Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare: Appunti

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare:

Appunti

Preparati da D.Gamba

November 12, 2009

Part I

Il Nucleo

Chapter 1

Struttura nucleare

1.1 Introduzione

Nel secolo che segui’ la scoperta del nucleo atomico da parte di Rutherford, le ricerche sulla fisica nucleare ha portato allo sviluppo di tecniche sofisticate alla base di una grande varieta’ di appli- cazioni. Queste applicazioni hanno beneficiato: 1) delle proprieta’ del nucleo, 2) delle tecniche di misure nucleari, 3) degli acceleratori di particelle, 4) dei sensori nucleari. Queste applicazioni trovano spazio nelle piu’ svariate discipline, come ad esempio la medicina, la biologia, l’arte, l’archeologia, l’energia, la scienza dei materiali, le scienze naturali,l’esplorazione spaziale, lo stu- dio dell’ambiente e non ultimo per importanza il settore bellico. C’e’ da rilevare che molte di queste applicazioni sono molto specifiche ed hanno un piccolo impatto sulla vita quotidiana, men- tre altre ne hanno un grande impatto.

Gli argomenti trattati nel Corso riguardano solo alcuni aspetti degli impieghi delle tecniche di fisica nucleare, in particolare nel campo dell’energia e dell’analisi strutturale.

L’approccio ai diversi argomenti e’ fatto principalmente dal punto di vista sperimentale, partendo dai principi fisici fondamentali, con esempi illustrativi.

1.2 Modelli del nucleo

I modelli del nucleo atomico sono molto piu’ rozzi se confrontati con i modelli dell’etomo. La ragione e’ duplice, primo che le forze nucleari sono molto complesse e secondo che anche con modelli di forze nucleari approssimate il calcolo delle interazioni tra nucleoni all’interno del nucleo non e’ semplice. Tuttavia si sono sviluppati alcuni semplici modelli che permettono la interpretazione e la previsione della maggior parte dei dati nucleari.

Per introdurre i modelli nucleari e’ necessario rivedere alcune proprieta’ fondamentali del nucleo, le sistematicita’ dei nuclidi e cosa ci dicono queste osservazioni sulla sistemazione dei protoni e neutroni nel nucleo. Sono poi discussi i modelli drop liquid, nuclear shell e il compound model.

1.2.1 Proprieta’ fondamentali del nucleo

Gia’ le prime ricerche sulla struttura dell’atomo rivelarono importanti proprieta’ del nucleo.

Esperimenti condotti da Thomso Aston ( 1919) mostrarono che le masse degli atomi

corrispondevano a numeri interi ( numeri di massa atomica) se si usava la scala di masse in cui l’atomo di ossigeno aveva numero 16. ( Trenta anni fa la scala ha fissato come riferimento il Carbonio 12 ,¹²₆ C₆).

Rutherford( 1911) aveva dimostrato che la carica positiva e la maggior parte della massa

dell’atomo era concentrata in un nucleo molto piu’ piccolo di dimensioni≃10⁻¹⁴m, di quelle di un atomo,10⁻⁸cm .

Misure successive con scattering di elettroni hanno mostrato che la densita’ dei protoni all’interno di un nucleo —em sferico e’ ben descritta dalla seguente formula di Fermi

ρp(r) = ρ^o_p

1 + exp[(r − R)/a], protoni/f m³ (1.1) dove r indica la distanza dal centro del nucleo, R e’ il ”raggio” del nucleo (intendendo la distanza a cui la densita’ di protoni diventa la meta’ del suo valore centrale) ed a lo spessore dello strato superficiale in cui la densita’ diventa trascurabile.

Laρp(r) si ottiene imponendo che il numero totale di protoni sia uguale a bf Z Z Z Z

ρp(r)dV = 4π Z ^∞

o

r²ρodr = Z (1.2)

Figure 1.1: Nuclear Radius

Il rapporto della densita’ di neutroni alla densita’ di protoni in tutto il nucleo puo’ essere assunto costante e pari a N/Z = (A-Z)/Z allora la densita’ nucleonica e’

ρ(r) = ρp + ρn = [1 +A − Z

Z ]ρp = (A/Z)ρp, nucleoni/f m³ (1.3) e la densita’ nucleonica all’interno del nucleo diviene

ρ(r) = ρo

1 + exp[(r − R)/a], nucleoni/f m³ (1.4) doveρo= (A/Z)ρ^o_p. I risultati sperimentali indicano che al centro del nucleo la densita’

Table 1.1: Parametri della densita’ nucleare per tre nuclei sferici Nuclide R(fm) a(fm) ρo(f m⁻³) A/A^1/3

16O 2.61 0.513 0.156 1.036

109Ag 5.33 0.523 0.157 1.116

208Pb 6.65 0.526 0.159 1.122

nucleonica risulta essere circa

ρo = 0.16 × 10⁴⁵, nucleoni/m⁻³ (1.5) ed il raggio R del nucleo risulta proporzionale aA^1/3,

R = 1.12A^1/3f m (1.6)

La dipendenza daA^1/3del raggio, Fig. 1.2.1 , significa che ogni nucleone nel nucleo occupa lo stesso volume perche’ il volume e’ proporzionale adA, il numero di nucleoni. Il nucleone ha una massa di circa1.67 × 10⁻²⁴g, la densita’ di massa nel nucleo sara’ circa (0.16 × 10³⁹

nucleoni/cm⁻³)(1.67 × 10⁻²⁴g/nucleone) =2.7 × 10¹⁴g/cm−3.

Ogni modello del nucleo e delle forze che lo tengono assieme debbono spiegare il piccolo volume e la corrispondente grande densita’, inotre spiegare quale combinazioni di protoni e neutroni rendono i nuclei stabili e quali invece instabili o radioattivi.

Figure 1.2: Potential Energies for proton (a) and neutron (b)

1.2.2 Modello protone-neutrone

Dopo la scoperta del neutrone ( Chadwick 1932) Heisenberg (1932( ipotizzo’ che il nucleo fosse composto solo di protoni e neutroni, in questo modello un nucleo di numero di massa A e’

formato da Z protoni e N =(A-Z) neutroni. Questo semplice modello spiega correttamente il momento angolare del nucleo, la radioattivita’ e altri fatti sperimentali. Questo modello prevede che i protoni e neutroni siano tenuti assieme da una grande forza a corto range, la forza nucleare che attrae i nucleoni l’un l’altro. Uno dei compiti della fisica nucleare teorica, ancora al giorno d’oggi, e’ di capire e quantificare la natura della forza nucleare.

