Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare: Appunti

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare:

Appunti

Preparati da D.Gamba

October 15, 2008

Part I

Il Nucleo

Chapter 1

Struttura nucleare

1.1 Introduzione

Nel secolo che segui’ la scoperta del nucleo da parte di Rutherford, numerose applicazioni hanno beneficiato: 1) delle proprieta’ del nucleo, 2) delle tecniche di misure nucleari, 3) degli acceler- atori di particelle, 4) dei sensori nucleari. Queste applicazioni trovano spazio nelle piu’ svariate discipline, come ad esempio la medicina, la biologia, l’arte, l’archeologia, l’energia, la scienza dei materiali, le scienze naturali,l’esplorazione spaziale, lo studio dell’ambiente e non ultimo per im- portanza il settore bellico. C’e’ da rilevare che molte di queste applicazioni sono molto specifiche ed hanno un piccolo impatto sulla vita quotidiana, mentre altre hanno un grande impatto.

L’approccio ai diversi argomenti e’ fatto principalmente dal punto di vista sperimentale, partendo dai principi fisici fondamentali, con esempi illustrativi. Gli argomenti trattati nel Corso

riguardano solo alcuni aspetti degli impieghi delle tecniche di fisica nucleare, in particolare nel campo dell’energia e dell’analisi strutturale. Si rimanda ai corsi specifici per l’approfondimento sopratutto della fisica nucleare. Particolare cura sara’ posta nella risoluzione dei problemi, convinto che imparare a risolvere i problemi e’ parte integrale dell’imparare e capire la fisica.

1.2 Parametri dei nuclei atomici

Le caratteristiche base del nuclei stabili sono: il numero atomico Z ( carica), il numero di massa (A), l’energia di legame (E_b), il momento angolare intrinseco I ( spin), il raggio del nucleo R e la non-sfericita’δ R/R, il dipolo di momento magnetico µ, il quadrupolo di momento elettrico Q.

I nuclei atomici hanno dimensioni di circa 10⁻¹²cm, circa 10⁴volte minore di quelle di un atomo, con una densita’ maggiore di 10¹³g/cm³.

Il nucleo e’ costituito da nucleoni, protoni di carica positiva e neutroni neutri. La massa dei nucleoni e’ approssimativamente la stessa: m_p= 1.67239 x 10⁻²⁴g, m_n= 1.67470 x 10⁻²⁴g.

Nuclei aventi lo stesso numero di protoni Z sono chiamati isotopi, mentre quelli con lo stesso numero di massa sono detti isobari.

La massa in fisica nucleare e’ misurata, analogamente a quella atomica, in unita’ di massa atomica (amu), definita come 1/12 della massa del¹²C, uno degli isotopi del Carbonio, che equivale a 1.6582x10⁻²⁴g o 931.44 MeV.

1.2.1 Mass defect

La differenza di massa△ tra la massa del nucleo in amu ed il suo numero di massa A e’ chiamata mass defect del nucleo, o in senso positivo mass excess

△M = MZ,A 1

12M¹²_C − A (1.1)

di interesse e’ la quantita’ Packing fraction P [amu/nucleon], se si plotta P vs il numero di massa A, si ha la seguente curva con un minimo attorno ad A∼ 50,Fig. ??

Si distinguono due regioni, P< 0 e P>0.

P<0, per 20< A < 180 significa che il nuclide ha massa minore rispetto alla somma dei componenti e quindi lo stato finale e’ piu’ stabile di quello iniziale, indica inoltre che bisogna fornire energia se si vuole passare dallo stato di nuclide allo stato iniziale di singoli nucleoni individuali.

P> 0, per 20>A> 180, invece indica che il nuclide e’ instabile perche’ ha un eccesso di massa e quindi cerchera’ di portarsi in una condizione stabile mediante decadimento radioattivo.

Figure 1.1: Mass Excess

Sia il mass defect che il packing fraction sono unicamente connesse ad una importante caratteristica nucleare- l’energia di legame BE , binding energy. L’energia di legame B di un nucleo rappresenta il lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoi nucleoni costituenti, oppure come l’energia rilasciata durante la formazione del nucleo dai suoi costituenti. La massa di un atomo e’ minore della massa dei suoi costituenti di una quantita’ pari alla massa equivalente di BE, cioe’

M(Z, A) = ZMH + (A − Z)mⁿ− BE(Z, A)/c² (1.2) dove M(Z,A), M_H e m_nsono le masse atomiche del nuclide, di un atomo di idrogeno e di un neutrone e B(Z,A) e’ espresso in unita’ di energia. ¹

L’energia di legame nucleare cresce col numero atomico A e quindi per comodita’ si parla di energia di legame per nucleone B/A, il cui andamento in funzione di A e’ mostrato in Fig. ??

