(1) Dati due insiemi X e Y , si dimostri che X = Y ⇒ P(X

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ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 5

MARTINA LANINI

Ricordiamo che, dato un insieme A, denotiamo con P(A) il suo insieme delle parti.

(1) Dati due insiemi X e Y , si dimostri che

X =

Y ⇒

P(X) =

P(Y ) . (2) Dati quattro insiemi A1, A2, B1 e B2 tali che

A1

=

A2

e

B1

=

B2

, si dimostri che

A1

aB1

=

A2

aB2

,

A1× B1 =

A2× B2 ,

B1A1

=

B2A2

. (3) Dati tre insiemi A , B e C , si dimostri che

(A × B)C =

AC× BC ,

AB` C

=

AB× AC

(4) Costruire una biiezione esplicita X ,−−− Y per le seguenti coppie di insiemi:

(X, Y ) = (N, Z × Z), (X, Y ) = (Z, Z × Z), (X, Y ) = (N, N t N t . . . t N).

(5) Per ogni k ∈ N+ denotiamo con Pk(N l’insieme dei sottoinsiemi di N di cardinalit`a k. Si dimostri che

|Pk(N)| = |N| ∀k ∈ N+.

(6) Sia Pf in(N) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di N di cardinalit`a finita. Si dimostri che

|Pf in(N)| = |N|.

(7) Dati due insiemi A e B , si dimostri che

A \ B =

B \ A

=⇒

A =

B .

(8) Tenendo a mente che |R| = |P(N)| si dimostri che |Rk| = |R|.

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figura

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