∫ Analisi Matematica I C Soluzioni della prova scritta dell’ 1 . 02 . 2006

Analisi Matematica I C

Soluzioni della prova scritta dell’ 1 . 02 . 2006 1.

Possiamo procedere in due modi diversi , tra loro equivalenti :

• Studiare la funzione

⎩⎨

⎧ ∈

= ₋⁻

altrimenti

) x 4 - x 3 ( e

] 4/3 , 0 [ per x ) x 3 - x 4 ( ) e

x (

h _{2x 2}

2 x

2

• Studiare direttamente la funzione data . E’ questo il procedimento che riportiamo di seguito.

C.E. R

Segno f ( x ) ≥ 0 sempre , f ( x ) = 0 per x = 0 e per x = 4/3 Limiti per x → +∞ f ( x ) → 0

per x → -∞ f ( x ) → +∞ , f ( x ) / x → -∞ ( non c’è asintoto ) Derivata f ' ( x ) = -2e ^{-2 x} 4 x -3 x² +e ^{-2 x} (4 -6 x )sgn (4 x -3 x²) =

= 2e ^{-2 x}sgn (4 x -3 x²) (3 x²−7 x +2) Definita per x ≠0 e per x ≠ 4/3 ( punti angolosi )

segno f ’ ---X___0---X_____0--- 0 1/3 4/3 2

Derivata seconda f ” ( x ) = 2e ^{-2 x}sgn (4 x -3 x²) (−6 x²+20 x −11) segno f ” ___X---0___ X---0___

0 α 4/3 β 6 / ) 34 10 ( , 6 / ) 34 - 10

( β= +

= α

2.

Poniamo x² -1 = x + t , da cui segue :

t 2

1 - t 1 - x , dt t 2

t dx 1 , t 2

t -1 x

2 2

2 2

2 = − =

= + .

Sostituendo , si ottiene : dt arctg t c arctg ( x -1- x ) c. 1

t

2 ₂

2 = + = +

∫ +

3.

Risolviamo per prima l’equazione omogenea : il polinomio caratteristico associato k² + 4 ha come radici la coppia coniugata ± 2 i . Due soluzioni complesse dell’equazione omogenea sono dunque le funzioni cos 2 x ± i sen 2 x e da queste deduciamo le due soluzioni reali cos 2 x , sen 2 x .

Per trovare una soluzione particolare dell’equazione completa , cerchiamone una dell’equazione complessa z” + 4 z = e ^{i x} nella forma A e ^{i x}. Sostituendo nell’equazione , si trova che deve essere A = 1 / 3. Dalla soluzione complessa e ^{i x} / 3 si deduce una soluzione reale dell’equazione data prendendone la parte immaginaria : ( sen x ) / 3 . In conclusione le soluzioni dell’equazione sono le funzioni

y ( x ) = a cos 2 x + b sen 2 x + ( sen x ) / 3 ( a , b costanti arbitrarie ) .

4.

) x ( o 8 / x - 2 / x 1 x

1+ ² = + ^{2 4} + ⁴ cos x = 1- x² / 2 + x⁴/ 24+o( x⁴ ) )

x ( o 2 x / 1 x

1± = ± + log² (1+ x + x²) ≈ log² (1+ x ) ≈ x² Sostituendo , il numeratore equivale a x ⁴ / 3 , il denominatore a x ³ .

Il limite richiesta vale dunque 0 .

.