Teoria di Fermi del decadimento β

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 13

9.11.2020

Teoria di Fermi del decadimento β Cinematica; spazio delle fasi

Generalizzazione della teoria di Fermi

Teoria di Fermi del decadimento β

y Nel linguaggio della Teoria Quantistica dei Campi il decadimento viene descritto come la transizione da uno stato iniziale ad uno finale

y Sappiamo che la probabilità di transizione si calcola a partire dal corrispondente elemento della matrice S

y L’operatore S deve contenere gli opportuni operatori di campo in modo che l’elemento di matrice sia diverso da zero

y Nello stato iniziale viene distrutto:

y Un neutrone o

y Fermi ipotizzò che l’interazione fosse descritta dalla densità

Hamiltoniana

y La transizione è pertanto dovuta a una interazione di contatto e puntiforme

y Deriva da un termine da aggiungere alla Lagrangiana

− ν n → p e

e†

ψ

ψ_n ψp^†

ψν

(

) ⁽

⁾

G ψ γ ψ^μ ψ γ ψ_{μ ν}

′ = H

′ = − ′

L H

(2 )3³ 2

(

)

ik x ik x

d u a e v b e

E _λ ^{λ λ λ λ}

ψ π

− ⋅ ⋅

=

∫

∑

i = n f = p e ^ ν

| | S_if = f S i

y Nello stato finale vengono creati y Un protone →

y Un elettrone → y Un antineutrino →

distrugge un fermione crea un antifermione

tutti i campi sono calcolati nel punto x

Teoria di Fermi del decadimento β

y La stessa Hamiltoniana con un ulteriore termine (hermitiano coniugato) può descrivere altre interazioni

y Ad esempio

y Distrugge un neutrino y Distrugge un neutrone y Crea un protone

y Crea un elettrone

y Quali altre reazioni descrive l’Hamiltoniana ? y E in particolare, il termine h.c.

y Nota curiosa

y La teoria di Fermi fu pubblicata in Z. Physik, 88, 161 (1934)

y L’articolo fu prima sottoposto per la pubblicazione a Nature che lo rifiutò con la seguente motivazione

y “… because it contains speculations too remote from reality to be of interest to the reader”

νn → p e^ H′ = G

(

)(

)

La costante G

y Notiamo per finire le dimensioni della costante G

y La densità Hamiltoniana H' deve avere le dimensioni di una densità di energia: [H'] = ML⁻³ = M⁴

y Alternativamente l’integrale è un’azione e nelle unità di misura naturali deve essere adimensionale: [L']L⁴ [L']M⁻⁴→[L'] = M⁴

y Le dimensioni del campo ψ si possono dedurre

y Dal termine cinetico della lagrangiana :da qui [ψ]²L⁻¹ = [ψ]²M¹ = M⁴ e infine [ψ]² = M³ _, [ψ] = M^3/2

y Dalla rappresentazione integrale

y E inoltre [u] = M^1/2 e [a] = [b] = M^−3/2

y Pertanto di nuovo [ψ] = M^3/2

y La dimensione della costante G risulta quindi [G] [ψ]⁴ = M⁴ = [G][M]⁶ da cui [G] = M⁻²

y Notare che nel caso della interazione elettromagnetica la costante di accoppiamento α è adimensionale

y Nel caso dell’interazione elettromagnetica la dimensione M⁻² necessaria per rendere adimensionale l’ampiezza è introdotta dal propagatore

2 1

137 e

α = c ≈

ψ ψ∂ i

(2 )3³ 2 ( , , , ^†, )

ik x ik x

d u a e v b e

E _λ ^{λ λ λ λ}

ψ π

− ⋅ ⋅

=

∫

∑

d x4

∫

, 2

u v ∼ E {^{a a}k^, k^†_′} ∼ ^δ(k⁻ k^′)

L’elemento di matrice

y L’Hamiltoniana d’interazione si ottiene integrando sul volume tridimensionale:

y Per capire le transizioni che possono essere indotte da questa Hamiltoniana occorre fare riferimento allo sviluppo dei campi fermionici in operatori di creazione e annichilazione

y Notiamo che

y Gli operatori a_kO distruggono particelle y Gli operatori b_kO distruggono antiparticelle y Analogamente

y Gli operatori a_kO^† creano particelle y Gli operatori b_kO^† creano antiparticelle

y Il campo ψ distrugge particelle, crea antiparticelle y Il campo ψ^† crea particelle, distrugge antiparticelle

y Notare che in ψ gli operatori b^† relativi alle antiparticelle compaiono insieme all’esponenziale di “energia negativa” e agli spinori v(p) = u(−p)

