He + n Q = +17.6 MeV

9Be +⁴He→¹²C + n Q = +5.7 MeV

7Li + p→⁷Be + n Q = -1.6 MeV

2H + d→³He + n Q = +3.3 MeV

La figura 2.2 mostra la dipendenza dell’energia del neutrone nella prima reazione in funzione dell’energia incidente e dell’angolo di emissione.

Sorgenti da reattore Il flusso neutronico vicino al nucleo centrale di un reattore a fissione nucleare e’ abbastanza alto, tipicamente 10¹⁴neutroni/cm²/s. Lo spettro energetico si estende fino a 5-7 MeV con un picco a 1-2 MeV. Questi neutroni sono generalmente rallentati ad energie termiche all’interno del reattore, ma ci sono anche neutroni veloci presenti nel core, (nocciolo), del reattore. Un piccolo oblo’ nella struttura di schermatura del contenitore del reattore permette di estrarre un fascio di neutroni per esperimenti di laboratorio. Gli alti flussi di neutroni da reattore sono utilizzati anche per la produzione di radioisotopi, attraverso cattura neutronica, come pure per l’attivazione neutronica o nucleosintesi.

Spallazione Una particolare reazione nucleare e’ quella indicata come ”spallation”, che si ha quando una particella molto energetica, come un protone di alta energia, ( 1 Gev), va a collidere con un nucleo atomico pesante. In questo caso nel nucleo si genera una violenta reazione e si ha l’emissione di varie specie e numero di particelle leggere e frammenti e si lascia indietro un prodotto della reazione che e’ generalmente radioattivo. alcuni neutroni sono ”spalled”, espulsi dal nucleo; in media per ogni protone sono espulsi circa 20-30 neutroni. I protoni, prima di essere sparati contro il nucleo sono accumulati a formare un bunch, pacchetto, in un anello di

accumulazione e quindi sparati in forma di bunch contro una targhetta di alto numero atomico, ad es. mercurio o tungsteno, generando in questo modo impulsi di neutroni. Questi impulsi di neutroni sono poi rallentati in un moderatore e guidati attraverso beam guides alle aree sperimentali, vedi FIG. 2.4. Il modello teorico per la reazione di spallazione assume che la reazione avvenga in due tempi: una collisione con i nucleoni con eccitazione del nucleo seguita da un processo di evaporazione in cui il nucleo eccitato intermedio si diseccita mediante

evaporazione, espulsione, di particelle come protoni, neutroni, deuteroni e particelle alfa e l’emissione di raggi gamma fino a che l’energia di eccitazione sia stata azzerata.

La reazione di spallazione si puo’ descrivere come

q +^AiZ_i =^Af Z_f + n_pp + n_nn + n_dd + n_αα + ... (2.1) in cui q e’ la particella scatterante sul nucleo^AiZie^AfZf il nucleo finale accompagnato da

protoni, neutroni e altre particelle.

Il vantaggio dei neutroni impulsati e’ che si ha una maggiore intensita’ di neutroni, 50-100 volte maggiore, rispetto ai neutroni da reattore. Altro vantaggio sta nel fatto che con neutroni impulsati si puo’ utilizzare il time-of-flight per l’analisi. I neutroni, in ciascun impulso, coprono un range di energia e un range di lunghezze d’onda, i neutroni ad energie piu’ alte avranno una lunghezza d’onda piu’ piccola. Poiche’ i neutroni termici si muovono abbastanza lentamente si possono fare misure accurate di tempo su distanze anche brevi. I neutroni di un bunch, avendo energie diverse, possono essere separati anche dopo un cammino di pochi metri. I neutroni veloci raggiungeranno il bersaglio per primi e man mano arriveranno i neutroni piu’ lenti, permettendo cosi’ di

distinguere i neutroni singolarmente, dal loro tempo di volo. Si ha cosi’ uno spettro di misure per ogni impulso per ogni bersaglio, Fig. 2.5.

Figure 2.3: Neutron Spallation process Figure 2.4: Neutron Spallation setup

2.0.3 Assorbimento e rallentamento dei neutroni

L’intensita’ di un fascio di neutroni, man mano che attraversa del materiale, diminuira’ per via delle reazioni nucleari innescate dai neutroni del fascio. Per i neutroni veloci, sono possibili molte reazioni quali (n,p), (n.α), o (n,2p) , mentre per quelli termici o lenti la causa primaria della loro diminuzione e’ la cattura, in forma di reazione (n,γ). Spesso le sezioni d’urto per queste reazioni di cattura sono dominate da una o piu’ risonanze, dove la sezione d’urto diventa molto grande. Al di fuori della risonanza la sezione d’urto decresce al crescere della velocita’ come 1/v; cosi’ man mano che i neutroni rallentano, ( slow down ), diventando moderati per processi di urti elastici e inelastici, la probabilita’ di assorbimento aumenta. I neutroni con energia iniziale di 1 MeV subiranno molti urti prima che le loro energie si riducano a circa 1 eV, e a questo punto con molta probabilita’ avverra’ un processo di assorbimento risonante o non risonante.