In un nucleo con molti protoni, la forza nucleare deve essere abbastanza forte da contrastare la repulsione Coulombiana, cioe’ per un raggio minore o al massimo uguale al raggio del nucleo, per poi decrescere radialmente molto rapidamente al di fuori dove diventa predominante la forza repulsiva Coulombiana.

La Fig. 1.2(a) mostra l’energia potenziale di un protone come una funzione della distanza dal centro del nucleo. Si vede come l’energia potenziale sia zero a grande distanza, ma come il protone si avvicina al nucleo, la forza repulsiva Coulombiana aumenti l’energia potenziale del protone che si avvicina al nucleo. Quando il prtone raggiunge la superficie del nucleo, la forza nucleare lo attrae e lo lega al nucleo creando un’energia di potenziale negativa.

Se un neutrone. d’altro canto, si avvicina al nucleo, 1.2(b), non subisce nessun potenziale, finche’

non arriva alla superficie del nucleo dove e’ attratto dalla forza nucleare e viene legato con un’energia di potenziale negativo nel nucleo.

Stabilita’ del nucleo

La carta dei nuclidi Fig. 1.3 mostra i 3200 nuclidi conosciuti in termini di numero di protoni e neutroni. I 266 nuclidi stabili sono indicati come dot , mentre le crocette indicano i nuclidi radioattivi.

La carta mostra che solo i nuclidi leggeri hanno un ugual numero di neutroni e protoni, N=Z; man mano che aumenta la massa dei nuclidi si ha un numero di neutroni maggiore dei protoni. Man mano che aumenta Z , aumenta la forza repulsiva dei protoni, quindi e’ necessario un maggior numero di neutroni per bilanciare con la forza nucleare attrattiva la forza a lungo range

elettromagnetica repulsiva. Tuttavia poiche’ la forza nucleare e’ a corto range, ordine del fermi, quando il numero di protoni, Z, supera 83, Bismuto, anche un numero maggiore di neutroni non riesce piu’ a bilanciare la forza repulsiva, per cui per Z¿83 tutti i nuclidi sono solo nuclidi

radioattivi. Esaminando i plot dei nuclidi stabili si possono trarre importanti indicazioni su Z e N:

Dai plot si nota come ci siano molti piu’ nuclidi con N pari e/o Z pari di quelli con N dispari e/o Z dispari. In particolare si hanno 159 nuclidi con Z e N pari, 53 nuclidi con Z pari e N dispari, 50 con Z dispari e N pari e solo 4 con Z e N dispari. Questo indica che la stabilita’ e’ maggiore quando Z e N sono pari.

Si osserva inoltre come quando Z e/o N sono uguali a 8, 20, 58, 82 o 126 si abbia un piu’ grande numero di nuclidi stabili. Questi numeri sono chiamati numeri magici. I nuclidi con questi numeri magici di nucleoni sono molto abbondanti in natura. Altra importante osservazione e’ che i nuclei con un numero di neutroni che uguaglia un numero magico sono meno disponibili ad accettare un nuovo neutrone di quegli isotopi con un neutrone in meno o di piu’. Questo indica che i neutroni e protoni tendono a formare gruppi , o shell, analogamente agli elettroni atomici, che si chiudono quando Z e/o N diventano magici.

Inoltre i nuclidi radioattivi decadono principalmente beta, solo raramente decadono via protone o neutrone per raggiungere il punto di stabilita’; i nuclidi con Z>83 decadono emettendo particelle alpha e i nuclidi leggeri composti da substrutture di nuclei alpha , come il⁸Be,¹²C,¹⁶O ,²⁰Ne, sono estremamente stabili come dimostra la grande energia necesaria per disgregarli.

1.2.3 Modello a goccia di liquido

La densita’ all’interno del nucleo, come si e’ visto, e’ praticamente costante ed il volume e’

proporzionale al numero di nucleoni A, questo significa che le forze che tengono insieme i

nucleoni sono saturate, cioe’ che ogni nucleone interagisce solo con i suoi primi vicini. Questo e’

quanto capita in una goccia di liquido in cui le molecole interagisono solo con le molecole piu’

vicine, inoltre anche la densita’ quasi costante e’ simile alla incompressibilita’ della goccia. In prima approssimazione, in questo modello, la massa del nucleo sara’ uguale alla somma delle masse dei nucleoni:

m(^A_ZX) = Zmp + (A − Z)mⁿ (1.7)

Figure 1.3: Tabella dei nuclidi conosciuti. I nuclidi stabili sono indicati come quadratini neri e quelli radioattivi come crocette

Figure 1.4: Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o Z

Figure 1.5: Numero isotopi stabili per numero di neutroni o N

dovemp emnsono rispettivamente le masse dei protoni e neutroni.

Ma la massa del nucleo e’ minore della somma delle masse dei nucleoni, perche’ nel formare il nucleo i protoni e neutroni liberano energia, una parte delle loro masse viene trasformata in energia, e’ la binding enegy del nucleo, BE. Cosi’ la formula precedente deve essere riscritta come

m(^A_ZX) = Zmp+ (A − Z)mⁿ− BE/c² (1.8) Quindi la BE , o energia di legame, e’ una correzione alla formula della massa. Ma come si esprime? Non essendoci modelli teorici, ci si basa su osservazioni. Partendo dalla similitudine con la goccia di liquido, i fenomeni da tener conto nel formulare le correzioni sono: 1) l’energia di legame deve essere proporzionale al volume e quindi al numero di nucleoni, BE_v

2) i nucleoni vicino alla superficie del nucleo saranno meno legati di quelli interni al nucleo, BE_s 3) i protoni all’interno del nucleo saranno sorgente di forza repulsiva,BE_c

4) nuclidi leggeri stabili hanno un numero di protoni e neutroni uguale, quindi piu’ ci si allontana da questa simmetria meno il nucleo sara’ legato,BE_a

5) si e’ visto che i nuclidi stabili con un numero di protoni e neutroni pari sono i piu’ numerosi, questo e’ indice di un legame piu’ forte all’interno del nucleo, tutte le altre combinazioni:

pari-dispari, dispari-pari, dispari-dispari sono indice di nucleo meno legato,BE_p La somma di tutte questi termini porta alla definizione dell’energia di legame come

BE = BEv + BEs+ BEc+ BEa+ BEp (1.9) La formula della massa diventa quindi

m(^A_ZX) = Zmp+ (A − Z)mⁿ− 1

c²{a^vA − a^sA^2/3− a^cZ(Z − 1)

A^1/3 − a^a(N − Z)² A − ap

√A} (1.10) I valori delle costanti sono ricavati dal fit alla distribuzione della BE vs A. I valori piu’ recenti ( WAPSTRA 1958) sono i seguenti av = 15.835 MeV,as= 18.330 MeV,ac = 0.714 MeV,aa= 23.200 MeV, e

conap= +11.2 MeV per O-O , 0 per E-O,O-E e -11.2 MeV per E-E.