H′ =

∫

(2 )3³ 2

(

)

ik x ik x

d u a e v b e

E _λ ^{λ λ λ λ}

ψ π

− ⋅ ⋅

=

∫

∑

L’elemento di matrice

y Impostiamo adesso il calcolo dell’elemento di matrice

y Abbiamo bisogno di esprimere gli stati dello spazio di Fock utilizzando gli opportuni operatori di creazione

y Per semplificare la notazione abbiamo posto: pp{p_p; pn{p_n; pe{p_e; pν { p_ν y Inoltre è sottointeso che (li inseriremo alla fine)

y Al primo ordine dello sviluppo perturbativo l’ampiezza della transizione è data dall’elemento di matrice dell’Hamiltoniana H' fra stato iniziale e stato finale

y Per calcolare esplicitamente l’elemento di matrice y Si introduce l’espressione della densità Hamiltoniana

y Si sostituiscono gli operatori di campo nella densità Hamiltoniana con le rappresentazioni integrali

† 0

n = apn pe⁻ν = a a b_{pp pe p}^{† † †}_ν 0 pe⁻ν = 0 a a b_{pp pe pν}

| |

fi = −i

∫

A = −i

∫

( )( )

I′ = G ψ γ ψp ^μ n ψ γ ψe _{μ ν}

H

(2 )3³ 2

(

)

ik x ik x

d u a e v b e

E _λ ^{λ λ λ λ}

ψ π

− ⋅ ⋅

=

∫ ∑

k

k

I I 3

H′ =

∫

† 2 †

pp pp pp

a ≡ E a

Rappresentazione d’interazione

L’elemento di matrice

y Otteniamo pertanto

y Ricordiamo che tutti i campi sono calcolati nello stesso punto: ψ(x)

y Ricordiamo inoltre che lo spazio di Fock del nostro sistema è un prodotto tensoriale di stati di singola particella

y Possiamo pertanto riscrivere l’elemento di matrice come

y Consideriamo il termine leptonico

y L’ultima uguaglianza definisce l’operatore

( )( )

4 0 † 0

fi = −iG d x

∫

A

4 0 † 0 0 0

fi = −iG d x

∫

A

0 = 0 _p ⊗ 0 _n ⊗ 0 _e ⊗ 0 _ν

† † † 0

pp pe p

pe⁻ν = a a b _ν pe⁻ν = a_pp^† 0 ⊗a_pe^† 0 ⊗b_p^†_ν 0 ⊗ 0 _n

0 a b_{pe pν}ψ γ ψ_{e μ ν} 0 =

( )₃³ ( )₃^{3 0}

(

) (

)

2 2 2 2

e e

e ik x ik x ik x ik x

pe p ke ke ke ke k k k k

e

d d

a b u a e v b e u a e v b e

E E ^{ν ν}

ν ν μ ν ν ν ν

ν

π π γ

+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

=

∫

( ) ( )

3 3

3 3 0 0

2 2 2 2

e e

l e

d d

E E_ν

π π

≡

∫

Ol

L’elemento di matrice

y Analizziamo l’operatore

y Esaminiamo adesso il risultato dell’applicazione di questo operatore al vuoto

y Pertanto sopravvive solo il termine

(

) (

)

l = a bpe p_ν u a eke ke ^{+ ⋅} +v b eke ke ^{− ⋅} γ_μ u a ek_ν k_ν ^{− ν⋅} +v b ek_{ν ν}k ^ν⋅ = O

†

† † †

e e

e e

ik x ik x ik x ik x

pe p ke ke k k pe p ke ke k k

ik x ik x ik x ik x

pe p ke ke k k pe p ke ke k k

a b u a e u a e a b v b e u a e a b u a e v b e a b v b e v b e

ν ν

ν ν

ν μ ν ν ν μ ν ν

ν μ ν ν ν μ ν ν

γ γ

γ γ

+ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⎛ + +⎟⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎟⎠

( ) ( )

( ) ( )