Seσte’ la sezione d’urto totale, la diminuzione di intensita’ di un fascio che impatti su un materiale di spessore dx e incontri n dx atomi per unita’ di area sara’ data dadI = −Iσ^tndx e l’intensita’ decresce come

I = I0e^−σtnx (2.2)

EssendoI0 l’intensita’ iniziale a x=0. Questa relazione naturalmente si adatta solo a neutroni monoenergetici e non tiene conto dei possibili incrementi dovuti alla creazione di neutroni di energia piu’ bassa che hanno sezioni d’urto diverse. Quindi la relazione non puo’ essere usata per calcolare la diminuzione del numero totale di neutroni, ma solo per calcolare la variazione di intensita’ di quelli con una data energia iniziale.

Si consideri un urto elastico tra un neutrone, (A=1), di energia inizialeE e velocita’ v con un atomo della targhetta di massa A inizialmente a riposo. Per la legge di conservazione di energia e

Figure 2.5: Energie neutroni da spallation

Figure 2.6: Spettro di neutroni monoenergetici dopo una e piu’ collisioni

momento si ricava facilmente la relazione tra l’energia dopo l’urtoE^′ e quella prima dell’urtoE E^′

E = A²+ 1 + 2Acosθ

(A + 1)² (2.3)

essendoθ l’angolo di scattering nel sistema del Centro di Massa, ma con E^′ eE misurate nel sistema del Laboratorio. Perθ = 0 non si ha scattering e quindi E^′ =E, come deve essere; la massima perdita di energia avviene per collisioni centrali, head on, (θ = 180^o) per cui

E^′(min)

E = (A − 1)²

(A + 1)² = α (2.4)

Nel caso che l’atomo sia idrogeno ,(A=1), il neutrone cede tutta la sua energia al protone scatterato.

Per neutroni con energia fino a 10 Mev , lo scattering e’ principalmente in ondas e quindi, nel sistema CM, isotropico per cui e’ indipendente daθ. Dalla equazione 2.3 si vede che c’e’ una relazione univoca tra E^′ e l’angoloθ del C.M. per cui

p(θ)dθ = 2πsinθdθ

4π = 1

2sinθdθ = −P (E^′)dE^′ (2.5)

il segno meno tiene conto che all’aumentare dell’angolo si ha una diminuzione dell’energia del neutrone scatterato. Derivando la eq. 2.3 si ottiene

dE^′

dθ = −2AE sin θ

(A + 1)² (2.6)

da cui si ricava l’espressione della distribuzione dell’energia dopo uno scattering elastico P (E^′)dE^′ = (A + 1)²

4AE dE^′ = dE^′

(1 − α)E (2.7)

I valori diE^′/E sono uniformemente distribuiti tra E^′(min) =αE ed E. La quantita’ (1-α)E e’ il range di tutte le energie dopo una collisione, il valor medio dell’energia dopo la collisione e’E^′ =

1

2 (1+α)E e il valor medio dell’energia persa dopo una collisione E^′ = 1/2 (1-α)E. E’ importante notare che la perdita media frazionaria per collisione e’ indipendente dall’energia, ad esempio dopo la seconda collisione il neutrone perde la stessa frazione di energia persa nella prima collisione e cosi’ via per le altre. I neutroni nello slowing down scattereranno frequentemente e quindi gia’ dopo il secondo urto il fascio non sara’ piu’ monocromatico, ma avra’ una

distribuzione allargata, Figura 2.6. Si puo’ approssimare questo effetto considerando ciascun intervallo di larghezza∆E essere una nuova generazione di neutroni approssimativamente monoenergetici, cosi’ per ogni generazione si puo’ calcolare la distribuzione aspettata in quella successiva, con l’ipotesi che dopo ogni urto ci sia una variazione−∆E di energia ad ogni generazione, ed ottenere la distribuzione della energia. Importante notare che la perdita frazionartia media di energia per collisione e’ indipendente dall’energia. Dopo n collisioni l’energia media diventa

En= E × (E^′

E)ⁿ (2.8)

Una quantita’ adatta a rappresentare la distribuzione dell’energia persa e’ il decremento logaritmico dell’energia,ξ, definito come il valor medio di log(E/E^′) dopo ogni singola collisione,

ξ =< log E

E^′ > (2.9)

= R log[_A²_+1+2Acosθ^(A+1)2 ]dΩ

R dΩ (2.10)

essendodΩ l’angolo solido di scattering.

