Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare A.A. 2008/9

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2008/9

Il corso, inizialmente, riprende brevemente alcuni argomenti sviluppati nel corso di IFNS, che sono alla base delle molteplici applicazioni che hanno beneficiato delle ricerche della Fisica Nucleare.

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su:

I)Ripresa di elementi base di Fisica Nucleare sperimenale.

II) Neutroni vs raggi X

III) Radioattivita’ e radiazioni nucleari

IV) Energia col Nucleare (reattori a fissione e fusione) V) Applicazioni industriali di radioisotopi e radiazione VI) Tecnologie nucleari nell’industria e ricerca

Testi di riferimento:

- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley

- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley - Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP - Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis,CRC

Proprieta’ del nucleo, Tecniche nucleari, Acceleratori, Sensori

Parametri dei nuclei atomici

Parametri base:

numero atomico Z ( carica) numero di massa A

energia di legame Eb (MeV),

momento angolare intrinseco o spin (I)

raggio del nucleo R (fm) e non sfericita’ dR/R dipolo di momento magnetico µ (J/T-1)

quadrupolo di momento elettrico Q (Coulomb m2) dimensione nuclei ~10-12 cm, densita’ >1013 g/cm3 massa nucleoni ~ 10-24 g

Unita’ di massa atomica

^,

amu= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Mass defect , mass excess

€

ΔM = M

_{Z ,A}

1

2 M

_12C

− A

Misura la differenza di massa tra la massa del nucleo ed il suo numero di massa Indice di quanto e’ legato il nucleo.

€

P = ΔM / A

Il Packing fraction e’ indice di stabilita’

(amu)

P< 0 nuclidi stabili P> 0 nuclide instabile

Mass defect e Packing fraction sono legati all Binding Energy Binding Energy = lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoi componenti o energia rilasciata durante la formazione del nucleo

€

B

A = M_n − Z

A

(

M_n − M_H

)

^{− M}

A L’energia media per nucleone

€

= M

(

_n − 1

)

^{− Z}

A

(

M_n − M_H

)

^{− Δ}

dominante

Per 40Ca<A<120Sn, <Z/A> = 0.46 amu/nucleon

€

M(Z, A) = ZM

_H

+ (A − Z)M

_n

− BE (Z, A) / c

²

Energia di legame e reazioni nucleari

Nelle reazioni a due corpi

€

i + I = f + F + Q

il Q-value indica l’energia rilasciata o assorbita dalla reazione.

€

Q = [(M

_i

+ M

_I

) − (M

_f

+ M

_F

)]c

² Q>0 esotermica Q<0 endotermica in termini di energia cinetica ( conservazione energia totale)

€

T_i + M_ic² + T_I + M_Ic² → T_f + M_fc²+ T_F + M_Fc²

€

Q = T

_f

+ T

_F

− (T

_i

+ T

_I

)

Esprimendo le masse in termini di energia di legame si ottiene

€

Q = B( f ) + B(F ) − B(i) − B(I)

Energia di separazione

Misura il lavoro richiesto per separare un SOLO nucleone a dal nucleo

€

S_a = [M_a(A', Z') + M (A − A', Z − Z') − M (A,Z)]c²

misura anche l’energia rilasciata quando vi e’ cattura dal nucleo

€

S

_n

= [ M

_n

+ M (A −1,Z) − M(A,Z)]c

²

per un neutrone

si chiama anche last neutron binding energy

La Sa varia da nucleo a nucleo, nel range in cui B/A e quasi costante la Sn ~= Sp ~= 8 MeV, mentre per i nuclei piu’ pesanti Sn ~=5-6 MeV.

Questo ha rilevanza quando un neutrone e’ assorbito da un nucleo, perche’

c’e’ una differenza di ~=1 MeV fino a 4MeV se il neutrone e’ assorbito da un nucleo con un numero pari o dispari di neutroni.

€

S

_n

(Neven) > S

_n

(Nodd) a Z costante, S

_p

(Zeven ) > S

_p

(Zodd) a N costante

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.

Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

Sono due i tipi base di modello nucleare semplice:

1. Un sistema collettivo senza stati di particella individuale. Un esempio e’ il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula

semiempirica.

