LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 4a P- FILA A 15/04/2014- Tempo: 60'
Tutte le risposte vanno opportunamente motivate, pena la loro esclusione dalla valutazione.
1.
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche (obbligatori l'1.a e almeno uno tra l'1.b e l'1.c)
1.a) log2
x 1
4Le condizioni di esistenza si ottengono ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0 C.E. x 1 0 x>1
Applicando la definizione di logaritmo si ha: x-1=24, da cui x=24+1=17, soluzione accettabile perché rispetta le condizioni di esistenza.
1.b) log2
x log2
x 1
0Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema 0 0 ...0_________________
1 0 x>1...1____________ 1
x x
x x
Risolvendo l'equazione si ha log2 xlog2
x1
da cui x=x-1 e quindi 0=-1, che evidentemente è impossibile, e pertanto l'equazione non ha soluzioni.
1.c) log
x 1
log
x 3
log8Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema 1 0 1...1_____________
3 0 3...3 ______ 3
x x
x x x
Risolvendo l'equazione si ha
2 2
log 1 3 log8
4 3 8
4 5 0
4 16 20 4 6
2 2 5
4 6 1
2
x x
x x
x x
x x
Di queste solo la prima è accettabile.
1.d) 3
3log 1 1log x 2 x
Le C.E. sono equivalenti a quelle dell'1.b e quindi x>1
Moltiplicando per 2 ambo i membri si ha : 2 log 3
x 1
log3xe quindi log3
x1
2 log3xe pertanto
22
1
3 1 0
3 9 4 3 5
2 2
3 5
2
x x
x x
x
x
.
Di queste solo la prima è accettabile in quanto è maggiore di 1.
2.
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche (obbligatori l'2.a e almeno uno tra l'2.b e l'2.c)
2.a) log2 x 1
La condizione di esistenza è x>0.
Risolvendo la disequazione si ha log2xlog 22 1 e da questo si ricava x<1/2; a questo punto si risolve il sistema tra la condizione di esistenza e il risultato ottenuto:
0...0 _______________
1/ 2 __________________1/ 2...
x x
che ha come soluzione 0<x<1/2.
2.b) log
x 2
log
x 1
log 5Troviamo le condizioni di esistenza:
1 0...1________________
2 0...2 _________
x x
Il sistema ha la seguente soluzione: x>2
Risolvendo la disequazione si ha:
log 1 log 5 2
x x
da cui
1 5 2 x x
e, moltiplicando ambo i membri per x-2 si ha: x-1<5
x 2
e quindi x-1<5x-10 -4x<-9 e x>9/4; mettendo a sistema la condizione di esistenza con il risultato si ha2...2 _________________
9 / 4...9 / 4 _________
x x
da cui
x>9/4.
2.c) log1/4
x2 6
log1/4
x 3
1Troviamo le condizioni di esistenza
2 6 0 6 v x> 6 ________ 6... 6 ________________
3 0 3...3 ______
x x
x x
da cui x>3
Risolvendo la disequazione si ha
2 1
1/4 1/4
6 1
log log
3 4
x x
da cui
2 6
4, essendo la base del logaritmo inferiore a 1 3
x x
. Si ha x2 6 4
x 3
e2 4 6 0
16 24 8
x x
e quindi la disequazione non ha soluzioni, in quanto la parabola non interseca l'asse delle ascisse e volge la concavità verso l'alto; pertanto essa è positiva per ogni x e quindi la disequazione non è mai negativa.
3.
Ho comprato un BFP dal valore di 2000 € al tasso d'interesse medio del 3%; sapendo che la sua scadenza è di 20 anni, posso ritirare almeno 3000 € a scadenza? In caso affermativo stabilisci il numero minimo di anni per cui è possibile ritirare tale somma. Determina gli interessi maturati a scadenza e la loro percentuale rispetto al capitale iniziale.
Il BFP è uno strumento finanziario a capitalizzazione composta . Per rispondere al primo quesito utilizziamo la formula del capitale al tempo t (t=20) C20 C0
1 i
t=2000
1,03
20=3612,22, che è superiore a 3000 €. Per stabilire il numero minimo di anni per cui è possibile ritirare la somma di 3000 euro utilizziamo la formula inversa della capitalizzazione composta
t=
log 3000
2000 13,72 13 8 19
log1,03 a m g
. Gli interessi maturati a scadenza si ottengono per sottrazione I=3612,22-2000=1612,22, che rappresentano
1612, 22
0,81 81%
2000
del capitale iniziale.
LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di BOLZANO VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 4a P- FILA B 15/04/2014- Tempo: 60'
Tutte le risposte vanno opportunamente motivate, pena la loro esclusione dalla valutazione.
1.
Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche (obbligatori l'1.a e almeno uno tra l'1.b e l'1.c)
1.a) log3
x 1
4Le condizioni di esistenza si ottengono ponendo l'argomento del logaritmo maggiore di 0 C.E. x 1 0 x>1
Applicando la definizione di logaritmo si ha: x-1=34, da cui x=34+1=82, soluzione accettabile perché rispetta le condizioni di esistenza.
1.b) log3
x 1
log 13
x
0Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema 1 0 1 ...1_________________
1 0 x<1 __________________1...
x x
x S
e quindi la disequazione
è impossibile.
1.c) log
x 2
log
x 1
log8Troviamo le condizioni di esistenza risolvendo il sistema 2 0 2...2 ______
1 0 1...1_______________ 2
x x
x x x
Risolvendo l'equazione si ha
2 2
log 1 2 log8
3 2 8
3 6 0
3 9 24 3 33
2 2 .
3 33
2 0
x x
x x
x x
x
x
Di queste solo la prima è accettabile in quanto è maggiore di 2.
1.d) 3
3
log 1 1log
x 2 x
Le C.E. sono
1 0 1_________________1...
0 0 _________ 0...
x x
x x
e quindi x<0.
Moltiplicando per 2 ambo i membri e applicando la proprietà relativa al logaritmo della potenza si ha
1x
2 x 1 2x x 2 x x2 x 1 0 0 e pertanto l'equazione è impossibile.
2.
Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche (obbligatori l'2.a e almeno uno tra l'2.b e l'2.c)
2.a) log3x 1
La condizione di esistenza è x>0.
Risolvendo la disequazione si ha log3xlog 33 1 e da questo si ricava x<1/3; a questo punto si risolve il sistema tra la condizione di esistenza e il risultato ottenuto:
0...0 _______________
1/ 3 __________________1/ 3...
x x
che ha come soluzione 0<x<1/3.
2.b) log
x 3
log
x2
log 5Troviamo le condizioni di esistenza:
3 0...3 _______
2 0...2 _____________
x x
Il sistema ha la seguente soluzione: x>3
Risolvendo la disequazione si ha:
log 3 log 5 2
x x
da cui
3 5 2 x x
e, moltiplicando ambo i membri per x-2 si ha: x-3<5
x 2
e quindi x-3<5x-10 -4x<-7 e x>7/4; mettendo a sistema la condizione di esistenza con il risultato si ha2...2 _________________
7 / 4...7 / 4 ___________________
x x
da cui
x>7/4. Mettendo a sistema questo risultato con le condizioni di esistenza si ha
7 / 4...7 / 4 __________________
3...3 ________
x x
da cui x>3, che è la soluzione della
disequazione.
2.c) log1/3
x2 5
log1/3
x 3
1Troviamo le condizioni di esistenza:
2 5 0 5 v x> 5 ______ 5... 5 _______
3 0 3...3 ____
x x
x x
che ha come soluzione x>3.
Risolvendo la disequazione si ha:
2 1
1/3 1/3
log 5 log 1/ 3
3 x
x
da cui
2 5
3 3 x
x
; moltiplicando per 3 ambo i membri si ha
2 2
5 3 3
5 3 9
x x
x x
da cui x23x 4 0... =9-16=-7<0 ; poichè la parabola volge la concavità verso l'alto e non tocca l'asse delle ascisse, è sempre positiva e quindi non sarà mai negativa;
pertanto la disequazione è impossibile.
3.
Ho comprato un BFP dal valore di 3000 € al tasso d'interesse medio del 3%; sapendo che la sua scadenza è di 20 anni, posso ritirare almeno 4500 € a scadenza? In caso affermativo stabilisci il numero minimo di anni per cui è possibile ritirare tale somma. Determina gli interessi maturati a scadenza e la loro percentuale rispetto al capitale iniziale.
Il BFP è uno strumento finanziario a capitalizzazione composta . Per rispondere al primo quesito utilizziamo la formula del capitale al tempo t (t=20) C20 C0
1 i
t=3000
1,03
20=5418,33, che è superiore a 4500 €. Per stabilire il numero minimo di anni per cui è possibile ritirare la somma di 4500 euro utilizziamo la formula inversa della capitalizzazione composta
t=
log 4500
3000 13,72 13 8 19
log1,03 a m g
. Gli interessi maturati a scadenza si ottengono per sottrazione I=5418,33-3000=2418,33, che rappresentano
2418,33
0,81 81%
3000
del capitale iniziale.
Risultati prova scritta di Matematica 4a P
L.B. 6+
V.B. 6
S.B. 7
G.B. 6
A.C. 6-
S.E. 5,5
M.F. 6
A.G. 6
S.G. 8-
I.I. 7+
C.M. 7
M.M. 5
S.M. 7-
L.P. 9+
F.P. 8-
A.P. 6-
L.R. 9-
S.R. 6-
A.V. 6,5
S.V. 6