Nucleo α ξ N. urti per termalizzare

1H 0 1.000 18

2H 0.111 0.725 25

4He 0.360 0.425 43

12C 0.716 0.158 115

238U 0.983 0.0084 2200

Si intende che l’urto e’ isotropico nel sistema CM. Integrando si ottiene:

ξ = 1 +(A − 1)²

2A lnA − 1

A + 1 = α

1 − αln α (2.11)

Dalla 2.11 si vede che il decremento logaritmico dell’energiaξ = ln E − ln E^′ e’ indipendente dall’energia iniziale E. Il valor medio diln E^′ decresce dopo ogni collisione di una quantita’ξ e dopon collisioni quindi sara’

lnE_n^′ = ln E − nξ (2.12)

In termini del numero di massa A laξ si scrive come ξ = 1 + (A − 1)²

2A ln(A − 1

A + 1) (2.13)

che espansa in potenze di 1/A diventa semplicemente ξ = 2

A − 4

3A² (2.14)

che e’ piu’ accurata dell’ 1% per A>6.

Dall’equazione 2.12 si puo’ ricavare il numeron di collisioni necessarie per rallentare i neutroni dalla loro energia inizialeE alla loro energia media E^′, infatti poiche’ln E_n^′ = ln Ensi ottiene

n = 1 ξ log E

E^′ (2.15)

La tabella mostra i valori diξ per alcuni moderatori; ad esempio se si vuole ridurrel’energia media di un neutrone emesso in un processo di fissione, (E ∼ 2 MeV), fino ad un valore tipico del moto termico, (E^′ ∼ 0.025 eV), usando⁴He sono necessarie 43 collisioni in media, mentre con l’²³⁸U sono necessarie 2200 collisioni perche’ξ e’ una piccola frazione.

Figure 2.7: Distribuzione dell’energia Maxwelliana

I valori medi calcolati precedentemente sono stati ricavati assumendo che l’atomo scatterato fosse a riposo; questa e’ una buona approssimazione per neutroni di qualche MeV, ma non lo e’ piu’

man mano che l’energia si avvicina a quella termica e questa diventa comparabile con il moto termico degli atomi del moderatore. A questo punto lo scattering e’ piu’ correttamente

analizzabile con la meccanica statistica e si puo’ semplicemente assumere che dopo un certo numero di urti i neutroni raggiungeranno l’equilibrio termico con il moderatore a temperatura T; i neutroni avranno quindi una distribuzione di velocita’ descritta dalla distribuzione di Maxwell

f (v)dv = 4πn( m

4πkT)^3/2v²e^−mv2/2kTdv (2.16) dovef (v)dv indica la frazione di neutroni con velocita’ tra v e v + dv; m e’ la massa del neutrone en e’ il numero di neutroni per unita’ di volume. In termini di energia l’equazione diventa:

f (E)dE = 2πn

(πkT )^3/2E^1/2e^−E/kTdE (2.17) che ha la forma come in Fig. 2.7 che e’ la forma cui tende la distribuzione della Fig. 2.6 che mostra come la termalizzazione si manifesti chiaramente gia’ dopo pochi urti.

2.0.4 Rivelatori per neutroni

I neutroni non producono ionizzazione diretta per cui la loro rivelazione e’ basata sui prodotti ionizzanti delle reazioni nucleari indotte,come (n,p),(n,α), (n,γ) o (n, fissione) oppure dallo scattering nucleare su particelle leggere che sono poi rivelate.

Per neutroni lenti o termici, si usano rivelatori basati sulle reazioni (n,p) o (n,α) che forniscono un mezzo diretto per osservare i neutroni dal segnale lasciato dal protone oα risultanti dalle

reazione. L’isotopo¹⁰B viene comunemente usato, o in una camera a ionizzazione riempita di gas BF₃o in un contatore proporzionale fatto di boro metallico o composto di boro. La reazione e’

10B + n→⁷Li^∗ +α + 2.8 MeV

Figure 2.8: Dipendnza da 1/v delle sezioni d’urto neutroniche

dove il⁷Li e’ generalmente lasciato in uno stato eccitato con energia di 0.48 MeV che decadeγ (Da ricordare che il boro nativo consiste di circa il 20% dell’isotopo¹⁰B, cosi in generale si preferisce arricchire il materiale in¹⁰B di modo da aumentare l’efficienza del rivelatore).