2.Un modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

Modello a goccia

^:

* per spiegare la stabilita’ della materia nucleare,

* perche’ i nuclei stabili hanno un certo numero di protoni e neutroni,

* per calcolare la energia di legame dei nuclei stabili ed instabili

Modello a shell

^:

* per tener conto della struttura dei livelli energetici,

* per permettere di calcolare la istemazione dei livelli e la loro densita’,

* per fornire una descizione dlle proprieta’ dinamiche del nucleo.

Modello a goccia

Sperimentalmente e non

Weizsaecker(1935), propose il modello di nucleo come una goccia di liquido carico incompressibile, la cui massa si calcola come

€

V ∝ A

€

V ∝ A

²

La formula e’ uno strumento indispensabile per studiare le proprieta’ di stabilita’ dei nuclidi artificiali sconosciuti e di ottenere chiare indicazioni dei processi di decadimento dei nuclei

€

m(_Z^AX) = Zm_p + (A − Z)m_n− 1

c²{a_vA − a_sA^{2/ 3}− a_c Z²

A^1/3 − a_a (A − 2Z)²

A − a_p A}

€

a_v = 15.835MeV, a_s =18.33MeV, a_c = 0.741MeV, a_a = 23.20MeV, e a_p = +11.2MeV,0,−11.2MeV

Parabola della massa

la massa di un nucleo M(A,Z) in termini di Z si scrive

€

M(A,Z)c²≅ A[M_nc²− a_a + a_s/ A^1/3] + xZ + yZ²−δ

essendo

€

x = −4a_a− (M_n − M_H)c² ≅ −4a_a e y = 4a_a

A + a_c A^{1/ 3}

per A costante, la M(A,Z) assume la forma di una parabola in Z il cui minimo si ha per un dato numero atomico Z.

Linea di stabilita’

Il modello a goccia non dice nulla sulla struttura del nucleo, utile per predire la variazione di massa nucleare al variare di A e Z.

Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’

quello con massa piu’ piccola

€

∂m(_Z^AX)

∂Z



  

 

A

= m_p− m_n + 1

c² 2a_c Z

A^1/2− 4a_a (A − 2Z ) A

 



 

 = 0

€

Z(A) = (A

2)1+ (m_n− m_p)c² / (4a_a) 1+ a_cA^2/3/ (4a_a)

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,

il resto nuclidi radioattivi Tutti gli atomi a Z>83

sono radioattivi

Nella FSE se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb, il punto di minimo si avrebbe per

€

Z( A) ≅ ( M_n − M_H)c²A^{1/ 3}

2a_c ≈ 0.9 A^{1/ 3}

che e’ molto impreciso nella determinazione del numero di massa.

Infatti il termine che pesa e’ il rapporto

€

a_c / 4a_a= 0.0078, che corrisponde a ~ 20-30 MeV.

Cio’ significa che la deviazione dalla linea di stabilita’ N=Z=A/2 e’

l’effetto coulombiano (favorisce ZA<A/2) che predomina sull’effetto simmetria (ZA=A/2).

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N Se Z o N sono in un numero pari a 8,20,28, 50, 82,126 ( num.magici) un nucleo e’ PIU’ stabile.

Modello a Shell

Basato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energetici associati con una shell sono tutti

occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-i gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono particolari

valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quanto

riguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziato

dall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.

Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

Si basa sull’approssimazione di singola particella

in cui l’effetto di tutti gli altri nucleoni e’ rappresentato da un potenziale.

€

V (r) = −V (0) /(1+ e

^{( r−b )/a}

)

con V(0)≈60 MeV,b≈1.25 A1/3fm, a≈0.65fm da exp. di scattering

€

Ψ(r) = R

_nl

(r)Υ

_lm

(θ,φ)

Le

€

Ψ_lmsono le stesse armoniche sferiche delle funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno mentre la funzione radiale

€

R_nl deve soddisfare all’equazione

Per un potenziale centrale le variabili si possono separare e la funzione d’onda prende forma

€

d

²

(rR

_nl

) / dr

²

+ 2m h

^-2

[E - V(r) - l(l - 1) h

²

(2mr

²

)

⁻¹

](rR

_nl

) = 0

Un modello dellla struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi

( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermi occupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa su:

Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo senza interagire con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

€

V(r) =V₀[1− (r / R)²] = −V₀ + 1

2 Mω²R²

Realisticamente si puo’ approssimare qualitativamente con un potenziale tipo oscillatore armonico

La soluzione numerica dell’eq. di Shroedinger , con un potenziale attrattivo con distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in certi livelli energetici.