La caratteristica piu’ evidente della curva B/A e’ che e’ approssimativamente costante attorno a 8MeV per nucleone, eccetto che per nuclei molto leggeri o molto pesanti. La costanza di B/A implica un effetto di saturazione nelle forze nucleari e quindi che la forza tra nucleoni e’ a corto range.

1In generale si indica con M(A,Z) la massa atomica, mentre con m(A,Z) quella del nucleo. Le masse atomiche e nucleari sono legate dalla relazione seguente in cui compare l’energia di legame degli elettroni nell’atomo.

M (A, Z) = m(A, Z) + Zme−BEZe

c² (1.3)

Il termine BEZein questa relazione e’ spesso trascurato in quanto e’ sempre molto piccolo rispetto agli altri termin, dell’ordine di10⁻⁸unita’ di massa. Ad esempio, per ionizzare un atomo di H sono necessari 16.6 eV. La energia di legame dell’elettrone rappresenta una variazione di massa di

BEZe/c²= 13.6(eV )/(9.315 × 10⁸(eV /u) = 1.4 × 10⁻⁸u (1.4) Trascurabile perfino rispetto alla massa dell’elettrone. Per questo motivo nel calcolo della BE(A,Z) del nucleo si trascura il contributo della BE_Zedegli elettroni.

Figure 1.2: Scala atomica

Figure 1.3: Binding energy per nucleone

Il rapido aumento iniziale di B/A per nuclei molto leggeri si puo’ spiegare come il risultato della competizione tra effetti di volume, che vorrebbe B crescere come A ed effetti di superficie che invece vorrebbe B decrescere con A come A^2/3. All’altro estremo della curva B/A vs A, la graduale discesa di B/A per A>100 si puo’ spiegare come l’effetto della repulsione coulombiana che diventa piu’ importante man mano che il numero di protoni nel nucleo cresce.

Analizzando in dettaglio la figura si puo’ notare l’esistenza di picchi di energia di legame per numeri di nucleoni uguale a 8,20,50,82,126. Questi numeri sono chiamati magici e distinguono nuclei la cui configurazione corrisponde a shell chiuse ( modello a shell) analogamente alle shell elettroniche degli atomi.

Si puo’ utilizzare la curva B/A per un breve calcolo per stimare l’energia rilasciata nelle reazioni di fissione ( rottura ) e fusione ( unione ). Si supponga di avere una rottura simmetrica di un nucleo con A∼ 240 con due frammenti ciascuno di massa A/2. La reazione conduce ad uno stato finale con B/A di circa 8.5 MeV, che e’ circa 1 MeV piu’ grande della B/A dello stato iniziale.

Quindi l’energia rilasciata per la reazione di fissione si puo’ stimare in 240 MeV, ( calcoli piu’

accurati indicano∼ 200 Mev).

Per una reazione di fusione, ad esempio²H +²H→⁴He, i valori di B/A di²H e⁴He sono rispettivamente 1.1 e 7.1 MeV/nucleone. Il guadagno in B/A e’ circa 6 MeV/nucleone e quindi l’energia rilasciata per una reazione di fusione e’∼ 24 MeV.

1.2.2 Saturazione delle forze nucleari e raggio nucleare

La saturazione della forza nucleare e’ una caratteristica dell’interazione nucleare. Dallo studio della struttura dei ground state e low-lying excited state dei nuclei si ricava che le forze nucleari sono dovute ad un potenziale che ha una buca profonda∼ 50 MeV e raggio ∼ 2 fm, ma ad una distanza di∼ (0.3-0.4 fm) vi e’ un core repulsivo con una barriera maggiore di 200 MeV. Il core repulsivo unito al carattere di forza di scambio delle forze nucleari impedisce ad un grande

numero di nucleoni vicini di penetrare nella regione interna del nucleone, questo si accorda con la proprieta’ osservata sperimentalmente di saturazione delle forze nucleari. La saturazione della forza nucleare porta come conseguenza che il nucleo ha una forma compatta, con una

distribuzione dei nucleoni esprimibile in termini di raggio quadratico medio

< r² >=

Z

r²ρ(r)dv (1.5)

doveρ(r) e’ la densita’ radiale dei nucleoni mediata su tutto il volume e normalizzata a 1. Il raggio del nucleo e’ spesso definito come il raggio della sfera equivalente avente densita’

uniforme ed e’ indicato come R_eqv. Sperimentalmente si e’ osservato che la distribuzioni di massa e di carica all’interno del nucleo praticamente coincidono.

Esperimenti di scattering, con sonde elettromagnetiche ed adroniche, hanno mostrato che il nucleo presenta due ben distinte regioni: una interna di densita’ quasi costante ed uno strato superficiale di spessore 1.5-2 fm, cio’ per quasi tutti i nuclei.