Come esempio di calcolo di massa nucleare vedere la nota a pie’ di pagina.¹

1Esempio: Calcolare la massa di un atomo di⁷⁰Ga31usando il modello a goccia di liquido.

Se si trascura la BE_edegli elettroni al nucleo la massa atomica si calcola come:

M (⁷⁰Ga³¹) ≃ m(⁷⁰Ga³¹) + 31me= [31mp+ (70 − 31)mn− BE(⁷⁰Ga³¹)/c²] + 31me (1.11) dove l’energia di legame e’

BE(⁷⁰Ga³¹)/c²=



av70 − a^s70^2/3− a^c 31²

70^1/3 − a^a(71 − 62)²

A − a^p

√70

 1

931.5M eV /u = 0.65280u (1.12) Sviluppando il calcolo per la massa atomica si trova che

M (⁷⁰Ga31) = 69.9277u (1.13)

da confrontarsi con il valore standardM (⁷⁰Ga31) = 69.9260u

Linea di stabilita’

Il modello a goccia non dice niente circa la struttura interna del nucleo, ma e’ molto utile per predire la variazione di massa del nucleo al variare di A e Z. Infatti il modello a goccia permette di predire i nuclei pesanti soggetti a fissione, i modi di decadimento radioattivo, l’energetica dei nuclei instabili ed inoltre le masse di isotopi non ancora scoperti. Il modello a goccia si puo’ usare per predire quale combinazione di Z e N dara’ luogo al nuclide piu’ stabile. Dalla carta dei

nuclidi, Fig. 1.3

si nota che, a parte i nuclidi piu’ leggeri, il numero di neutroni deve eccedere quello dei protoni e questa asimmetria aumenta al crescere di A.

Per un dato numero di massa A , il nuclide piu’ stabile e’ l’isobaro con massa minore. Per trovare il numero Z di protoni che produce massa minore bisogna differenziare la equazione rispetto a Z ed uguagliarla a zero.

(∂m(^A_ZX)

∂Z )_A = m_p− mn+ 1 c²{2ac

Z

A¹/3− 4aa(A − 2Z)

A } = 0 (1.14)

risolvendo per Z, per A costante

Z(A) = (2

3)1 + (mn− m^p)c²/(4aa)

1 + a_cA²/3/(4a_a) (1.15)

si ottiene la curva di Z vs N=A-Z, che sovrapposta al grafico indica la posizione degi nuclidi piu’

stabili.

Massa Atomica

La massa atomica di un nucleo^A_ZX si ottiene aggiungendo alla formula di massa nucleare la massa di Z elettroni. Si trascura cosi’ l’energia di legame degli elettroni al nucleo, ma questa e’ un fattore10⁶inferiore alla BE del nucleo e quindi si puo’ trascurare. La massa di un atomo^A_ZA si puo’ scrivere quindi come

M(^A_ZX) = ZM(¹₁H) + (A − Z)mn− 1

c²{avA − asA^2/3− acZ(Z − 1)

A^1/3 − aa(N − Z)²

A − ap

√A} (1.16)

1.2.4 Modello nucleare a shell

Il modello a goccia di liquido si e’ dimostrato valido per il calcolo delle masse dei nuclidi, ma non spiega come i nucleoni sono organizzati all’interno del nucleo. D’altra parte ci sono evidenze

Figure 1.6: Potenziale realistico che riproduce la densita’ nucleonica

sperimentali che i nuclei che hanno un numero di 8, 20, 28, 50, 82 protoni o 2, 20, 28, 50, 82, 126 neutroni ( detti numeri magici), sono sistemi molto stabili. Si osserva inoltre che le particelleα e β dei decadimenti radioattivi di nuclei con un numero magico di neutroni hanno energie o molto grandi o molto piccole

Su questo fatto si basa l’ipotesi che i protoni e i neutroni siano organizzati in shell indipendenti nel nucleo in analogia alle shell elettroniche dei sistemi atomici. Tuttavia il modello delle shell elettroniche non si puo’ adottare pari pari perche’ mentre l’interazione elettrone nucleo e’

dominante, quella inter-elettroni e’ trascurabile e si manifesta solo come una schermatura della carica nucleare; l’ interazione tra nucleoni, essendo piuttosto forte, con l’assenza di un corpo centrale e’ un’interazione a multi-corpi ed e’ di diffilcile soluzione.

Un nucleo e’ un sistema quanto-meccanico ed una conseguenza di cio’ e’ che il numero di possibili collisioni nucleone-nucleone e’ limitato dal principio di esclusione. I nucleoni di un nucleo non eccitato si possono paragonare ad un gas degenere di Fermi, con tutti gli stati che hanno energie minore del livello di Fermi occupati e quelli con energia maggiore liberi. Il modello assume:

1. Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo, senza interagire con gli altri nucleoni

2. Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi dove cresce rapidamente di decine di MeV, vedi Fig. 1.2.

Un potenziale realistico per il modello a shell puo’ essere approssimato qualitativamente da un potenziale tipo oscillatore armonico della forma

V (r) = −V⁰[1 − (r/R)²] = −V⁰+1

2Mω²R² (1.17)

Figure 1.7: Livelli energetici dei nucleoni nel nucleo

La soluzione numerica dell’equazione d’onda di Shr¨odinger, usando un potenziale attrattivo con una distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in un certo numero di livelli energetici. Protoni e neutroni hanno livelli energetici indipendenti e i livelli energetici piu’ alti dei protoni e neutroni si situano alla stessa energia altrimenti il nucleo decadrebbe via decadimentoβ per portarsi allo stato energetico piu’ basso. La profondita’ della buca di potenziale dei protoni e’

un po’ meno di quella dei neutroni, causa l’interazione Coulombiana tra protoni.