Protoni e neutroni si distribuiscono su livelli energetici indipendenti, ed i livelli energetici piu’ alti hanno la stessa energia sia per i protoni che i neutroni.

La profondita’ della buca di potenziale per i protoni e’ minore di quella dei neutroni causa l’interazione coulombiana.

L’enrgia di un oscillatore armonico 3D vale

€

E_N = h

ω

(N + 3 / 2) − V₀ con N = n₁ + n₂ + n₃, n = int eri I livelli energetici, in un oscillatore 3D, che hanno la stessa N appartengono ad una stessa shell.

Nel caso del nucleo bisogna tener conto anche di un forte accoppiamento spin-orbita con un termine da aggiungere alla forma di potenziale 3D

€

V

_ls

= C

_ls

ls

Un nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati con momento angolare totale

€

j = l + s = l ± 1 / 2

La separazione in energia dei due stati

€

ΔE_ls e’ proporzionale a

€

(l + 1/ 2)

€

ΔE_ls = (l +1 / 2)h²C_ls

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta con l importante per i nuclei pesanti che possiedono grandi l.

Modello collettivo

o modello unificato, sviluppato da Bohr e Mottelson.

Ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e a shell.

Differisce dal modello a particelle indipendenti in quanto nel nucleo ci sono un cero numero di nucleoni “liberi” che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile, dovuto alle deformazioni del nucleo.

La deformazione del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

Lontano dai numeri magici si manifestano nel nucleo dei moti cooperativi dominanti tra nucleoni, con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo.

Esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto, che si sovrappongono ai livelli energetici nucleonici.

Stati nucleari eccitati

Come risultato di reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari un nucleo puo’ anche occupare stati di energia al di sopra dello stato fondamentale, tutti questi stati eccitati formano lo spettro di eccitazione del nucleo atomico.

Livelli eccitati

Singola particella

Moto collettivo rotazionale del nucleo

Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modell a shell di singola particella descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse, si hanno fenomeni di moto coordinato di nucleon-

many-particle motion.

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficie Nuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari

ottupolo l=3 quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω

_l

= (k + k

_C

) / µ

€

k = 1 2

4πα D² R²

Termine di superficie con α coefficiente di tensione superficiale

€

k_C = −3Z²e² / R³

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione da cui l’energia

vibrazionale di quadrupolo

€

hω

quad

≅ (2 − γ) / A MeV

€

µ ≅ 3D

R m massa in vibrazione del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori

misurati, es. per il Nickel da’ un valore del primo livello eccitato di circa 3.5MeV € γ = 0.047Z² / A

Ec/ Es nucleo sferico

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.

Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω₀ = k / m

con k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω

₀ = k / m ∝ R² / R³ ∝ R^−1/2 ∝ A^−1/6

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.

Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia:

modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’

dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce^{2 αE}

con a e C calcolate derivate da considerazioni statistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazione diventa

€

ρ( E) ∝ 1

T exp(E − E₀

T )

e

€

ΔE = 1 / ρ(E)

Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livelli di energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc²

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere computata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (M

_A

+ M

_B

) − (M

_C

+ M

_D

+ ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolare la energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in gioco sono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti

e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferiori raggiungibile dalla tecnologia corrente.

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X → Y

₁

+ Y

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X → Y + y

radioactive decay binary reaction

€

X(x, y)Y

scritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche

€

0

1

n+

₁₆³²

S→

₁₆³²

S+

₀¹

n

€

0

1

n+

₁₆³²

S →(

₁₆³²

S)

^*

+

₀¹

n

^'

€

(n, n)

€

(n,n' )

€

0

1

n+

₁₆³²

S→

₁₆³²

S + γ

€

0

1

n+

₁₆³²

S→

₁₆³²

S+

₁¹

H

€

(n, p)

€

(n, γ ⁾

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)

reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azoto dell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

2

4He+¹⁴₇N→¹⁷₈O+₁¹H o ¹⁴₇N(α, p)¹⁷₈O

€

(α, p)

€

( α ^,n)

Chadwick nel 1032 scopre il neutrone

€

2

4He+₄⁹Be→¹²₆C+₀¹n o ₄⁹Be(α, n)¹²₆C

€

( γ ,n)