Altra reazione usata per la rivelazione dei neutroni e’ la

3He + n→³H + p + 0.76 MeV

La reazione

6Li + n→ (⁷Li)→³He +⁴He + 4.8 MeV

Questa reazione e’ l’unica reazione neutrone nucleo senza generazione di un fotoneγ e, poiche’

laα puo’ essere schermata piu’ facilmente che il γ questa reazione e’ usata per schermare dai neutroni quando non si puo’ utilizzare una piu’ massiccia schermatura dai gamma. La rivelazione dellaα e’ fatta con uno scintillatore nel quale la α produce un flash di luce rivelata da un PM.

Per i neutroni termici la sezione d’urto vale∼ 3840 b, molto grande, e segue la legge 1/v fino a circa 100KeV, cosi’ la dipendenza della sezione d’urto dalla energia incidente e’ regolare ( non ci sono risonanze) e predicibile con buona approssimazione.

C’e’ un altro vantaggio nella dipendenza 1/v della sezione d’urto; si supponga di osservare un fascio collimato o un flusso isotropico ( ad es. vicino al core di un reattore) che abbia una

distribuzione delle velocita’ di n(v) dv neutroni per unita’ di volume con velocita’ compresa tra v e v+dv. Il flusso che passa attraverso il rivelatore sara’ n(v) v dv e se il rivelatore contiene N

nuclei di boro, ciascuno con una sezione d’urtoσ, la probabilita’ per secondo di avere

un’interazione ( o la rate di conteggio se si e’ in grado di rivelare e contare ogni interazione ) e’

quindi

dR = Nσn(v)vdv (2.18)

per neutroni di velocita’ compresa tra v e v+dv. Per neutroni di tutte le velocita’, il counting rate totale sara’

R = Z

Nσn(v)vdv = NC Z

n(v)dv (2.19)

dove C indica la costante che tiene conto della dipendenza diσ ∝ 1/v, per cui C ∝ σv; l’integrale fornisce il numero totale n di neutroni per unita’ di volume, e la rate di conteggi sara’ quindi

R = NCn (2.20)

La semplice relazione mostra come R e’ direttamente proporzionale alla densita’ di neutroni per ogni distribuzione di velocita’, finche’ si puo’ trascurare il contributo al flusso di neutroni fuori dalla regione 1/v della sezione d’urto.

IlQ − value della reazione che porta allo stato eccitato del⁷Li vale 2.31 MeV; se il neutrone incidente ha un’energia cinetica piu’ piccola di quel valore, allora la conservazione del momento richiede che che ci sia una ripartizione di energia tra il⁷Li e la particellaα cosicche’ la energia cinetica dell’α sara’ di 1.47 MeV e praticamente questa e’ l’energia assunta dalla α per tutto il range di energie del neutrone tra eV - KeV. Il⁷Li, se contemporaneamente sara’ rivelato, lascera’

nel contatore la sua energia, T=0.84 MeV, per cui il neutrone lascera’ la sua segnatura come una energia totale misurata del contatore di 2.31 MeV. Va rilevato che i contatori proporzionali non sono adatti a misurare energie cosi’ basse con precisione di eV o KeV. Altri rivelatori similari usano⁶Li (n,α), con Q=4.70 MeV e σ = 940 b per neutroni termici, oppure³He (n,p) con Q=0.765 MeV eσ = 5330 b. Nella figura 2.8 e’ mostrato il confronto fra le sezioni d’urto dei neutroni per le citate reazioni.

Altro modo, per misurare l’intensita’ di un fascio di neutroni, e’ di esporlo ad un materiale che diventa radiattivo per cattura neutronica e di cui si conosce bene la szione d’urto per cattura di neutroni di una determinata energia. Se si toglie il materiale dal flusso neutronico e si misura la radioattivita del materiale, ad es. con un rivelatore diγ, si puo’ misurare il flusso incidente a cui e’ stato sottoposto il materiale.

Per misure la velocita’ dei neutroni ci sono diverse tecniche. Tra queste una tecnica, usata fin dall’inizio, fa uso di un dispositivo meccanico, un selettore di velocita’, realizzato con materiale che assorbe molto i neutroni termici. Regolando la velocita’ del selettore si riesce a determinare la velocita’ dei neutroni per quelli che emergono dal selettore, Figura 2.9.

Una tecnica molto usata e’ una tecnica che usa il tempo di volo, time-of-flight. Va ricordato che i neutroni termici hanno una velocita’ di v = 2200 m/s, cosi’ il tempo da misurare su alcuni metri e’

dell’ordine di 10⁻³ s facilmente misurabile. Per energie maggiori si fara’ ricorso a cammini di volo piu’ lunghi, anche di 100 m.