La distribuzione di densita’ dei nuclei,ρ(r), e’ approssimata ragionevolmente con la formula di

Fermi

ρ(r) = ρ0

1 + exp[(r − R)/a], nucleone/f m³ (1.6) dove con R si indica il raggio della sfera dove la densita’ e’ la meta’ di quella massima del centro del nucleo. Anche se per i nuclei piu’ pesanti si puo’ notare una piccola differenza nella

distribuzione dei protoni e neutroni, Il risultato degli esperimenti hanno portato alla conclusione che per nuclei medi e pesanti ( A> 20 ) il raggio quadratico medio si puo’ rappresentare con la formula

< r² >^1/2= 0.94A^1/3f m (1.7) che per il raggio equivalente vale

Reqv = 1.2A^1/3f m (1.8)

e per R1/2

R1/2 = 1.12A^1/3f m (1.9)

La carica totale del nucleo sara’ dato dall’integrale di volume Z Z Z

r²ρ(r)dv = Z (1.10)

La forma sferoide non sempre e’ quella osservata, anche per nuclei pesanti. L’osservazione di momenti di quadrupolo magnetico e di bande rotazionali sono indice di deformazioni del nucleo.

1.2.3 Energia di legame e reazioni nucleari

Il concetto di binding energy si puo’ anche applicare alle reazioni a due corpi dove lo stato iniziale consiste di una particellai incidente su un nucleo targhetta I e lo stato finale consiste di una particella uscentef ed un nucleo residuo F .

La reazione si puo’ scrivere cosi’:

i + I → f + F + Q (1.11)

dove viene introdotto laQ, che e’ un’energia chiamata ”Q-value” della reazione.

Corrispondentemente, si ha la definizione

Q ≡ [(Mⁱ+ MI) − (M^f + MF)]c² (1.12) dove per M si intendono le masse atomiche. Ogni reazione nucleare ha un caratteristico

Q − value; la reazione e’ detta esotermica(endotermica) per Q>0 (Q<0) quando l’energia e’

rilasciata(assorbita). Cosi’ una reazione endotermica non puo’ avvenire a meno che non venga fornita energia in piu’ oltre una certa soglia. Spesso questa energia e’ l’energia cinetica della particella incidente. Si puo’ esprimere Q in termini di energia cinetica invocando la

conservazione dell’energia totale, che vale per ogni reazione:

Ti+ Mic²+ TI+ MIc² → T^f + Mfc²+ TF + MFc² (1.13)

Combinando questa relazione con la (1.12) si ottiene perQ

Q = Tf + TF − (Tⁱ+ TI) (1.14)

Poiche’ le masse si possono esprimere in termini di energia di legame, un’altra espressione di Q e’ la seguente

Q = B(f ) + B(F ) − B(i) − B(I) (1.15)

Ad esempio la Q della reazione di cattura neutronica del boro, tecnica usata nella medicina nucleare, che e’ basata sulla reazione

10

5 B + n →⁷³ Li +⁴He + Q (1.16)

vale Q = B(Li)+B(α)-B(B) = 39.245+28.296- 64.750 = 2.791 MeV.

La reazioe e’ esotermica, quindi puo’ essere indotta da un neutrone con poca energia cinetica, neutrone termico. Il modo piu’ pratico per calcolare ilQ − value e’ di usare le masse a riposo dello stato iniziale e quello finale. In molte reazioni di interesse ilQ − value varia tra 1-5 MeV.

Una eccezione importante e’ la fissione, dove Q∼ 170-210 MeV a seconda dello stato finale).

1.2.4 Energia di separazione

La definizione di energia di legame, qui adottata, implica uno stato finale dove tutti i nucleoni sono separati e distanti l’un l’altro. Si puo’ definire un’altra energia di legame in cui lo stato finale e’ uno stato che comprende la separazione di un solo nucleone. L’energia richiesta per separare una particella a dal nucleo e’ detta energia di separazione S_a. Questa e’ anche l’energia rilasciata, o energia disponibile per la reazione quando la particella a e’ catturata. Il bilancio energetico e’

quindi

Sa = [Ma(A^′, Z^′) + M(A − A^′, Z − Z^′) − M(A, Z)]c² (1.17) in cui a e’ trattato come un ’nucleo’ con numero atomico Z^′ e numero di massa A^′. Per un

neutrone, ad esempio, si ha

Sn= [Mn+ M(A − 1, Z) − M(A, Z)]c² (1.18) La S_ne’ chiamato nella letteratura energia di legame del last neutron. La S_nvariera’ da nucleo a nucleo; nel range dove B/A e’ quasi costante si puo’ stimare dalla curva B/A che S_n ∼ S^p ∼ 8 MeV, mentre per i nuclei piu’ pesanti S_n∼ 5-6MeV. Quando un nucleo M(A-1,Z) assorbe un neutrone vi e’∼ 1MeV di differenza ( o piu’ quasi fino a 4 MeV in certi casi) tra il neutrone assorbito nella condizione di neutrone pari o neutrone dispari.

