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Risolvere, mediante il metodo degli integrali generali, il seguente problema dieren- ziale

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Academic year: 2021

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Nome, Cognome e matricola: . . . . Corso di studi: . . . .

Prova scritta di

Calcolo Numerico: metodi, modelli e algoritmi (per Ing. Ambiente e Territorio) Calcolo Numerico e(per Ing. Meccanica)

19 febbraio 2020

1. Risolvere, mediante il metodo degli integrali generali, il seguente problema dieren-

ziale 





2uxx+ 5uxy+ 3uyy = 0 u(0, y) = 1

ux(0, y) = 23y.

[Punteggio massimo: 6]

Soluzione.

u(x, y) = 5

6x2− 10

3 xy + 1.

2. Si consideri il seguente problema di Sturm-Liouville





3y00(x) + 6y0(x) + (9 + λ)y(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 5 2y0(0) + y(0) = 0

y(5) = 0, e si identichi

1 il suo spettro;

2 la funzione peso rispetto alla quale le autofunzioni sono ortogonali;

3 la relazione di ortogonalità.

[Punteggio massimo: 10]

Soluzione. 1. Gli autovalori sono dati da λk = 4γk2− 18

3



, con γk= zk

5, e (2k − 1)π

2 < zk < kπ.

Le autofunzioni sono date da

yk(x) = e−x 2γk

3 cosγk 3 x

+ sinγk 3 x

(2)

2.La funzione peso è r(x) = 13e2x 3. La relazione di ortogonalità è

Z 5 0

yk(x)yh(x)r(x)dx = Nkδhk, con Nk opportuna costante diversa da zero.

3. Si consideri il seguente problema dierenziale









ut = 3uxx+ 6 cos (xt)ux− 3xu + sin x, 0 ≤ x ≤ 5, t ≥ 0 u(0, t) = 2

u(5, t) = 3

u(x, 0) = 2 + sinπ 10x

. Si discuta

1 la sua classicazione;

2 la sua risoluzione numerica mediante dierenze nite, indicando con n e m il numero dei nodi per costruire la mesh su x e t, rispettivamente;

3 le condizioni da imporre ai passi di discretizzazione introdotti al punto 2, anchè il sistema lineare possa essere risolto con un metodo iterativo stazionario del primo ordine;

4 la stima teorica dell'errore mediante il metodo descritto al punto 2, indicando, in particolare, il numero dei punti necessari per avere un errore dell'ordine di almeno 10−4 all'istante nale T = 5 e assumendo n = m.

[Punteggio massimo: 14]

Soluzione. 1. Il problema dato è di tipo parabolico con condizioni di tipo Dirichlet.

2. Lo schema da introdurre è uno schema a 4 punti del primo ordine in t e secondo ordine in x. 3. Il passo di discretizzazione in tempo k non è soggetto a restrizioni.

Al contrario quello in x deve essere tale che h ≤ 1. 4. L'errore è O(h2 + k) e di conseguenza per raggiungere la precisione richiesta deve essere n ≥ 30 · 104− 1.

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