L’energia di un oscillatore armonico 3D e’:

E_N = ~ω(N + 3/2) − V0, N = n₁+ n₂+ n₃, n = interi (1.18) I livelli energetici piu’ vicini sono considerati appartenere ad una shell. Nel caso di un oscillatore 3D, gruppi di livelli con differenti N sono considerati come differenti shell. Dall’analisi degli spettri appare che il potenziale del modello a shell deve essere corretto per tener conto delle forti interazione spin-orbita nei nuclei con un termine della forma

V_ls = C_lsls (1.19)

Un nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati con momento angolare totale j=l + s = l±1/2 La separazione in energia tra i due stati △Else’ proporzionale a(l + 1/2):

△E^ls= (l + 1/2)~2Cls (1.20)

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta conl e quindi e’ particolarmente importante per i nuclei pesanti che possiedono grandil, vedi Fig. 1.7

1.2.5 Modello collettivo

Oltre ai modelli a goccia di liquido e a shell che sono quelli piu’ generali, esistono altri modelli, tra questi il modello collettivo o modello unificato sviluppato da Bohr e Mottelson. Il modello

ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e del modello a shell. La principale assunzione, che differisce dal modello a particelle indipendenti, e’ che nel modello unificato ci sono un certo numero di nucleoni quasi liberi che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile dovuto a deformazioni del nucleo; la deformazione nella forma del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

L’effetto di pairing nel modello a shell e’ importante praticamente solo in condizione di shell chiuse; lontano dai numeri magici si manifestano effetti cooperativi dominanti tra nucleoni con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo. Questo significa che esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto unico. I nuclei con shell chiuse si puo’ pensare che abbiano simmetria sferica e indeformata, i moti collettivi di tali nuclei sono semplicemente vibrazioni superficiali, analoghi alle onde superficiali di una goccia di liquido. Nel caso di nuclei con simmetria non sferica si possono attivare delle rotazioni come un tutto e questo modo di eccitazione porta alla formazione di bande energetiche rotazionali che si sovrappongono ai livelli energetici statici.

Come risultato della deformazione si ha l’apparizione di un momento di quadrupolo elettrico statico.

L’espressione per il calcolo dell’energia per vibrazioni di quadrupolo (l = 2) assume una forma particolarmente semplice , se si considerano solo le vibrazioni superficiali di una goccia nucleare:

~ωquad=≃ 26p(2 − γ)/AMeV (1.21)

essendoγ il rapporto dell’energia di Coulomb di una sfera (3/5Z²e²/R) alla energia di superficie Esdel nucleo indeformato che e’ uguale

γ = 0.047Z²/A (1.22)

Una stima approssimata degli stati vibrazionali piu’ bassi, con la relazione precedente, corrisponde ad energie dell’ordine del MeV, ad es. 1 MeV per l’Uranio, che e’ leggermente superiore a quella misurata, ma tuttavia accettabile in prima approssimazione.

Un nucleo possiede uno o piu’ gradi di liberta’ propri di moti collettivi, tra questi le vibrazioni dell’intera massa dei neutroni rispetto a tutti i protoni, chiamate vibrazioni di dipolo nucleare.

Queste vibrazioni portano ad una vera e propria separazione dei neutroni relativamente ai protoni.

Il fenomeno appare ad energie piu’ alte di quelle delle vibrazioni superficiali, tipicamente con valori attorno a 15-20 MeV. Una stima della frequenza di risonanza si calcola facilmente

ricordando che per ogni oscillatore la frequenza di risonanzaω0e’ determinata dalla rigidita’ k e dalla massa oscillante m(ω0 =pk/m).

Nel caso delle vibrazioni di dipolo al posto della forza elastica si ha la interazione tra i nucleoni shiftati all’interno del nucleo. Il numero di tali nucleoni e’ proporzionale alla superficie nucleare e quindi aR², mentre la massa dei nucleoni vibranti sara’ proprzionale aR³ e quindi la relazione per la frequenza e di conseguenza l’energia per la risonanza gigante sara’:

ω0 =pk/m ∝ pR²/R³ ∝ R^−1/2 ∝ A^−1/6 (1.23) che si accorda bene con i dati sperimentali.

Ad energie di eccitazione di∼5-6 MeV il numero di livelli nucleari e’ molto grande ( in particolare per nuclei medi e pesanti ) e quindi la separazione e’ molto piccola, per cui diventa utile introdurre il concetto di densita’ dei livelli con caratteistiche quantistiche cioe’ numero di

livelli per unita’ di intervalli di energia. La densita’ dei livelli dipende dall’energia di eccitazione ed e’ descritta abbastanza bene per mezzo di un modello statistico del nucleo che considera l’eccitazione come un riscaldamento del gas di Fermi e cosi’ l’energia di eccitazione e’ connessa con la temperatura del nucleo.

L’energia media e’ definita come:

E =XP giEie^−Ei/kT

P gie^−Ei/kT (1.24)

dove la somma e’ fatta su tutti i livelli ,k e’ la costante di Boltzman, T la temperatura nucleare e gi e’ il peso statistico del livelloi-esimo.

Sperimentalmente si trova che nella regione di energie di eccitazione attorno a 3-5 MeV i dati concordano bene con un modello a temperatura costante descritto dalla relazione

ρ(E) ∝ 1

T exp(E − E⁰

T ) (1.25)

Ad energie di eccitazione maggiori, data la dipendenza esponenziale dall’energia della densita’

dei livelli, la distanza tra i livelli nucleari△E = 1/ρ(E) diventa confrontabile con la larghezza del livello e quindi si ha la regione del continuo,D ≃ Γ. Cosi’ a temperatura ZERO , cioe’

nucleo non eccitato, la distanza tra i livelli e’ di circa 100 KeV, nel nucleo eccitato i livelli energetici si ritucono di un fattore di circa10⁸, cioe’ di circa 1 meV.

Ogni stato eccitato ha una vita mediaτ finita per cui il nucleo ritorna allo stato fondamentale con emissione di particelle. Dal principio di incertezza si ha che la larghezza del livello di energia e’

legato alla vita mediaΓτ ≃ ~ per cui a grandi energie di eccitazione corrispondono vite medie brevi.