†

† † †

e e

e e

pe p ke k pe p k ke

pe p ke k pe p ke k

i k k x i k k x

i k k x i k

ke k ke k

ke k k k

e x

k

u

a b a a u a v u

u v v

b a b

a b a b a b b b

e

v e

e e

ν ν

ν ν

ν ν ν ν

ν

μ ν μ ν

μ ν ν μ ν

ν ν

γ γ

γ γ

− ⋅ − + ⋅

+ ⋅ − − ⋅

⎛ + +⎟⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎟⎟⎠

† 0 0

pe p ke k

a b a a_{ν ν} = a b a b_{pe pν kν ke} 0 = 0 a b b b_{pe p ke kν} ^†_ν 0 = a b b b_{pe pν νk}^† _ke 0 = 0

0 0

a_ν = b_e 0 = 0 b b_{ke k}^†_ν = b b_k^†_{ν ke} b_ke 0 = 0

( )

† † _e

pe p ke k ke i k k x

l = a b a b_{ν ν}u γ_μvk_νe ^{+ ν ⋅} O

Ol

{ { { {

Operatori di particelle differenti: commutano

0 O_l 0

L’elemento di matrice

y Per concludere, calcoliamo il valore di aspettazione nel vuoto

y Utilizziamo le regole di commutazione per portare a destra gli operatori di distruzione

y In conclusione (inseriamo adesso esplicitamente le normalizzazioni degli stati) y Inserendo nell’espressione per e calcolando gli integrali

( )

† †

0 |O_l | 0 = 0 |a b a b_{pe pν ke kν} | 0 u_keγ_μv_kνe^{i ke+kν ⋅x}

† †

0 |a b a b_{pe pν ke kν} | 0 = 0 |a a b b_{pe ke}^† _{pν νk}^† | 0 , † 0

p ke

b _ν a

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

( ) ( )

( )

† 3 3 †

0 |a a_{pe ke} 2π δ _{ν ν} b b_{kν pν} | 0

= p −k +

{

}

( ) ( )

† 3 3

0 |a a_{pe ke} | 0 2π δ _{ν ν}

= p − k = 0 | 0 2⁽ π δ^{)3 3}(p_ν − k_ν )(2π δ)^{3 3}(p_e − k_e )

{

}

(2 )^{3 3}( )(2 )^{3 3}( ) ^{( )}

0 |O_l | 0 = 2E_pe 2E_pν π δ p_ν − k_ν π δ p_e − k_e u_keγ_μv_kνe^{i ke+kν ⋅x}

( ) ( )

( )

3 3

3 3

0 0 0 0

2 2 2 2 ^{e e}

e e i p p x

pe p e l p

e p

d d

a b u

E v e

E ^{ν ν}

ν μ ν

ν γμ

ψ γ ψ

π π

+ ⋅

=

∫

{ { {

{

0 a b_{pe pν}ψ γ ψ_{e μ ν} 0

momenti (esterni) delle particelle

L’elemento di matrice

y Un calcolo analogo per il termine adronico

y Questa volta possiamo individuare subito i termini che annullano il vuoto

y L’operatore di distruzione del protone commuta con tutti gli operatori alla sua destra

y L’operatore di creazione dell’antineutrone commuta con tutti gli operatori alla sua sinistra

y Ci riduciamo a

y L’elemento di matrice si calcola facilmente y Introducendo nell’integrale otteniamo

( )₃³ ( )₃^{3 0}

(

) (

)

2 2 2 2

p p n n

p n ik x ik x ik x ik x

pp kp kp kp kp kn kn kn kn pn

kp kn

d d

a u a e v b e u a e v b e a

E E

γμ

π π

+ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

=

∫

0 a_{pp p}ψ γ ψ^μ _{n pn}a† 0

0 0

bkp =

0 b_kn† = 0

( ) ( )

( )

3 3 †

3 3 †

2 2 0

2 0

2

p n

pp k kn pn

p n i k k x

k k

p k p p kn

n

u

a u

d d

E a

E a a γ^μ e

π π

− ⋅

∫

( ) ( )( )

( )

† † 3 3 3

0 a a a a_{pp kp kn pn} 0 = 2E_pp 2E_pn 2π δ k_n − p_n 2π δ k_p − p_p

( )

0 a_{pp p}ψ γ ψ^μ _{n pn}a† 0 = u_ppγ^μu e_pn ^{i pp−pn ⋅x}

L’elemento di matrice

y Riepiloghiamo i risultati ottenuti

y Ricordiamo inoltre l’espressione per l’ampiezza di transizione

y Inserendo i risultati trovati si trova

y L’ampiezza invariante è

( )

| _e | 0 0 _{pe p e} 0 _{pe p} ^{i pe p x} eν ψ γ ψ_{μ ν} = a b _νψ γ ψ_{μ ν} = u γ_μv e_ν ^{+ ν ⋅}

