(1) Dati due insiemi X e Y , si dimostri che X = Y ⇒ P(X

ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 5

MARTINA LANINI

Ricordiamo che, dato un insieme A, denotiamo con P(A) il suo insieme delle parti.

(1) Dati due insiemi X e Y , si dimostri che 

X =

Y ⇒ 

P(X) =

P(Y )  . (2) Dati quattro insiemi A1, A2, B1 e B2 tali che 

A1

  =

A2

  e 

B1

 = 

B2

, si dimostri che 

A1

aB1

 =

A2

aB2

 , 

A1× B₁ =

A2× B₂ ,

  B₁^A1

  =

  B₂^A2

  . (3) Dati tre insiemi A , B e C , si dimostri che

(A × B)^C    =

A^C× B^C  ,

  A^{B` C}

   =

A^B× A^C  

(4) Costruire una biiezione esplicita X ,−−− Y per le seguenti coppie di insiemi:

(X, Y ) = (N, Z × Z), (X, Y ) = (Z, Z × Z), (X, Y ) = (N, N t N t . . . t N).

(5) Per ogni k ∈ N+ denotiamo con P_k(N l’insieme dei sottoinsiemi di N di cardinalit`a k. Si dimostri che

|P_k(N)| = |N| ∀k ∈ N+.

(6) Sia P_{f in}(N) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di N di cardinalit`a finita. Si dimostri che

|P_{f in}(N)| = |N|.

(7) Dati due insiemi A e B , si dimostri che 

A \ B  = 

B \ A

 =⇒ 

A  = 

B .

(8) Tenendo a mente che |R| = |P(N)| si dimostri che |R^k| = |R|.

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