1.3 Energetica nucleare

In ogni reazione (nucleare, atomica, meccanica) in cui una quantita’ e’ cambiata in un’altra quantita’ viene emessa dell’enrgia ( reazione it esotermica) o assorbita energia ( reazione endotermica). Questa energia deriva dalla variazione di massa∆M

∆E = ∆Mc² = (Miniziale− M^{f inale})c² (1.26)

1.3.1 Binding Energy

Nella sua accezzione piu’ generale la Binding Energy (BE), o energia di legame, e’ l’energia richiesta per disassemblare un tutto nelle sue parti distinte. Una tipica reazione vede una o piu’

entita’ ,A, B, .. entrare in contatto e formare una entita’ sola C

A + B + · · · → C (1.27)

Un sistema legatoC ha una energia potenziale minore delle parti costituenti, questo e’ il motivo per cui si formaC; per convenzione si definisce positiva questa energia di legame, denotando una reazione esotermica. L’energia di legame quindi deriva dalla variazione della massa nella reazione Il mass defect∆M e’ definito come la differenza tra la somma delle masse iniziali e la somma delle masse finali

∆M = [massA + massB + · · ·] − massC (1.28) da cui si ricava cheBE = ∆Mc²

Quindi in una reazione nucleare la Energia disponibile o Q-value risulta

∆E = BE(prodottif inali) − BE(elementiiniziali)

Bining Energy del nucleo

La formazione del nucleo partendo dai suoi costituenti e’ descritta dalla reazione

Zprotoni + (A − Z)neutroni → nucleo(^AZX) + BE (1.29) LaBE e’ detrminata dalla variazione di massa tra la condizione iniziale e lo stato finale

MassDef ect = BE/c² = Zmp+ (A − Z)mⁿ− m(^AZX) (1.30) L’ultimo termine e’ la massa nucleare, che pero’ non e’ misurata, mentre sono misurate con grande accuratezza le masse atomiche; quindi in termini di massa atomica si ha

BE

c² = Z[M(¹₁H) − m^e+ BE1e

c2 ] + (A − Z)mⁿ− [M(^AZX) − m^e−BEZe

c² ] (1.31)

Tenendo conto che, pur se in generale non conosciute, le due BE degli elettroni tendono ad annullarsi e che in sostanza sono molto piccole², milioni di volte inferiori a quelle nucleari la Binding Energy del nucleo si puo’ scrivere come

BE

c² = ZM(¹₁H) + (A − Z)mⁿ− M(^AZX) (1.33)

L’energia di legame nucleare cresce col numero atomico A e quindi per comodita’ si parla di energia di legame per nucleone B/A, il cui andamento in funzione di A e’ mostrato in Fig. 1.9₂

Per ionizzare un atomo di H sono necessari 16.6 eV. La energia di legame dell’elettrone rappresenta una variazione di massa di

BEZe/c²= 13.6(eV )/(9.315 × 10⁸(eV /u) = 1.4 × 10⁻⁸u (1.32) Trascurabile perfino rispetto alla massa dell’elettrone.

Figure 1.8: Scala atomica

Figure 1.9: Binding energy per nucleone

1.3.2 Energia di separazione del nucleone

Legato al concetto di energia di legame e l’energia richiesta per separare un singolo nucleone da un nucleo. Si consideri l’energia rilasciata nell’aggiungere un singolo neutrone per formare un nucleo

A−1

Z X +¹₀n → ^AZX (1.34)

L’energia rilasciata in questa reazione ,Sn(^A_ZX), e’ l’energia richieta per RIMUOVERE un singolo neutrone dal nucleo^A_ZX; chiaramente questa energia e’ analoga all’energia

dinionizzazione richiesta per rimuovere un elettrone delle schell esterne da un atomo. L’energia di separazione del neutrone e’ uguale alla energia equivalente della diminuzione di massa della reazione

S_n(^A_ZX) = [m(^A−1_Z X) + m_n− m(^AZX)]/c² ≃ [M(^A−1Z X) + m_n− M(^AZX)]/c² (1.35) La energia di separazione puo’ essere anche espressa in termini di energia di legame

Sn(^A_ZX) = BE(^A_ZX) − BE(^A−1Z X) (1.36)

Allo stesso modo si puo’ ricavare la energia di separazione per il protone

A−1

Z−1X +¹₁p →^AZY (1.37)

che e’ equivalente alla diminuzione della massa

Sp(^A_ZY ) = BE(^A_ZY ) − BE(^A−1Z−1X) (1.38) Come si puo’ ben capire la variazione diSneSp con Z ed N fornisce informazioni sulla struttura nucleare, ad esempio i valori diSneSp per nuclidi con un numero pari di protoni e/o neutroni sono piu’ grandi rispetto ai nuclidi con numeri dispari, effetto di pairing.³

1.4 Reazioni nucleari

Le reazioni nucleari giocano un ruolo importante nella scienza ed ingegneria nucleare e di conseguenza nelle applicazioni, perche’ e’ con queste reazioni vari tipi di radiazione sono

3Calcolare la BE dell’ultimo neutrone in¹⁶8 O.

La BE e’ l’energia rilasciata nella reazione

15

8 O +¹0n →¹⁶⁸ O (1.39)

Le equazioni sono

Sn= [m(¹⁵8 O) + mn− m(¹⁶⁸ O)]/c²≃ [M(¹⁵⁸ O) + mn− M(¹⁶⁸ O)]/c² (1.40) Sn= [15.0030654 + 1.00866492 − 15.9949140]u × 931.5MeV/u = 15.66MeV (1.41) Come si vede e’ particolarmente grande per un singolo nucleone, infatti la BE media per nucleone del¹⁶8 O e’ di 7.98 MeV. Il grande valore diSnindica che¹⁶8 O e’ molto stabile rispetto al¹⁵8 O

prodotte o rivelate, o si hanno informazioni sulla struttura interna dei nuclei e quindi della materia. Tutte le reazioni nucleari si possono classificare in due grandi categorie:

1. Nella prima categoria il reattante e’ un singolo atomo o nucleo che spontaneamente si modifica emettendo una o piu’ particelle

X → Y1+ Y₂+ · · · (1.42)

Tale reazione si chiama decadimento radioattivo, questo tipo di reazione e’ necessariamente esotermica i.e. la massa deve diminuire nel processo di di decadimento e deve essere emessa energia, generalmente sotto forma di energia cinetica dei prodotti della reazione 2. Nella seconda categoria si trovano le reazioni binarie in cui due particelle nucleari ( nuclei,

nucleoni, elettroni o fotoni ) interagiscono per formare particelle nucleari differenti. La reazione piu’ comune si puo’ indicare come

x + X → Y + y, X(x, y)Y (1.43)

x e y indicano le particelle piu’ leggere della coppia.