€

γ+1

2H→₁¹H+₀¹n o ₁²(γ,n)₁¹H

€

(p, γ )

€

γ+ 8

17O→¹²₆C+₂⁴He+₀¹n o ¹⁷₈O(γ,nα)¹²₆C

€

1

1H+₃⁷Li→₄⁸Be +γ o ₃⁷LI( p,γ)₄⁸Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁷₈N+₁¹p o ¹⁶₈Li(n, p)¹⁶₈N

€

4

8Be→₂⁴He+⁴₂He

Q-value per una reazione Conservazione Energia

€

E_i+ m_ic²

[ ]

i

∑

⁼

[

^{E ′ i+ m ′ ic2}

]

i

∑

€

Q = KE_f − KE_i = m_ic² − m_fc²

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ M

[ (

_i + MI

)

^{− M}

(

^{f + MF}

) ]

^c2

Q = T_f + TF − T

(

i + TI

)

^{= B f}

( )

^{+ B F}

( )

^{− B i}

( )

^{− B I}

( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-value Q>0 reazione esotermica

Q<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E_y + E_Y) = m

[

_X − m

(

_y + m_Y

) ]

^{c2 > 0}

Conservazione di carica e calcolo di Q-value Le reazioni nucleari conservano la carica

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p

Nella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p+₋₁⁰e nel calcolo del Q-value

€

Q = {m_n+ M(¹⁶₈O) − M(¹⁶₇N) − M(₁¹H)}c²

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(

_Z^A

X

^*

) = M(

_Z^A

X) + E

^*

/ c

²

€

10B(n,

α

^)7Li*

€

Q = m

[

_n + M(¹⁰₅B) − M(₂⁴He) − M(₃⁷Li^*)

]

^c2

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(₃⁷Li^*) = M(₃⁷Li) + 0.48MeV / c²

Radioattivita’

Radioattivita’ indica il fenomeno per cui nuclei a seguito dell’instabilita’

nucleare emettono particelle.

€

alpha (α ) _Z^AP→_{Z −2}^{A −4}D + α

€

gamma (γ) _Z^AP^∗→_Z^AP + γ

€

beta meno (β⁻) _Z^AP→_{Z +1}^AD + β⁻+ν

€

beta piu' (β⁺) _Z^AP→_{Z −1}^AD + β⁺+ν

€

ElectronCapture (EC) _Z^AP + e⁻→_{Z −1}^AD^∗+ν

€

neutron (n) _Z^AP→^A−1_ZD + n

€

proton (p) _Z^AP→_{Z −1}^{A −1}D + p

€

InternalConversion (IC) _Z^AP^∗→[_Z^AD]⁺+ e⁻

In tutte le reazioni nucleari, compresi i decadimenti radioattivi, le quantita’ piu’ importanti conservate sono:

carica,numero di nucleoni, Etot,momento lineare, momento angolare

Nucleo eccitato decade al livello fondamentale

Elettrone orbitale assorbito dal nucleo,

converte protone nucleare in neutrone e neutrino, lascia nucleo eccitato

un protone nucleare e’ espulso dal nucleo un neutrone nucleare e’ espulso dal nucleo

Energia di eccitazione del nucleo e’ usata

per espellere elettrone orbitale ( tipico K-shell)

Diagramma decadimento radioattivo Quantificare il decadimento di un radionuclide significa:

- definire il tipo di decadimento

- la probabilita’ di ciascun possibile modo di decadimento - il tempo di dimezzamento del radionuclide

- l’eccitazione nucleare del nuclide figlio

- la vita media dei nuclidi figli con stati di eccitazione

- frequenza di emissione di radiazione secondaria quando i figli si portano a livelli energetici di minor eccitazione

- energia della radiazione secondaria emessa dai figli

Vari tipi di decadimenti

€

15 32

P

€

9 18

F

€

43 99m

Tc

€

13 28

Al

€

29 64

Cu

€

27 60

Co

non e’ indicato il beta decay in 99Ru44

Decadimento alpha

€

α decay: _Z^AP →

[ ]

^A-4_Z-2D ^{2-+24α→A-4Z-2D+24α}

nel nucleo i 4 nucleoni (2p+2n) sono indistinguibili, ma esiste una probabilita’ (~ 10-6) che i 4 nucleoni in un certo breve tempo si trovino in prossimita’ FORMARE un gruppo di 4 nucleoni.