La differenza e’ la ragione per cui²³⁵U puo’ iniziare una reazione di fissione con neutroni termici (E<1MeV), mentre per l’²³⁸U sono necessari neutroni veloci (E>1MeV). Le energie di

separazione di neutroni e protoni hanno un comportamento sistematico che si puo’ riassumere cosi’:

Figure 1.4: Carta della stabilita’

S_n(N pari)>Sn(N dispari) per un dato Z, S_p(Z pari)> Sp(Z dispari) per un dato N

Questo effetto e’ attribuito alla proprieta’ di pairing delle forze nucleari, spiegabile con

l’esistenza di una forza di legame tra coppie di nucleoni identici nel medesimo stato che hanno momento angolare totale che punta in direzioni opposte. Questa e’ anche la ragione della eccezionale stabilita’ della particellaα, i nuclei pari pari sono piu’ stabili.

1.2.5 Abbondanza sistematica dei nuclidi stabili

La carta di stabilita’ si costruisce plottando il numero di neutroni vs il numero atomico Z per tutti i nuclidi stabili.Il risultato, in Figura ??, mostra che

N∼ Z per bassi A, mentre N>Z per alti A.

Si puo’ facilmente spiegare come per i nuclei pesanti la repulsione coulombiana favorira’ una distribuzione neutrone-protone con piu’ neutroni che protoni, piu’ difficile spiegare perche’ debba esserci ugual numero di protoni e neutroni per i nuclidi leggeri; si puo’ notare che avere piu’

neutroni che protoni significa che il nucleo e’ in uno stato di energia piu’ alto e quindi meno stabile. Questo effetto di simmetria e’ piu’ evidente per bassi A e meno ad alti A. Dalla Figura ??

si puo’ notare che:

i. Nel caso di A dispari, esiste un solo isobaro stabile, eccetto per A=113,123.

ii. Nel caso di A pari, esistono solo nuclidi pari-pari, eccetto A=2,6,10,14.

A Z N Type N. stabili+long lived Grado di stabilita’ N.tipico nuclidi stabili

Even Even Even e-e 166+11=177 High 2-3

Odd Even Odd e-o 55+3=58 Fair 1

Odd Odd Even o-e 51+3=54 Fair 1

Even Odd Odd o-o 6+4=10 low 0

1.3 Formula empirica dell’energia di legame e parabola delle masse

La curva dell’energia di legame descrive come la stabilita’ dei nuclidi varia col numero di massa A. La curva e’ derivata da dati sperimentali sulle masse atomiche. Un modo di analizzare la curva e’ quello di decomporre l’energia di legame in vari contributi dalle interazioni fra i nucleoni. La formula empirica che si considera qui ( Weizsaecker in 1935) e’ basata sul modello a goccia del nucleo. Le assunzioni generali sono:

1. Il nucleo e’ composto di materia incompressibile, cosi’ R∼ A^1/3. 2. La forza nucleare non distinge protoni da neutroni.

3. La forza nucleare satura, short range.

La formula empirica delle masse e’ generalmente scritta in termini della energia di legame B(A, Z) = avA − a^sA^2/3− a^cZ(Z − 1)

A^1/3 − a^a(N − Z)²

A + δ (1.19)

dove i coefficientia sono determinati fittando i dati delle masse. I coefficienti v,s,c e a riferiscono rispettivamente a volume, superficie, carica ed asimmetria,δ indica il termine di pairing che vale

δ = ap/√

A per nuclei e-e , = 0 per e-o,o-e,= −a^p/√

A per o-o

dove a_pe’ un altro coefficiente da determinare attraverso il fit. Tipici valori per i 5 coefficienti sono, espressi in MeV:

av = 16, as = 18, ac = 0.72, aa = 23.5, ap = 11

Il fit ai dati sperimentali non e’ perfetto per cui in letteratura si possono trovare valori leggermente diversi per i coefficienti; in media l’accordo e’ abbastanza buono ed e’ attorno ai 2 MeV, eccetto dove c’e’ un forte effetto della shell, per cui si puo’ aggiungere∼ 1-2 MeV alla formula per rappresentare l’extra legame per i nuclei con shell chiuse di neutroni o protoni.