Misure di energia molto precise nella regione termica si ottengono utilizzando la diffrazione con cristalli. I neutroni termici hanno una lunghezza d’onda di de Broglie di circa 0.1 nm, circa la stessa della spaziatura tra gli atomi del lattice cristallino. Se un fascio di neutroni termici incide

Figure 2.9: Selettore di velocita’ di neutroni

su un cristallo, si produrranno dei massimi di interferenza che che capiteranno ad angoli determinati dalla legge di Bragg

nλ = 2dsinθ (2.21)

essendo d la spaziatura del lattice cristallino e n l’ordine dei massimi di interferenza eθ l’angolo di incidenza e riflessione che il fascio neutronico fa con la superfice del cristallo. Questa tecnica, che e’ usata estesamente per studiare le proprieta’ cristalline o le distanze interatomiche dei materiali, sara’ discussa estesamente in un prossimo capitolo.

Per misure di energia di neutroni veloci si usa solitamente il metodo del recoil che segue lo scattering elastico tra il neutrone ed una targhetta leggera (H,²H,³He,⁴He,· · ·). Discutendo il rallentamento dei neutroni si era visto che i neutroni scatterati avevano un range continuo di energia compreso tra E^′=E fino al valore minimo possible. Il nucleo colpito ha

corrispondentemente una energia di rinculo

ER= E − E^′ (2.22)

che varia da un minimo che e’ zero fino ad un massimo

(ER)max = E − (E^′)min = E 4A

(A + 1)² (2.23)

Per l’idrogeno, (E_R)_max = E, mentre per³He, (E_R)_max = 0.75E. La risposta di un rivelatore ideale del protone recoil, per un fascio di neutroni mononergetici, dovrebbe essere uno spettro uniforme lungo tutto il range, ma viene modificato nella parte bassa dalla non linearita’ dello scintillatore e nella parte alta dello spettro dalla risoluzione.

Figure 2.10: Spettro monoenergetico di neutroni da 14 MeV in scintillatore organico Il protone di rinculo e’ normalmente osservato con con materiale scintillante che e’ ricco di idrogeno, lo scintillatore puo’ essere plastico o liquido. Lo scintillatore serve sia come targhetta di protoni per i neutroni che come rivelatore del protone di rinculo. Tenendo conto della

risoluzione in energia dello scintillatore e l’accettanza geometrica, lo spettro di energia osservato per neutroni monoenergetici ha una distribuzione di tipo continua come quella della Figura 2.10.

Se invece ci sono diverse componenti di velocita’ la separazione degli spettri di rinculo diventa piuttosto difficile. Da ricordare che l’efficienza dei rivelatori a scintillazione per i protoni di rinculo per neutroni veloci, regione del MeV, e’ dell’ordine del 50 %.

2.0.5 Reazioni neutroniche e sezioni d’urto

Il formalismo per analizzare le reazioni nucleari e’ presentato in Appendice, qui sono dati alcuni esempi di applicazioni di reazioni indotte da neutroni e mostrare alcuni aspetti della struttura nucleare che possono essere testati con i neutroni. La dipendenza da1/v della sezione d’urto dei neutroni di bassa energia non puo’ essere ricavata direttamente dalla sezione d’urto di reazione, che ha formaσr = π(R + λ/2π)², essendoR la somma dei raggi del nucleo targhetta e quello incidente, basata su un modello di assorbimento totale. Un primo aggiustamento richiede di tener conto della riflessione della funzione d’onda del neutrone incidente alla superficie del nucleo , cioe’ bisogna tener conto della probabilita’ che esso possa penetrare la regione della barriera di potenziale nucleare e in che stato energetico sara’ assorbito. La probabilita’ di trasmissione per una barriera rettangolare vale T = _(k+K)^4kK2 da includere nella sezione d’urto

σ = π(R + λ/2π)² 4kK

(k + K)² (2.24)

Figure 2.11: Sezione d’urto totale per neutroni di 14 MeV

doveK =p2m(E + V0)/~²per una barriera profonda -V₀ek =p2mE/~². Per neutroni di bassa energia, E≪ V⁰ek ≪ K ed anche λ/2π = k⁻¹ ≫ R e quindi