La particella alpha pero’ e’ distinguibile solo separata dal nucleo ed a grande distanza ( su scala nucleare).

Energetica del decadimento

€

Q_α / c² = M(_Z^AP) − [M(

[

_{Z -2}^A-4D

]

^{2-) +m(24α)]}

≅ M(_Z^AP) −[M(

[

_{Z -2}^{A -4}D

]

^{2-) + 2me +m(24α)]}

≅ M(_Z^AP) − [M (

[

_{Z -2}^A-4D

]

^{) + +M(24He)]}

Energia Cinetica del decadimento

€

Q_α = E_D + E_α = 1

2M_Dv_D² + 1

2M_αv_α²

€

M_Dv_D = M_αv_α

€

Q_α == 1 2

M_α²

M_D v_α² + 1

2 M_αv_α² = 1

2 M_αv_α² M_α M_D +1



  

 

ma

€

E_α = Q_α M_D M_D+ M_α



 



  ≡ Qα

A_D A_D+ A_α



 



 

€

E_D = Q_α M_α M_D + M_α



 



  ≡ Qα

A_α A_D + A_α



 



  Da cui

€

Q = B

(

⁴He

)

+ B Z − 2, A − 4

( )

^{− B Z, A}

( )

≅ 28.3 − 4 a_v + 8 3

( )

^asA^{−1 3} + 4 a_cZA^{−1 3}

(

1 − Z 3A

)

^{− 4 a}a

(

1− 2Z A

)

^{2 + 3a}pA^{− 7 4} La dipendenza di Q da A ha un andamento sistematico

ben rappresentato dalle predizioni della formula semiempirica

La Formula semiempirica permette di calcolare con buona precisione la Q dei decadimenti e da’ un corretto Q>0 per nuclei pesanti e

predice

bene la decrescita di Q al crescere di A nella sequenza di isotopi di un nuclide.

Tempo di dimezzamento nuclide alpha attivo

Per nuclei alpha-attivi vale la relazione empirica , Geiger-Nuttal

€

lnT_1/2 = a + b / E

con T (sec), E energia della alpha emessa (MeV) Z n.Atomico nucleo figlio e a, b costanti

€

a ≈ −1.6Z^2/3 − 21.4, b ≈1.6Z

Eb di una particella α e’ ~ 28 MeV, ~ 7 MeV/nucleone,

il decadimento possibile solo per nuclei con energia di legame media inferiore a ~7 MeV/nucleone.

Nuclei pesanti, 82<Z<92 e quelli transuranici artificiali, Z>92, decadono per emissione α

Decadimento beta

I radionuclidi con Z<92

decadono principalmente via decadimento

€

β

⁺

^o β

^-

secondo se sono piu’ ricchi in protoni o neutroni.

Energetica decdimento

€

β^-

Energetica decdimento

€

β⁺

€

Q_β+ / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z +1}^AD]⁻) + m_β⁺ + m_ν] ≅ M(_Z^AP) − [{M([_{Z +1}^AD] ) + m_e} + m_β+ + m_ν] = M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD) − 2m_e

€

Q_β- / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z +1}^AD]⁺) + m_β⁻ + m_ν ]

≅ M(_Z^AP) − [{M([_{Z +1}^AD] ) − m_e} + m_β− + m_ν ] = M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD)

€

Q

_β+

/ c

²

= M(

_Z^A

P) − M(

_{Z −1}^A

D) − 2m

_e

− E

^∗

/c

²

€

Q

β⁻

/c

²

= M(

_Z^A

P)− M(

_Z+1^A

D) − E

^∗

/c

²

€

(E_β )_max ≅ Q_β

Se il nucleo e’ lasciato in uno stato eccitato E*

il Q-value diventa:

Electron Capture

€

p+₋₁⁰e → n + ν

Elettrone shell interna viene catturato nel nucleo da protone che si trasforma in neutrone

€

EC decay

^AA_Z

D→

_{Z −1}^A

D → +ν

Decay Energy

€

Q_EC /c² = M(_Z^AP) −[M(_{Z −1}^AD) + m_ν] ≅ M(_Z^AP) − M(_{Z −1}^AD)

€

Q

_EC

/c

²

= M(

_Z^A

P) − M(

_{Z −1}^A

D)− E

^*

/c

²

€

Q

_EC

/ c

²

= M(

_Z^A

P)− M(

_Z−1^A

D) − E

^*

/ c

²

La EC e’ in competizione Beta+, ma QBeta deve essere > 1022 KeV, mentre la EC puo’ avvenire per qualsiasi valore diQ-value >0.