Mentre i primi tre termini della formula empirica di massa sono autoesplicativi in termini di modello a goccia, il termine di asimmetria si puo’ spiegare come l’energia necessaria per

trasformare un nucleo con N=Z in un nucleo con N>Z. Infatti l’energia necessaria per un nucleo per passare da N=Z→ N>Z sara’ proporzionale al numero di nucleoni da trasformare e cioe’ ν = (N-Z)/2 moltiplicato la differenza di energia dei livelli occupati dai nucleoni prima e dopo lo spostamento, che in media e’ pari aν∆; ora essendo ∆ ∼ E^F/A con E_F energia di Fermi che e’

indipendente da A, cosi’∆ ∼ 1/A e si ricava l’espressione per il termine di asimmetria.

I relativi contributi all’energia di legame per nucleone che mostrano l’importanza relativa dei vari termini della formula semimepirica si possono dedurre dal seguente grafico.

METTERE GRAFICO

Eccetto che per gli estremi del grafico, la formula semiempirica fornisce le energie di legame accurate al 1% coi dati sperimentali, che significa che le masse atomiche hanno un’incertezza di 1 su 10⁴. La formula semiempirica puo’ essere usata per determinare la costante r0 nella relazione R=r0A^1/3infatti compare nei coefficientiaveas.

1.3.1 Parabola della massa e linea di stabilita’

La formula di massa puo’ essere utilizzata per ricavare la massaM(A, Z)

M(A, Z)c² ≃ A[Mⁿc²− a^a+ as/A^1/3] + xZ + yZ²− δ (1.20) dove

x = −4a^a− (Mⁿ− M^H)c² ≃ −4a^aey = ⁴_A^aa +_A^a1^c/3

La relazione, per A costante, assume la forma di una parabola in Z, il cui minimo si ha per un numero atomico, Z_A, del nucleo stabile per quel dato A. La condizione di minimo richiede che sia

∂ M/∂ Z|^ZA=0, per cui

ZA− x/2y ≈ A/2 1 + ¹₄h

ac

aa

iA^2/3

(1.21)

Notare che se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb in B(A,Z), si sarebbe ottenuto la seguente espressione

ZA≈ (Mn− M^H)c²A^1/3

2ac ∼ 0.9A^1/3 (1.22)

che e’ molto imprecisa nella determinazione del numero di massa, infatti per un nucleo stabile con ZA=20 il corrispondente numero di massa risulterebbe∼ 9.000 che chiaramente non e’ realistico.

Con un fit ai dati sperimentali dalla relazione precedente (METTERE REFERENZA) si ricava cheac/4aa= 0.0078 che equivale adaa ∼ 20-30 MeV, questo significa che la deviazione della linea di stabilita’ da N=Z=A/2 e’ il risultato dell’effetto coulombiano, che favorisce Z_A<A/2, diventando relativamente piu’ importante dell’effetto di simmetria che favorisce Z=A/2.

I nuclidi instabili per eccesso di neutroni o protoni possono attivare dei processi di decadimentoβ che permettono ad un nucleo di cambiare il suo numero atomico Z mantenendo costante il

numero di massa A. Un nucleo con troppi protoni puo’ emettere positroni (e⁺oβ⁺) con emissione di neutrino(ν), es.

16

9 F →¹⁶⁸ O + β⁺+ ν (1.23)

e nel caso il nucleo si trovi con neutroni in eccesso puo’ emettere un elettrone e⁻oβ⁻ ed un antineutrinoν convertendo un neutrone in protone, es.

16

7 N →¹⁶⁸ O + β⁻+ ν (1.24)

Un processo competitivo col decadimentoβ⁺ e’ la cattura elettronica (EC). In questo processo un elettrone della shell atomica piu’ interna e’ catturato dal nucleo cosicche’ la carica nucleare e’

ridotta da Z a Z-1.

Perche’ il bilancio delle masse atomiche sia mantenuto, ciascun processo di decadimento deve essere energeticamente permesso:

M(A, Z + 1) > M(A, Z) + 2me β⁺ decay M(A, Z) > M(A, Z + 1) β⁻ decay M(A, Z + 1) > M(A, Z) Electron Capture

La relazione parabolica, per un determinato nuclide, permette di prevedere con quali transizioni il nuclide si spostera’ lungo la parabola delle masse verso il punto di stabilita’. Ricordare che nel caso di A dispari si ha una sola parabola, mentre per A pari se ne hanno due. Eccetto che per due casi, A=113 e A =123, nel caso di A dispari c’e’ un solo isobaro stabile. Nei due casi citati la discrepanza deriva dalle piccole differenze di massa che fa si’ che in ciascun caso uno degli isobari abbia una vita media eccezionalmente lunga. Nel caso di A pari possono esserci piu’

isobari stabili pari-pari, il massimo numero trovato e’ 3, mentre per gli isobari dispari-dispari questi giacciono sulla parabola di massa superiore e ci si aspetterebbe che non ce ne siano di stabili, in realta’ ci sono diverse eccezioni, quali²H,⁶Li,¹⁰B e¹⁴N. La spiegazione e’ dovuta agli effetti di struttura nucleare che nei nuclei leggeri e’ molto forte e non sono tenuti in conto nella formula di massa. Per certi isobari dispari-dispari entrambi i decadimentiβ possono avvenire nello stesso nucleo.

