Esercizio 1. Si consideri il sistema
˙x = Ax(t) + bu(t),
y(t) = cx(t) + du(t), (1)
dove A =
0 1 0
0 0 1
−k −(k + 1) −(k + 1)
, b =
0 0 1
, c = [0 k 1] e d = 0. Si noti che A e c dipendono da un parametro reale k.
Si discutano stabilit`a asintotioca, stabilit`a semplice e BIBO stabilit`a del sistema al variare di k ∈R.
Soluzione. Il polinomio caratteristico del sistema `e πA(s) = s3+ (k + 1)s2+ (k + 1)s + k.
Il criterio di Routh permette di determinare per quali valori di k il polinomio πA(s) `e hurwitziano.
3 2 1 0
1 k + 1
k + 1 k
(k+1)2−k k+1
k
Poich´e (k + 1)2− k = k2+ k + 1 > 0 ∀k ∈R, πA(s) `e hurwitziano se e solo se k > 0. Dunque il sistema `e asintoticamente stabile se e solo se k > 0. Naturalmente per k > 0 il sistema
`
e anche semplicemente stabile ma potrebbe essere semplicemente stabile anche per k = 0.
In questo caso πA(s) = s3+ s2+ s = s(s2+ s + 1) che `e il prodotto di s per un polinomio hurwitziano. Pertanto il sistema `e semplicemente stabile se e solo se k ≥ 0.
Naturalmente per k > 0 il sistema `e anche BIBO stabile ma potrebbe essere BIBO stabile anche per altri valori di k se vi sono cancellazioni fra πA(s) e N (s) := c adj(sI − A) b.
Si osservi che N (s) = s2 + ks = s(s + k). Si tratta di stabilire se per qualche valore di k, s e/o s + k sono fattori di πA(s). In effetti, svolgendo la divisione si verifica che πA(s) = (s2+ s + 1)(s + k) e quindi la funzione di trasferimento `e W (s) = s/(s2+ s + 1) e il sistema `e BIBO stabile per ogni k ∈R.
Esercizio 2. Si consideri il sistema
˙x = Ax(t) + bu(t),
y(t) = cx(t) + du(t), (2)
dove A =
0 1 0
0 0 1
−k −(k + 1) −(k + 1)
, b =
0 0 1
, c = [0 − 1/2 1] e d = 0. Si noti che A dipende da un parametro reale k.
Si discutano stabilit`a asintotioca, stabilit`a semplice e BIBO stabilit`a del sistema al variare di k ∈R.
1
Soluzione. Come per caso il precedente, il polinomio carattesitico del sistema `e πA(s) = s3+ (k + 1)s2+ (k + 1)s + k e quindi il sistema `e asintoticamnete stabile se e solo se k > 0 ed `e semplicemente stabile se e solo se k ≥ 0.
Naturalmente per k > 0 il sistema `e anche BIBO stabile ma potrebbe essere BIBO stabile anche per altri valori di k se vi sono cancellazioni fra πA(s) e N (s) := c adj(sI − A) b. Si osservi che N (s) = s2 − s/2 = s(s − 1/2). Si tratta di stabilire se per qualche valore di k, s e/o (s − 1/2) sono fattori di πA(s). In effetti, s `e fattore di πA(s) solo per k = 0; in tal caso πA(s) = (s2 + s + 1)s e quindi N (s)/πA(s) = (s − 1/2)/(s2 + s + 1) e quindi il sistema `e BIBO stabile anche per k = 0. Inoltre, (s − 1/2) `e fattore di di πA(s) se e solo se πA(1/2) = 0 che, risolta per k, d`a k = −1/2. In tal caso πA(s) = (s − 1/2)(s2+ s + 1) e quindi N (s)/πA(s) = s/(s2+ s + 1) e quindi il sistema `e BIBO stabile anche per k = −1/2.
In conclusione, il sistema `e BIBO stabile per ogni k ≥ 0 e per k = −1/2 (per nessun altro valore di k il sistema `e BIBO stabile).
Esercizio 3. Sia data la funzione di trasferimento
G(s) = 1
s3+ ks2+ s + k2− 1 con k parametro reale.
Calcolata la funzione di trasferimento W (s) dello schema a retroazione rappresentato in figura, si dica per quali valori di k catena chiusa `e BIBO stabile.
y0(t) y(t)
-
+
−
- G(s) -
6
Soluzione. La funzione di trasferimento a catena chiusa `e W (s) = G(s)
1 + G(s) =
1 s3+ks2+s+k2−1)
1 + s3+ks2+s+k1 2−1
= 1
s3+ ks2+ s + k2.
I poli di W (s) sono gli zeri di D(s) = s3 + ks2 + s + k2. Il criterio di Routh permette di determinare per quali valori di k il polinomio D(s) `e hurwitziano.
3 2 1 0
1 1
k k2
1 − k k2
2
Dunque D(s) `e hurwitziano, ossia W (s) `e BIBO stabile, se e solo se 0 < k < 1.
Esercizio 4. Sia Q(s) polinomio di Hurwitz con tutti zeri reali e P (s) := Q(s2). Si dimostri che tutti gli zeri di P (s) hanno parte reale nulla.
Soluzione. Q(s) pu`o essere fattorizzato nella forma Q(s) = KY
i
(s + ai), K, ai ∈R, ai > 0 ∀i.
Quindi,
P (s) = KY
i
(s2+ ai), K, ai ∈R, ai > 0 ∀i ha tutti zeri del tipo ±j√
ai che giacciono sull’asse immaginario.
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