Con nucleo non in ground state

Nella EC un elettrone della shell piu’ interna sparisce e viene occupato da elettrone di shell piu’ esterna con emissione di raggi X. Capita anche che l’energia della transizione venga trasferita ad un altro elettrone delle shell

piu’ esterne, che viene a sua volta emesso, Elettrone Auger. Questo fenomeno capita tutte le volte che si crea una vacanza nelle shell interne.

€

Electron Capture vs β ^decay

€

t_{1 2} = 2.602 y

€

90.4%

€

9.5%

€

0.06%

€

β⁺

La misura del γ permette di identificare l’isotopo radiattivo con precisione; questa tecnica e’ molto piu’ efficace che la misura del β nelle applicazioni di tracciamento,irraggiamento o imaging medicale.

Gamma decay

I nuclei in stato eccitato decadono rapidamente con tempi inferiori a 10-9 s allo stato fondamentale.

Alcuni nuclei rimangono in stato eccitato per tempi molto lunghi,

prima di decadere gamma, si chiamano nuclei metastabili o isomeri

€

γ decay

_Z^A

P

^*

→

_Z^A

P + γ

€

M( _Z^AP^*)c² ≡ M(_Z^AP)c² + E* = M(_Z^AP)c²− E_P − E_γ

Energia rinculo nucleo

€

Q

_γ

= E

_P

+ E

_γ

= E *

Conservazione del momento richiede, con nuclide parente a riposo

€

p_γ = E_γ / c = p_P = 2M_PE_P essendo M_P = M(_Z^AP)

da cui

€

E_γ = Q_γ 1 + Eγ 2 M_Pc²



 



 

−1

≅ Qγ = E^*

Neutron Decay

Nuclidi ricchi di neutroni, possono decadere emettendo un neutrone e dando luogo ad un diverso isotopo.

€

n decay

_Z^A

P→

^{A −1}_Z

P

^*

+

₀¹

n

€

54

138

Xe→

¹³⁷₅₄

Xe + n

€

Q_n / c² = M (_Z^AP) − M(

[

^A−1_ZP^*) + m_n

]

^{= M (ZAP) − M(A−1ZD) − Mn − E* / c2}

Proton decay

nelle reazioni di fissione, una piccola % di atomi radioattivi decdono per emissione di neutroni con tempi di minuti, permettendo cosi’ di controllare la reazione.

Nuclidi ricchi di protoni emettono protone, lasciando un atomo ionizzato con elettrone in piu’

che poi viene rilasciato.

€

p decay

_Z^A

P →[

_{Z −1}^{A −1}

D

^*

]

⁻

+

₁¹

p

€

Q_p / c² = M(_Z^AP) − [M([_{Z −1}^A−1D^*]⁻) + m_p] ≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D^*) + m_e} + m_p]

≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D) + E^*/ c²+ m_e} + m_p] ≅ M(_Z^AP) − [{M(_{Z −1}^A−1D) − M(₁¹H) − E^*/ c²

Internal Conversion

Il diseccitamento di un radionuclide, in seguito ad un decadimento del nucleo padre, avviene con emissione gamma, ma in certi casi l’energia di eccitazione viene trasferita ad un

elettrone della shell piu’ interna, i.e. K, con eiezione dell’elettrone lasciando il nucleo nello stato fondamentale, ma l’atomo ionizzato.

€

IC decay

_Z^A

P

^*

→[

_Z^A

P]

⁺

+

₋₁⁰

e

In atomi pesanti la BE degli elettroni nella shell K e’ grande

€

Q_IC / c² = M (_Z^AP^*) − [M ([_Z^AP]⁺) + m_e] ≅ {M(Z

AP) + E^* / c²} − [{M (Z

AP) − me + BEe

K / c²} + me] = [E^* - BE_e^K] / c²

L’energia di decadimento e’ suddivisa tra l’elettrone eiettato e lo ione in modo inverso alle masse

€

E_e = M(_Z^AP) M(_Z^AP) + me



  

  [E^* − BE_e^K] ≅ E^*− BE_e^K

€

E_P = m_e M(_Z^AP) + m_e



  

  [E^* − BE_e^K] ≅ 0

Assieme all’elettrone monoenergetico eiettato, vengono emessi raggi X e elettroni Auger nella fase di cascata di elettroni dalle shell esterne a quella interna rimasta incompleta.