σ = 4π

kK (2.25)

e poiche’k = p/~ = mv/~ si ha la dipendenza della sezione d’urto da 1/v, come si vede dalle sezioni d’urto plottate in Fig. 2.8: la legge1/v e’ seguita abbastanza bene per reazioni lontano dalla regione delle risonanze. In questa regione non c’e’ una teoria precisa per predire la

posizione delle risonanze, la struttura puo’ essere dominata da una singola isolata risonanza o da strutture complesse di piu’ risonanze. Salendo in energia incidente, le proprieta’ microscopiche diventano meno importanti poiche’ le strutture osservate rappresentano una media su parecchie risonanze che si sovrappongono. Una indicazione della applicabilita’ delle proprieta’ medie si puo’ ottenere dalla stima geometrica della sezione d’urto totale ,σ = π(R + λ/2π)². Nella Figura 2.11 e’ plottata la quantita’(σt/2π)^1/2verso(R + λ/2π) essendo R = R0A^1/3eR0 = 1.4 fm eλ/2π = 1.2 fm per neutroni da 14 MeV; il valore di R0e’ preso leggermente maggiore del valore standard per tener conto anche delle interazioni superficiali.

2.0.6 Cattura neutronica

La Figura 2.12 mostra alcuni dei processi che possono avvenire in seguito alla cattura neutronica.

E’ sempre possibile che il neutrone catturato sia riemesso dal nucleo, ma per i nuclei pesanti e neutroni di bassa energia questo modo di decadimento dello stato composto o risonante e’

Figure 2.12: Schema di cattura di neutrone di bassa energia

soppresso per cui il processo piu’ probabile e’ la emissione di un raggioγ. (L’emissione di particelle cariche e’ proibita dalla barriera Coulombiana ed e’ possibile che capiti solo in nuclei molto leggeri). L’energia di eccitazione E_xdi A^′, il nucleo catturante, e’ proprio la somma dell’energia di separazione e dell’energia del neutrone incidente,E_s+ E_n; per neutroni di bassa energia E_xe’ tipicamente dell’ordine di 5-10 MeV che corrisponde praticamente all’energia di separazione. Le reazioni di cattura neutronica possono essere usate per determinare l’energia e lo spin-parita’ degli stati del nucleo catturante. Lo spin dello stato del nucleo sara’I^′ = I + l + s, essendoI lo spin dello stato del nucleo prima della cattura, l il momento angolare del neutrone e s lo spin del neutrone e la parita’ del nucleo π^′ = π(−1)^l, conπ la parita’ dello stato ante cattura.

Per neutroni incidenti nel range di energie termiche e’ possibile solo cattura in ondas, per cui si puo’ avere soloI^′ = I ± 1/2, eccetto il caso I = 0 per cui I^′ = 1/2 solo, e π^′ = π.

Lo stato del nucleo, in conseguenza della cattura, puo’ essere pensato come uno stato nucleare composto con diversi livelli energetici non ben separati traI^′ = I + 1/2 e I^′ = I − 1/2.

Occasionalmente la cattura puo’ essere dominata da risonanze possibili solo con lo stato I^′ = I + 1/2 oppure I^′ = I − 1/2.

Nel decadimentoγ in seguito alla cattura neutronica, tutti gli stati eccitati di A^′ possono essere occupati, limitatamente alle regole di selezione per la radiazioneγ. Per la radiazione di dipolo la variazione massima nello spin e’ l’unita’, cosi’ la radiazione primaria avra’ stati di spin che variano traI^′ + 1 e I^′− 1, che nel nostro caso significa I − 3/2 e I + 3/2, di nuovo eccetto per I ≤ 1. Lo spettro dei γ mostra due componenti principali: la componente primaria, consistente di radiazione diretta di 5-10 MeV dallo stato di cattura ad uno stato eccitato piu’ basso,

generalmente sotto i 2 MeV, e la componente secondaria consistente di radiazioni di bassa energia tra i livelli di piu’ bassa energia. Da ricordare che la radiazione primaria di dipolo

elettrico ha una probabilita’ 100 volte maggiore di quella di dipolo magnetico ed e’ piu’ probabile che vada ad occupare gli stati energetici eccitati piu’ bassi di parita’ opposta a quella della cattura neutronica. Inoltre la radiazione di dipolo magnetico, se pur presente, e’ molto meno intensa che quella di dipolo elettrico.

Una caratteristica utile nello studio dei raggiγ della cattura neutronica e’ che non ci sono regole precise che proibisca alla radiazione primaria di popolare qualsiasi stato eccitato piu’ basso, tutti sono equalmente accessibili, diversamente dai decadimentiα o β. Cosi’ se lo stato di cattura ha I^′

= 4, ci si apetta che la radiazione di dipolo occupi direttamente tutti gli stati di spin 3,4 e 5.

Quindi la cattura neutronica puo’ servire come un mezzo per spettroscopia degli stati eccitati.