1.4 Modelli nucleari

Un nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantico a molti corpi. Non conoscendo tutti i parametri per una esatta descrizione matematica, non si e’ in grado di sviluppare una teoria esatta della struttura nucleare, ma si ricorre a modelli per spiegare specifici comportamenti della materia nucleare. I modelli, come prima richiesta, debbono descrivere la stabilita’ della materia nucleare, spiegare perche’ i nuclei stabili hanno un ben definito e non arbitrario numero di protoni e

neutroni e fornire il mezzo per calcolare le energie di legame dei nuclei stabili ed instabili rispetto ai decadimenti radioattivi spontanei. Secondariamente debbono poter spiegare qualitativamente la struttura dei livelli energetici, la loro organizzazione ed energia e fornire una descrizione delle proprieta’ dinamiche del nucleo.

1.4.1 Il modello a goccia di liquido: la formula di Weizs¨acker

Uno dei fatti sorprendenti della fisica nucleare sperimentale e’ che la densita’ di massa nucleare e’

approssimativamente costante per tutti i nuclei, cioe’ il volume V dei nuclei e’ proporzionale al numero di nucleoni, il che significa che i singoli nucleoni interagiscono solo con i vicini primi analogamente alle molecola di una goccia di liquido;questo ha portato alla formulazione del modello cosidetto modello a goccia di liquido, formalizzato a meta’ degli anni 1930 da Weizs¨acker e da Bohr.

L’energia di legame per nucleone nel nucleo, BE, che sperimentalmente si osserva quasi costante per la gran parte dei nuclei, corrisponde alla conversione di una frazione della massa dei nucleoni in energia, che e’ quella che tiene insieme i nucleoni. Come si puo’ parametrizzare questa

energia? Quale modello e’ il piu’ adatto? Il modello a goccia di liquido puo’ rispondere a questa domanda, ma necessita di correzioni che tengano conto che si tratta di nucleoni e non molecole.

Intanto il fatto che i nucleoni interagiscano solo con i primi vicini significa che un parametro del modello deve tener conto del numero di nucleoni e quindi del volume, quindi BE_v = avA, ma ci sono fenomeni che giustificano le correzioni che sono:

1. I nucleoni vicino alla superficie del nucleo sono meno legati di quelli all’interno del nucleo, quindi contribuiscono in senso negativo all’energia di legame, si aggiunge un termine BE_s= asA^2/3.

2. I protoni del nucleo producono un campo di forza elettromagnetico repulsivo che tende a disgregare il nucleo e quindi bisogna aggiungere un termine negativo quindi

BE_c = acZ²/A^1/3.

3. I nuclidi di piccolo numero di Massa A che hanno un ugual numero di protoni e neutroni sono molto stabili, questo significa che man mano che ci si discosta da una configurazione simmetrica aumenta la instabilita’ in proporzione alla asimmetria: ci deve essere un

parametro che tiene conto dell’asimmetria tra protoni e neutroni(N − Z) = (A − 2Z), bisogna aggiungere un termine negativo BEa= aa(A − 2Z)²/A.

4. Si osserva anche che i nuclidi con un numero di protoni e neutroni pari,E-E, sono piu’

abbondanti che nel caso di un numero pari-dispari o dispari-pari, E-O o O-E, e molto pochi dispari-dispari, O-O. Quindi bisogna inserire u parametro che tenga conto delle varie combinazioni, quindi BE_p = ap/√

A.

La somma dei vari termini

BE = BEv + BEs+ BEc+ BEa+ BEp (1.25) I valori delle costanti empirichea_v ,a_s,a_c,a_aea_p si determinano con fit alla distribuzione sperimentale dell BE. Valori aggiornati [Wapstra, 1985]:

av = 15.835 MeV,as= 18.330 MeV,ac = 0.714 MeV,aa= 23.200 MeV, e cona_p= +11.2 MeV per O-O , 0 per E-O,O-E e -11.2 MeV per E-E.