Caratteristica del decadimento radioattivo

Il decadimento radioattivo e’ un processo casuale, con decay constant

€

λ = lim

Δt →0

(ΔN / N) Δt

costante piccola = tempo di decadimento lungo Per N>>0, N(t) e’ il valore medio al tempo t

€

−dN =λN(t)dt

La probabilita’ di un nuclide di decadere nel tempo dt e’

€

λdt e per N nuclidi quindi

€

N(t) = N₀e^−λt

La legge del decadimento radioattivo si applica a tutti i processi governati

da una legge di cambiamento costante, es crescita della popolazione umana.

€

N(T_1/2) ≡ N₀

2 = N₀e^−λT1/2

€

T_1/2 =ln2

λ ≅0.693 λ

€

N(nT_1/2) = 1 2ⁿ N₀

€

ε ≡N(nT_1/2) N₀ = 1

2ⁿ

€

n = −lnε

ln2 = −1.44 lnε Il n. di nuclidi si dimezza in un tempo

Dopo nT1/2

il n. di nuclidi sara’

il n. di T1/2 per

decadere ad una frazione del suo n. iniziale

€

p(t)dt = {prob. di non decadere in (0,t)}x{prob. dec.in successivo dt}

= {P (t)}{P(dt)} = {e^−λt}{λdt} = λe^-λtdt

La Prob. di NON decadere in un intervallo di tempo t

€

P (t) = N(t)

N₀ = e^−λt

€

P(t) = 1− e^−λt

€

t → Δt << 1

€

P(Δt) =1−e^−Δt =1−[1− Δt + 1

2!(λΔt)²−+L]≅ λΔt

€

T_av = tp(t)dt = tλe^−λt

0

∞

∫

^{dt = −te−λt ∞0}

0

∞

∫

^{+ e−λtdt = 1}_λ

0

∞

∫

€

A(t) ≡ − dN (t)

dt = λN(t ) = λN

₀

e

^−λt

= A

₀

e

^−λt

Nel SI l’Attivita’ si misura in becquerel (Bq) = un decadimento/sec., mentre la vecchia unita’

di Attivita’ e’ il curie (Ci)= 3.7 x1010 Bq.

Attivita’ specifica, per unita’ di massa

€

A (t) =) A(t)

m(t) = λN (t)

N(t)M / N_a = λNa

M = costante

€

m(t) = N(t) M / N_a

dove con M massa atomica g/mol

Misura del tempo di dimezzamento

Per determinare T1/2 o lambda e’ necessario costruire i grafici

E’ sufficiente un contatore, non necessario misurare l’attivita’, in quanto l’attivita’ e’ proporzionale al counting rate.

€

log A(t) = log A₀ −λt

€

A(t) = A₀e^−λt

Metodo non utilizzabile per radionuclidi con T1/2 molto lunghi, in tal caso si ricorre alla relazione

€

A₀ =

λ

N₀ ≅ costante

che richiede una determinazione PRECISA di N0

Decadimenti in competizione

€

₃₀⁶⁴Zn (β^- 39.0%)

29

64Cu ⁶⁴₂₈Ni (β⁺ 17.4%) ⁶⁴₂₈Ni (EC 43.6%)

€

dN(t)

dt = − λ

₁

N(t) − λ

₂

N(t) − L λ

_n

N(t) = − λ

_i

N(t) ≡ − λ ^N(t)

∑

i=1

€

λ = λ_i

i=1 n

∑

€

f

_i

= decay rate modo i - mo

decay rate in tutti i modi = λ

_i

λ

Dinamica del processo di decadimento

La dinamica del numero di atomi di un particolare radionuclide dipende dalla rate di produzione e di decadimento

€

dN(t)

dt = −rate di decadimento + rate di produzione

€

dN(t )

dt = −λN(t) +Q(t)

€

N(t) = N0e^−λt+ d ′ t Q( ′ t )e^{−(t− ′ t )}

0 t

∫

€

N(t) = N₀e^−λy + Q₀

λ ^{[1− e}

−λt]

e per PRODUZIONE costante

€

come t → ∞ all'equilibrio N(t) → Ne = Q₀ λ