1.4.1 Esempi di reazioni nucleari binarie

Le semplici regole per scrivere una reazione nucleare sono: conservazione della carica e del numero di massa.

reazione(α, p) : La prima reazione nucleare fu descritta da Rutherford

42He +¹⁴₇ N→¹⁷8 O +¹₁H, ¹⁴₇ N(α, p)¹⁷₈ O

reazione(α, n) : Nel 1932 Chadwick scopri’ il neutrone bombardando berillio con particelleα

42He +⁹₄Be→¹²6 C +¹₀n ⁹₄Be(α, n)¹²_c C

reazione(γ, n) : Neutroni si possono produrre bombardando ad es. deuterio con raggi gamma energetici

γ+²¹H→¹1H +¹₀n ²₁H(γ, n)¹₁H o ²₁H(γ, p)¹₀n

reazione(p, γ) : I protoni possono indurre reazioni nucleari tipo la cattura radiativa del protone es.

11H +⁷₃Li→⁸4Be +γ ⁷₃Li(p, γ)⁸₄Be

Il prodotto⁸₄Be non e’ legato e si scinde quasi immediatamente in due particelleα ( decadimento radioattivo).

84Be→⁴2He +⁴₂He

reazione (γ, αn) : Esempio di reazione con uno stato finale a tre corpi, un fotone di alta energia incide su¹⁷O che a sua volta si scinde in¹²C , unα ed un neutrone con la reazione

γ+¹⁷₈ O→¹²6 C +⁴₂He +¹₀n o ¹⁷₈ O(γ, n)¹⁷₆ C

reazione (n,p) : I neutroni veloci possono causare diversi tipi di reazioni nucleari. La reazione procede chiaramente in due passi con la formazione di un nucleo composto che poi decade radoattivamente in piu’ prodotti

10n +¹⁶₈ O→¹⁶7 N +¹₁p o ¹⁶₈ O(n, p)¹⁶₇ N

1.4.2 Reazioni a stato finale multiplo

In generale quando una particellax interagisce con un nucleo X si possono avere piu’ tipi di reazioni a cui e’ associato uno stato finale. Ad es. nell’urto di un neutrone di media alta energia (

∼ MeV) con il nucleo³²16S si possono avere scattering elastico

10n +³²₁₆S→³²16S +¹₀n

Questa e’ una reazione(n, n). Un secondo tipo di reazione e’ uno scattering inelastico in cui il

3216S e’ lasciato in uno stato nucleare eccitato

10n +³²₁₆S→ (³²16S)^∗+¹₀n’

con(³²₁₆S)^∗ stato eccitato del nucleo³²₁₆S e con il neutrone che cede energia nell’urto inelastico.

Il neutrone incidente puo’ essere assorbito ed espellere un protone

10n +³²₁₆S→³²15P +¹₀p

quindi una reazione(n, p), oppure semplicemente catturato con emissione di un gamma

10n +³²₁₆S→³³16S +γ

quindi una reazione di cattura radiativa o reazione(n, γ) in cui la BE del neutrone al nucleo e’

emessa come raggio gamma.

Le condizioni cinematiche di queste reazioni sono diverse, lo scattering elastico e la cattura sono possibili a tutte le energie, lo scattering inelastico mentre per le altre e’ necessario che il neutrone abbia una certa energia cinetica per superare una certa soglia.

1.5 Q-value di una reazione

In ogni reazione nucleare l’energia totale deve essere conservata X

i

[Ei + mic²] =X

i

[E_i^′+ m^′_ic²] (1.44)

essendoEi(E_i^′) l’energia cinetica nello stato iniziale (finale) e mi(m^′_i) le masse a riposo.

questo significa che ogni variazione di energia cinetica totale prima e dopo ogni reazione deve essere accompagnata da una equivalente variazione delle masse a riposo.

Q = KEf − KEⁱ = (X

i

m −X

i

m^′) (1.45)

La reazione si dice esotermica quandoQ < 0, enrgia cinetica nello stato finale maggiore di quella nello stato iniziale o massa a riposo nello stato iniziale maggiore della massa nello stato finale, si ha una reazione endotermica quando inveceQ < 0, che significa che l’energia cinetica dello stato iniziale viene convertita in massa a riposo dello stato finale. Questo tipo di reazione richiede che le particelle nello stato inziale abbiano una certa energia cinetica per superare la soglia di reazione.

Da ricordare in ogni reazione nucleare, in cui il numero di neutroni e protoni e’ conservato il Q-value deve essere calcolato sostituendo ogni particella carica con il suo atomo neutro.

Nel caso di reazioni che producono nuclei eccitati il Q-value deve essere calcolato tenendo conto che la massa del nucleo eccitato e’ maggiore del corrispondente nucleo nello stato fondamentale di una quantita’ pari aE^∗/c², doveE^∗ e’ l’energia di eccitazione. La massa di un atomo eccitato quindi sara’

M(^A_ZX^∗) = M(^A_ZX) + E^∗/c² (1.46)

essendoM(^A_ZX) la massa dell’atomo nello stato fondamentale⁴

1.6 Reazioni nucleari binarie

Le reazioni binarie ( vedi sopra) sono le piu’ importanti tra le reazioni nucleari. Tutti i nuclidi con piu’ di qualche protone sono stat creati dalle reazioni binarie nelle stelle e l’energia rilasciata da queste reazioni sono essenziali per la vita. Schematicamente le reazioni binarie sono descritte come

A + B→ C + D + E + · · ·

In tutte le reazioni in cui sono coinvolte solo le forze nucleari sono conservate parecchie quantita’

: l’energia totale, il momento angolare (spin), il momento lineare, la carica, il numero barionico, ed altre quantita’ meccano-quantistiche che in questo contesto non sono considerate.