Come sempio di calcolo di massa nucleare vedere la nota a pie’ di pagina.²

1.4.2 Modello nucleare a shell

Il modello a goccia di liquido si e’ dimostrato valido per il calcolo delle masse dei nuclidi, ma non spiega come i nucleoni sono organizzati all’interno del nucleo. D’altra parte ci sono evidenze sperimentali che i nuclei che hanno un numero di 8, 20, 28, 50, 82 protoni o 2, 20, 28, 50, 82, 126 neutroni ( detti numeri magici), sono sistemi molto stabili. Si osserva inoltre che le particelleα e β dei decadimenti radioattivi di nuclei con un numero magico di neutroni hanno energie o molto grandi o molto piccole

Su questo fatto si basa l’ipotesi che i protoni e i neutroni siano organizzati in shell indipendenti nel nucleo in analogia alle shell elettroniche dei sistemi atomici. Tuttavia il modello delle shell elettroniche non si puo’ adottare pari pari perche’ mentre l’interazione elettrone nucleo e’

dominante, quella inter-elettroni e’ trascurabile e si manifesta solo come una schermatura della

2Esempio: Calcolare la massa di un atomo di⁷⁰Ga31usando il modello a goccia di liquido.

Se si trascura la BE_edegli elettroni al nucleo la massa atomica si calcola come:

M (⁷⁰Ga31) ≃ m(⁷⁰Ga31) + 31me= [31mp+ (70 − 31)mn− BE(⁷⁰Ga31)/c²] + 31me (1.26) dove l’energia di legame e’

BE(⁷⁰Ga³¹)/c²=



av70 − a^s70^2/3− a^c 31²

70^1/3 − a^a(71 − 62)² A − a^p

√70

 1

931.5M eV /u = 0.65280u (1.27) Sviluppando il calcolo per la massa atomica si trova che

M (⁷⁰Ga³¹) = 69.9277u (1.28)

da confrontarsi con il valore standardM (⁷⁰Ga³¹) = 69.9260u

carica nucleare; l’ interazione tra nucleoni, essendo piuttosto forte, con l’assenza di un corpo centrale e’ un’interazione a multi-corpi ed e’ di diffilcile soluzione.

Un nucleo e’ un sistema quanto-meccanico ed una conseguenza di cio’ e’ che il numero di possibili collisioni nucleone-nucleone e’ limitato dal principio di esclusione. I nucleoni di un nucleo non eccitato si possono paragonare ad un gas degenere di Fermi, con tutti gli stati che hanno energie minore del livello di Fermi occupati e quelli con energia maggiore liberi. Il modello assume:

1. Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo, senza interagire con gli altri nucleoni

2. Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi dove cresce rapidamente di decine di MeV.

Un potenziale realistico per il modello a shell puo’ essere approssimato qualitativamente da un potenziale tipo oscillatore armonico della forma

V (r) = −V⁰[1 − (r/R)²] = −V⁰+1

2Mω²R² (1.29)

La soluzione numerica dell’equazione d’onda di Shr¨odinger, usando un potenziale attrattivo con una distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in un certo numero di livelli energetici. Protoni e neutroni hanno livelli energetici indipendenti e i livelli energetici piu’ alti dei protoni e neutroni si situano alla stessa energia altrimenti il nucleo decadrebbe via decadimentoβ per portarsi allo stato energetico piu’ basso. La profondita’ della buca di potenziale dei protoni e’

un po’ meno di quella dei neutroni, causa l’interazione Coulombiana tra protoni.

L’energia di un oscillatore armonico 3D e’:

EN = ~ω(N + 3/2) − V⁰, N = n1+ n2+ n3, n = interi (1.30) I livelli energetici piu’ vicini sono considerati appartenere ad una shell. Nel caso di un oscillatore 3D, gruppi di livelli con differenti N sono considerati come differenti shell. Dall’analisi degli spettri appare che il potenziale del modello a shell deve essere corretto per tener conto delle forti interazione spin-orbita nei nuclei con un termine della forma

V_ls = C_lsls (1.31)

Un nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati con momento angolare totale j=l + s = l±1/2 La separazione in energia tra i due stati △E^lse’ proporzionale a(l + 1/2):

△E^ls= (l + 1/2)~2Cls (1.32)

L’ampiezza dello splitting spin-orbita aumenta conl e quindi e’ particolarmente importante per i nuclei pesanti che possiedono grandil.