Un’altra importante applicazione della reazione di cattura (n,γ) si ha quando lo stato

fondamentale ,( o uno stato isomero a vita media lunga ), del nucleo dopo la cattura,A^′, e’ quello stesso del nucleo A radioattivo. In questo caso si aumenta l’attivita di A^′. L’espressione

dell’attivita’ diventa quindi:

A = 0.602m

Aσ φ

3.7 × 10¹⁰(1 − e^−λt) (2.26) doveA e’ l’attivita’ in Curies, m/A e’ il rapporto tra la massa della targhetta e la sua massa atomica,σ e’ la sezione d’urto di cattura, normalmente per neutroni termici, φ e’ il flusso di neutroni in neutroni/cm²/s e t e’ la durata del bombardamento neutronico.

Questa tecnica ha molte applicazioni: la piu’ comune e’ quella in cui conoscendoφ e σ si puo’

fare dell’analisi qualitativa e determinare m. Dopo aver esposto un campione ai neutroni, si possono osservare differenti radiazioni dai decadimenti radiattivi degli isotopi prodotti dalla cattura neutronica. Misure precise dello spettroγ permette di determinare quali isotopi sono presenti nel campione ed in quale quantita’ e cosi’ dedurre le quantita’ originarie presenti nel campione irradiato. Questa tecnica che va sotto il nome di analisi dell’attivazione neutronica sara’ spiegata in dettaglio in un prossimo capitolo.

2.0.7 Scattering del neutrone

Le proprieta’ ondulatorie del neutrone termico lo rendono, insieme ai raggi X, uno strumento fondamentale per studiare la struttura della materia, con differenze sostanziali. I raggi X sono scatterati dagli elettroni delle shell atomiche, questo significa che la probabilita’ di scattering e’

direttamente proporzionale al numero atomico Z, e quindi atomi con Z piccolo sono quasi

”invisibili”, ed inoltre a basso momento trasferito ci sono interazioni della radiazione con i momenti di dipolo che sono importanti. Al contrario i neutroni che interagiscono solo via

interazioni nucleari forti e con i momenti magnetici , la probabilita’ di scattering e’ una quantita’

caratteristica di ogni isotopo. Riguardo alle proprieta’ ondulatorie i neutroni ed i fotoni mostrano le stesse caratteristiche:

. Entrambi possono essere polarizzati, con possibile rotazione del piano di polarizazione . Entrambi esibiscono birifrangenza

. Per entrambi esiste un indice di rifrazione

Per la radiazione elettromangnetica l’indice di rifrazione relativo al vuoto e’ maggiore dell’unita’

e questo permette alla luce di avere rifrazione interna totale, i neutroni, invece, hanno indice di

rifrazione minore di uno e quindi non si ha rifrazione totale. L’indice di riflessione ha la seguente espressione ( Squires, 1978):

nN = 1 − 1

2πρλ²¯bcoh. (2.27)

doveρ e’ il numero di nuclei scatteranti per unita’ di volume, λ la lunghezza d’onda del neutrone incidente e ¯bcohe’ la lunghezza media di scattering coerente per il dato nucleo. L’indice di

rifrazione non dipende dalla struttura del cristallo, ne’ esso modifica la fase dell’onda incidente ( scattering coerente). Questo perche’ il concetto di indice di rifrazione riferisce a scattering in avanti a piccoli angoli, che significa piccolo momento trasferito. La proprieta’ dell’indice di rifrazione di essere negativo e’ sfruttata nella costruzione di guide di neutroni, come le guide d’onda, realizzabili per il fatto che i neutroni hanno rifrazione ”esterna” totale. Le guide sono tubi a vuoto con le pareti interne rivestite di un opportuno materiale ( usualmente nikel).

L’interazione neutrone-nucleo risulta principalmente in due tipi di eventi:

. cattura neutronica o . scattering neutronico

Il primo tipo e’ importante per costruire rivelatori di neutroni perche’ il nucleo composto ed eccitato risultante dalla cattura puo’ diseccitarsi attraverso l’emissione di una particella carica o di un raggioγ che sono facilmente rivelabili. Nel secondo tipo di eventi , lo scattering, il neutrone scambia sia energia che momento con il nucleo. Nello studio della materia condensata, si usano neutroni termici che hanno energie cinetiche dello stesso ordine delle energie del moto termico degli atomi.

In un tipico esperimento di scattering da neutroni si illumina il campione con un fascio di

neutroni e si misura la distribuzione spaziale delle particelle scatterate o la variazione di energia o la variazione di altre caratteristiche come ad es.l’orientamento dello spin.