Sebbene in una reazione binaria i prodotti della reazione possono essere piu’ di due, di gran lunga quelle piu’ frequenti hanno solo due prodotti

x + X → y + Y o semplicemente X(x, y)Y

1.6.1 Meccanismi delle reazioni

Nucleoni o nuclei leggeri con energie cinetiche maggiori di circa 40 MeV hanno lunghezze d’onda di de Broglie comparabili con le dimensioni dei nucleoni in un nucleo targhetta e quindi hanno la possibilita’ di interagire o con un singolo nucleone o con pochi vicini. Questo tipo di reazione e’ chiamata interazione diretta, i rimanenti nucleoni del nucleo targhetta non sono interessati. Questo tipo di reazione e’ anche chiamata interazione periferica.

Se il proiettile ha energia di pochi MeV, la sua lunhezza d’onda di de Broglie e’ grande e

confrontabile con le dimensioni del nucleo per cui l’interazione avverra’ con tutto il nucleo, cioe’

4Esempio - Qual’e’ il valore del Q-value della reazione¹⁰B(n, α)⁷Li* in cui il nucleo di⁷Li* e’ lasciato in uno stato eccitato (0.48 MeV) sopra il suo stato fondamentale?

Q = [mn+ M (¹⁰5 B) -M (⁴2He) -M (⁷3Li*)]c² essendo quindiM (⁷3Li*) =M (⁷3Li) + 0.48 MeV/c²il calcolo diventa

Q = [mn+ M (¹⁰5 B) -M (⁴2He) -M (⁷3Li)]c²- 0.48 MeV

= [ 1.0086649 + 10.0129370 - 4.0026032 - 7.0160040] u× 931.5 MeV/u - 0.48 MeV = 2.310 MeV .

con tutti i nucleoni simultaneamente, formando inizialmente un nucleo composto altamente eccitato. Questo nucleo decade in circa 10⁻¹⁴s dalla sua formazione in uno dei differenti modi possibili con differenti prodotti di reazione.

Nucleo composto

Nelle reazioni nucleari, quando la particella incidente ha pochi MeV di energia cinetica, essa interagisce col nucleo intero, nel senso che viene assorbita e la sua energia cinetica trasferita al nucleo come un tutto. Il nucleo eccitato ha una vita media ( 10⁻¹⁵- 10⁻¹³s) molto maggiore della nuclear lifetime, il tempo che impiegherebbe il proiettile ad attraversare il nucleo targhetta che e’

tra 10⁻²¹e 10⁻¹⁷s.

Gli stati eccitati del nucleo composto sono chiamatistati virtuali o livelli virtuali perche’ esso decade con emissione di particelle, da distinguersi dagli stati legati del nucleo eccitato che decade solo per emissione di raggiγ.

Reazioni che coinvolgono un nucleo composto sono reazioni che avvengono in due tempi: prima si forma un nucleo eccitato a vita media lunga e successivamente c’e’ il decadimento in due o piu’

prodotti.

x + X → (x + X)^∗ → y + Y

A causa della vita media relativamente lunga il nucleo composto si dimentica di come si e’

formato e della direzione della particella incidente, per cui nella disintegrazione i prodotti sono emessi in tutte le direzioni e i modi di decadimento sono indipendenti da come si e’ formato il nucleo. Questo e’ verificato sperimentalmente, ad es. in questa reazione ( Mayo 1998)

p +⁶³Cu α +⁶⁰Ni →

64Zn^∗ →







63Zn + n

62Cu + n + p

62Zn + 2n







I differenti modi in cui il nucleo composto si disintegra si dicono canali di uscita, la probabilita’

di osservare una particolare uscita e’ indipendente dal modo con cui il nucleo si e’ formato.

1.6.2 Cinematica delle reazioni binarie a due corpi

Dai constraint imposti dalla conservazione dell’energia totale e momento lineare si determinano l’energia e la direzione dei prodotti. Di seguito si assumera’ che il nucleo bersaglio sia a riposo.

Indicando conEil’energia dell’i-esimo nucleo eQ il Q-value, essendo EX = 0, la conservazione dell’energia totale richiede, essendoEX = 0

Ex = Ey+ EY + Q

Per il momento lineare, si deve tener conto che i momenti delle tre particelle, quella incidente e dei due prodotti, debbono giacere su uno stesso piano, quindi

p²_Y = p²_x+ p²_y+ 2pxpycosθy (1.47) Per particelle non relativistiche si ha chepi =√

2miEiper cui sostituendo si puo’ ricavare l’espressione dell’energia della particella piu’ leggera

pEy =q

mxmyEx

(my+mY)²cosθy ±q

mxmyEx

(my+mY)²cosθ_y²+ [_(m^mY−mx

y+mY)Ex+ _(m^mYQ

y+mY)]

La soluzione ha formapEy = a ±√

a²+ b, da cui si capisce che perpEy possono esserco o zero, una o due soluzioni accettabili, dipendeno dal segno dia²+ b, in ogni caso perche’ una oluzione sia realistica e’ necessario che essa sia reale e positiva. Se(a²+ b < 0) la soluzione e’

non fisica e la reazione non puo’ avvenire. I termini che possono contribuire a rendere la soluzione energeticamente impossibile sono: 1)un valore di Q-value negativo, 2) un proiettile pesante cosicche’mY − m^x < 0 e 3) un grande angolo di scattering tale che cosθy < 0.

Reazione esoenergetica ( Q>0) Se Q > 0 e mY > mx, il termine sotto radice e’ sempre positivo e solo la soluzioneEy = (a +√

a²+ b) con il segno + ha significato.

PerEx → 0 la q

Ey →√

b che significa che il Q-value e’ semplicemente la somma delle energie cinetiche dei prodotti,Q = E_y+ E_Y

Ey → mY

my + mY

Q (1.48)

Reazioni endoenergetiche (Q<0) Il termine (a²+ b) risulta minore di zero se Q < 0, mY > mx

maEx e’ troppo piccolo, in questo caso la reazione non e’ possibile. Al crescere diExpero’ il termine sotto radice diventa positivo, e sono possibili due soluzioni perpEy concosθ > 0.

Questi due valori diEy corrispondono a due gruppi di particelley che sono emesse avanti e indietro nel centro di massa .

