COGNOME e NOME N

Esame di Analisi matematica I :esercizi

Corso:OMARI
TIRONI

A.a. 2000-2001, sessione estiva, I appello.

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

Appello in cui si intende sostenere la prova di teoria :I
II
III
VOTO

ESERCIZIO N. 1. Si provi che, per ogni t∈ IR, con t ≥ 2, l’equazione z +1

z = i t

ha almeno una soluzione z∈ IC. (Come al solito, z indica il coniugato del numero complesso z.)

SVOLGIMENTO

(i) Si determinino :

• int E =

• cl E =

• fr E =

(ii) Si dica, giustificando la risposta, se cl E `e compatto.

(iii) Si dica, giustificando la risposta, se int E `e connesso.

NB: cl E indica la chiusura dell’insieme E; int E indica la parte interna di E, fr E indica la frontiera di E.

COGNOME e NOME N. Matricola

ESERCIZIO N. 3. Sia

f (x) = exp

−

x− x² .

Si determinino:

• il dominio e i segni di f :

• f
(x) =

• f
(0) = f
(1) =

• i punti di annullamento e i segni di f
:

• la crescenza, la decrescenza e gli estremi di f :

• f

(x) =

• la concavit`a e la convessit`a di f :

Si determini il numero delle soluzioni x∈ domf dell’equazione f(x) = t, al variare di t ∈ IR.

RISULTATO

SVOLGIMENTO

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ESERCIZIO N. 5. Si ponga, per ogni x≥ 1, f (x) =

 _2x

2

1 log t dt.

Si determinino, giustificando le risposte:

• ord+∞ 1 log x =

• lim

x→+∞f (x)



=

 +∞

2

1 log t dt



=

Si calcoli f
(x) =

Si provi che f `e biiettiva tra [1, +∞[ e [0, +∞[.