1.4.3 Modello collettivo

Oltre ai modelli a goccia di liquido e a shell che sono quelli piu’ generali, esistono altri modelli, tra questi il modello collettivo o modello unificato sviluppato da Bohr e Mottelson. Il modello ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e del modello a shell. La principale assunzione, che differisce dal modello a particelle indipendenti, e’ che nel modello unificato ci sono un certo numero di nucleoni quasi liberi che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile dovuto a deformazioni del nucleo; la deformazione nella forma del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

l’effetto di pairing il modello a shell e’ valido praticamente solo in ncondizione di shell chiuse;

lontano dai numeri magici si manifestano effetti cooperativi dominanti tra nucleoni con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo. Questo significa che esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto. I nuclei con shell chiuse hanno simmetria sferica e indeformata, i moti collettivi di tali nuclei sono semplicemente vibrazioni superficiali, analoghi alle onde superficiali di una goccia di liquido. nel caso di nuclei con simmetria non sferica possono incominciare a ruotare come un tutto e questo modo di eccitazione porta alla formazione di bande rotazionali che si sovrappongono ai livelli. Come risultato della deformazione si ha l’apparizione di un momento di quadrupolo elettrico statico.

L’espressione per il calcolo dell’energia per vibrazioni di quadrupolo (l = 2) assume una forma particolarmente semplice , se si considerano solo le vibrazioni superficiali di una goccia nucleare:

~ωquad=≃ 26p(2 − γ)/AMeV (1.33)

essendoγ il rapporto dell’energia di Coulomb di una sfera (3/5Z²e²/R) alla energia di superficie Esdel nucleo indeformato che e’ uguale

γ = 0.047Z²/A (1.34)

Una stima approssimata degli stati vibrazionali piu’ bassi, con la relazione precedente, corrisponde ad energie dell’ordine del MeV, ad es. 1 MeV per l’Uranio, che e’ leggermente superiore a quella misurata, ma tuttavia accettabile in prima approssimazione.

Un nucleo possiede uno o piu’ gradi di liberta’ propri di moti collettivi, tra questi le vibrazioni dell’intera massa dei neutroni rispetto a tutti i protoni, chiamate vibrazioni di dipolo nucleare.

Queste vibrazioni portano ad una vera e propria separazione dei neutroni relativamente ai protoni.

Il fenomeno appare ad energie piu’ alte di quelle delle vibrazioni superficiali, tipicamente con valori attorno a 15-20 MeV. Una stima della frequenza di risonanza si calcola facilmente

ricordando che per ogni oscillatore la frequenza di risonanzaω0e’ determinata dalla rigidita’ k e dalla massa oscillante m(ω0 =pk/m).

Nel caso delle vibrazioni di dipolo al posto della forza elastica si ha la interazione tra i nucleoni shiftati all’interno del nucleo. Il numero di tali nucleoni e’ proporzionale alla superficie nucleare e quindi aR², mentre la massa dei nucleoni vibranti sara’ proprzionale aR³ e quindi la relazione per la frequenza e di conseguenza l’energia per la risonanza gigante sara’:

ω0 =pk/m ∝ pR²/R³ ∝ R^−1/2 ∝ A^−1/6 (1.35) che si accorda bene con i dati sperimentali.

Ad energie di eccitazione di∼5-6 MeV il numero di livelli nucleari e’ molto grande ( in particolare per nuclei medi e pesanti ) e quindi la separazione e’ molto piccola, per cui diventa utile introdurre il concetto di densita’ dei livelli con caratteistiche quantistiche cioe’ numero di livelli per unita’ di intervalli di energia. La densita’ dei livelli dipende dall’energia di eccitazione ed e’ descritta abbastanza bene per mezzo di un modello statistico del nucleo che considera l’eccitazione come un riscaldamento del gas di Fermi e cosi’ l’energia di eccitazione e’ connessa con la temperatura del nucleo.

L’energia media e’ definita come:

E =XP giEie^−Ei/kT

P gie^−Ei/kT (1.36)

dove la somma e’ fatta su tutti i livelli ,k e’ la costante di Boltzman, T la temperatura nucleare e gi e’ il peso statistico del livelloi-esimo.

Sperimentalmente si trova che nella regione di energie di eccitazione attorno a 3-5 MeV i dati concordano bene con un modello a temperatura costante descritto dalla relazione

ρ(E) ∝ 1

T exp(E − E⁰

T ) (1.37)

Ad energie di eccitazione maggiori, data la dipendenza esponenziale dall’energia della densita’

dei livelli, la distanza tra i livelli nucleari△E = 1/ρ(E) diventa confrontabile con la larghezza del livello e quindi si ha la regione del continuo,D ≃ Γ. Cosi’ a temperatura ZERO , cioe’

nucleo non eccitato, la distanza tra i livelli e’ di circa 100 KeV, nel nucleo eccitato i livelli energetici si ritucono di un fattore di circa10⁸, cioe’ di circa 1 meV.

Ogni stato eccitato ha una vita mediaτ finita per cui il nucleo ritorna allo stato fondamentale con emissione di particelle. Dal principio di incertezza si ha che la larghezza del livello di energia e’

legato alla vita mediaΓτ ≃ ~ per cui a grandi energie di eccitazione corrispondono vite medie brevi.