Bisogna notare che ogni distribuzione spaziale dei neutroni scatterati dipende unicamente dalle proprieta’ della struttura atomica del campione e dal moto degli atomi nella struttura. Lo scattering dei neutroni termici, in onda s, e’ isotropico nello spazio. E’ stato Van Hove (1954) a ricavare una espressione generale per l’intensita’ I(Q,ǫ), ( essendo Q il momento trasferito e ǫ l’energia trasferita) dei neutroni scatterati da qualsiasi insieme di nuclei. Il suo risultato fa uso dell’osservazione di Fermi che l’interazione fra neutrone e nucleo puo’ essere sostituita da un potenziale effettivo molto piu’ debole. Questo pseudo-potenziale produce lo stesso scattering come quello che genera l’interazione attuale, ma e’ abbastanza debole da essere usato in un’espansione perturbativa alla Max Born. L’espansione di Born dice che la probabilita’ di un’onda piana incidente di vettore d’onda k, scatterata da un potenziale debole V(r), di diventare un’onda uscente piana con un vettore d’onda k^′ e’ proporzionale a

| Z

e^ik·rV (r)e^−ik′·rd³r|² = | Z

e^iQ·rV (r)d³r|² (2.28)

dove l’integrazione avviene su tutto il volume di scattering. Bisogna ricordare che se anche lo scattering sul singolo nucleo e’ sferico, la V(r) rappresenta il potenziale dovuto all’intero campione e il risultato del contributo di tutti gli atomi e’ un’onda piana.

Il potenziale da usare e’ lo pseudo-potenziale di Fermi che, per un singolo nucleo, e’ dato da bjδ(r − r^′), dove bj e’ la lunghezza di scattering del nucleoj posizionato al punto rj eδ e’ la delta di Dirac. Cosi’ per un insieme di nuclei, come un cristallo, il potenziale V(r) e’ la somma delle singole interazioni neutrone-nuclei:

V (r) = Σjbjδ(r − r^j), (2.29)

dove la somma e fatta su tutti i siti nucleari del lattice cristallino.

Usando le due equazioni, Van Hove ha mostrato che il numero di neutroni scatterati per neutrone incidente puo’ essere scritta come

I(Q, ǫ) = 1 h

k^′

kΣj,kbjbk

Z ^∞

−∞

< e^iQ·rk(0)e^iQ·rk(t) > e^−iǫtdt. (2.30) Notare che la somma e’ fatta su coppie di nuclei j e k e che il nucleo j e’ nella posizione r_j(t) al tempot, mentre il nucleo k e’ nella posizione rk(0) al tempo t = 0. La media e’ fatta su tutti i possibili tempi iniziali di osservazione del sistema, che e’ equivalente ad una media su tutti i possibili stati termodinamici del sistema scatterato.

I vettori di posizione r_j, in Eq. 2.30 sono operatori quanto-meccanici, ma si puo’ con buona approssimazione trattarli in modo classico perche’ cosi’ appare piu’ chiaro il significato fisico dell’equazione. La somma sopra i siti atomici nell’Eq. 2.30 puo’ allora essere riscritta come

Σj,kbjbk < e^{−iQ·[rk(0)−rj(t)]} >= Σj,kbjbk

Z

δ < (r − [r^k(0) − r^j(t)] > e^−iQ·rd³r, (2.31) dove compare di nuovo la delta di Dirac, ma stavolta in termini di r ed un vettore differenza tra le posizioni del nucleoj e quella del nucleo k al tempo t = 0.

Si supponga, per il momento, che le lunghezze di scattering di tutti gli atomi nel campione siano uguali, cioe’bj = bk = b. In questo caso le lunghezze di scattering nell’Eq. 2.31 possono essere rimosse dalla somma e quindi l’espressione alla destra diventa

Nb²

Z inf ty

∞

G(r, t)e^−iQ·rd³r (2.32)

dove

G(r, t) = 1

NΣ_j,kδ < (r − [rk(0) − rj(t)] > (2.33) dove N e’ il numero di atomi nel campione. La funzione delta inG(r, t) e’ zero eccetto quando la posizione dell’atomok al tempo zero e la posizione dell’atomo j al tempo t sono separate di un vettore r. Poiche’ le funzioni delta sono sommate su tutte le coppie di atomi per ottenereG(r, t), questa funzione e’ uguale alla probabilita’ di un atomo di essere all’origine di un sistema di coordinate al tempo zero ed un atomo di essere alla posizione r al tempot. Gr, t) e’ generalmente indicata come la funzione di correlazione di coppia dipendente dal tempo poiche’ descrive come la correlazione tra due particelle evolve col tempo.