Quindi nel caso di reazioni endoenergetiche e’ necessario che la particella incidente abbia un minimo di energia cinetica affinche’ la reazione avvenga, cioe’ prima che il valore diEy abbia significato fisico, questo indica che c’e’ una soglia minima per la reazione, soglia di reazione.

1.6.3 Energia di soglia di reazione

Per le reazioni con Q< 0, o anche per Q > 0 quando m_Y < m_x, la particella incidente deve fornire una certa quantita’ minima di energia E_xperche’ la reazione avvenga, energia di soglia; ci sono due tipi di energia di soglia di reazione: soglia cinematica e soglia della barriera

Coulombiana.

Soglia cinematica

Per le reazioni endoenergetiche, affinche’ la reazione sia possibile l’energia minima della particella incidente (dalla 24)deve essere tale che

(E_x)_θy > m_Y(m_y+ m_Y)Q

(my+ mY)(mY − m^x) + mxmycos²θy

(1.49)

In questa espressione si ha il minimo di enegia quanfo il denominatore ha valore massimo, quindi quandoθy e’ uguale a zero, cosi’ l’energia di soglia cinematica della reazione e’

E_x^th = − my + mY

my + mY − m^xQ (1.50)

Nella maggior parte delle reazionimi >> Q/c²,my + mY ≃ m^x+ mX emy+ mY − m^x ≃ m^X per cui si ha la semplificazione:

E_x^th ≃ −(1 + m_x mX

)Q (1.51)

La particella finaley e’ emessa dal nucleo composto, alla soglia della reazione, con velocita’

trascurabile; man mano che l’energia della particella incidenteExcresce, la particellamy e’

priettata in avanti con angoloθy con due distinte energie, dettate dal doppio segno±, ma che si riduce al solo termine composto da segno + perExgrande in modo cheEy abbia un valore realistico.

Soglia della barriera coulombiana

Se la particella proiettile incidente e’ un neutrone od un raggio gamma non c’e’ la barriera coulombiana per cui la sola soglia possibile e’ quella cinematica. Per reazioni esoenergetiche (Q > 0), neutroni e fotoni necesitano solo di una energia trascurabile per attivare una reazione, mentre nel caso di(Q < 0) c’e’ l’energia di soglia (27).

Nel caso di un nucleo, (i.e. di H) esso e’ carico positivamente e quindi soggetto alla repulsione coulombiana. Solo se ha energia sufficiente riesce ad arrivare a distanze , ordine del fm, tali che le forze nucleari entrino in gioco e si attivi una reazione nucleare, cio’ indipendentemente dal valore di Q.

La forza repulsivaCoulombiana tra la il proiettile incidentex ( carica ze) e il nucleo bersaglio X(

carica Ze) quando sono separato da una distanzar vale FC = zZe²

4πǫ0r² (1.52)

Il lavoro fatto dal proiettile contro il campo elettrico per arrivare ad una distanzab dalla targhetta sara’

WC = − Z b

∞

F^c· dr = −zZe² 4πǫ0

Z dr

r² = zZe²

4πǫ0b (1.53)

Il lavoro sara’ fatto a spese dell’energia cinetica del proiettile per lo stesso ammontare. Perche’

avvenga la reazione nucleare il nucleo proiettile ed il nucleo bersaglio debbon essere a distanza della forza nucleare, ordine delf m, per cui sosrtituendo i valori delle costanti perche sia superata la barriera Coulombiana l’energia cinetica del proiettile deve essere

E_x^C ≃ W^C = 1.2 zZ

A^1/3x + A^1/3_X (MeV ) (1.54) Il lavoro speso si trasforma prima in energia di eccitazione ed energia cinetica di rinculo del nucleo composto, successivamente in massa ed energia cinetica dei prodotti di decadimento.

Energia di soglia totale

Ricapitolando, per reazioni con neutri ( neutroni e gamma) non ci sono energie di soglia , per reazioni con nuclei bisogna tener conto del tipo di reazione se e’ endotermica o esotermica. In generale per queste reazioni si puo’ scrivere la reazione seguente per l’energia minima per innestare la reazione

(E_x^th)min = max(E_x^C, E_x^th). (1.55) e l’energia cinetica minima dei prodotto tella reazione sara’ data da(Ey+ EY) = Q + (E_x^th)min.

Reaction Q-value E_x^C E_x^th Reaction min(E_y + E_Y)

Path (MeV) (MeV) (MeV) Condition (MeV)

13C(d, t)¹²C 1.311 1.994 0 E_x > E_x^C 3.305

14C(p, n)¹⁴N -0.6259 2.111 o.6706 Ex > E_x^C 3.305

14N(n, α)¹¹B -0.1582 0 0.1695 Ex > E_x^th 3.305

1.6.4 Applicazioni delle reazioni binarie

Le reazioni binarie sono all’origine di molte applicazioni, tra cui le reazioni per la rivelazione di neutroni o per la produzione di neutroni.

Una reazione per la rivelazione di neutroni

I neutroni non ionizzano direttamente la materia attraversandola, quindi per rivelarli bisogna prima che i neutroni interagiscano con un nucleo e che la reazione produca una particella carica che sara’ rivelata. Una reazione tipica per rivelare neutroni e’ la seguente³He(n, p)³H con un protone nello stato finale. E’ una reazione esoenergetica, con un un Q = 0.764 MeV, che non necessita di soglia Coulombiana, vedi Fig. 1.10 .

Figure 1.10: Proton energy vs neutron energy

Per neutroni con energia cinetica trascurabile , il protone ed il trizio si suddividono l’energia Q disponibile, il protone acquista un’energia cinetica diE_p = 0.573 MeV mentre il nucleo di trizio rincula con un’energia di 0.191 MeV. Al crescere dell’energia del neutrone incidente, si puo’

vedere dalla figura che l’energia del protone diventa lineare, in funzione dell’angolo di scattering.

Una reazione per produzione di neutroni

I neutroni possono essere prodotti in molte reazioni binarie, una di queste ad es. e’ la

7Li(p, n)⁷Be. Questa e’ una reazione endoenergetica con Q=-1.644 MeV, e quindi c’e’ una piccola regione di E_pdel protone in cui il neutrone puo’ avere cinematicamente due valori di energia.

La reazione ha due soglie di energia: la soglia cinematica e Coulombiana, rispettivamente di 1.875 e 1.236 MeV, vedi Fig. 1.11 .

Figure 1.11: Neutron Energy vs Proton Energy