( )

| _{p n} | 0 _{pp p n pn}† 0 _{pp pn} ^{i pp pn x} p ψ γ ψ^μ n = a ψ γ ψ^μ a = u γ^μu e ^{− ⋅}

4 0 † 0 0 0

fi = −iG d x

∫

A

( ) ( )

4 p n e

p n e

i p p x i p p x fi = −iGup γ^μup up γ_μvp_ν

∫

(² )^{4 4}

( )

p n e

fi = −iGup γ^μup up γ_μvp_ν π δ pn − pp − p_ν − pe

A

p n e

fi = −iGup γ^μup up γ_μvp_ν

(2 )^{4 4 ( )} M

fi = Mfi π δ A

L’elemento di matrice

y Osserviamo che l’ampiezza contiene solo funzioni ( spinori, matrici e funzioni ordinarie ) e nessun operatore (ψ,a,b …)

y In futuro le ampiezze potranno essere scritte utilizzando regole e diagrammi di Feynman senza rifare tutto il calcolo con la teoria dei campi

y Le regole di Feynman possono essere dedotte osservando il termine della Lagrangiana relativo alla interazione fra i campi

y Ricordiamo che H' = −L'

y Al primo ordine corrispondono i diagrammi con un solo vertice y Le regole sono

y Particella uscente → spinore y Particella entrante → spinore u y Anti-particella uscente → spinore v y Anti-particella entrante → spinore y Vertice fra due particelle →

y L’ampiezza corrispondente è

(

)(

)

G ψ γ ψ^μ ψ γ ψ_{μ ν} h c

′ = − +

L

u

p n e

fi = −iGup γ^μup up γ_μvp_ν

M

v Gγ^μ

u_ν u_e

ue

up

un

up

un

v_ν

Osservabili Fisiche

y Nella fisica delle particelle Elementari si studiano sostanzialmente:

y Decadimenti:

y Vite medie

y Natura delle particelle prodotte

y Distribuzioni di energia delle particelle prodotte y Distribuzioni angolari delle particelle prodotte y Interazioni di particelle

y Sezioni d’urto

y Distribuzioni di energia delle particelle prodotte y Distribuzioni angolari delle particelle prodotte y La descrizione teorica di queste osservabili è simile

y Ampiezza Invariante M y Flusso (sezione d’urto) y Spazio delle Fasi d)_n

1 2

2 _A ⁿ

d d

Γ = m M Φ

1 1 2

2 _A d ⁿ

τ = Γ =

∫

d d n

σ = F M Φ

( )³₃ ( )^{4 4}

(

)

1

2 ...

2 2

n

n i i n

i i

d d p p p

E π δ

= π

Φ =

∏

Cinematica decadimento 1 o 3

y Da ora in poi c 

y Variabili invarianti nel decadimento y La conservazione del 4-impulso è

y Sono convenienti le seguenti variabili invarianti (uguali in tutti i sistemi di riferimento inerziale)

y La variabile s_ij è anche detta massa invariante (al quadrato) del sistema composto delle 2 particelle i e j

y Inoltre

y Si verifica facilmente che

p

p₁

p₃ p₂

1 2 3

p = p + p + p

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

12 1 2 3

2 2

23 2 3 1

2 2

31 3 1 2

s p p p p

s p p p p

s p p p p

= + = −

= + = −

= + = −

2 2 2 2

12 23 31 1 2 3

s +s + s = m +m +m + m s_

s_

s_

2 2 2

1 2 3

( )

s = p = p + p + p = m

Cinematica decadimento 1 o 3

y Nel sistema di riferimento in cui la particella p è a riposo y Nel sistema di riposo la somma dei momenti

dei prodotti di decadimento è nulla y I tre momenti giacciono su un piano y Variabili indipendenti:

y  impulsi u  componenti  y equazioni

y  angolo inessenziale di rotazione nel piano y  angoli inessenziali di orientamento del piano y Variabili indipendenti:     

y Si possono utilizzare una coppia di

s

p₁

p₃ p₂

(

)

p = m 0 s = p = m

p₁

p₃ p₂

θ₁₂ θ₂₃ θ₃₁

1 2 3

p = p + p + p

p₁

p₃ p₂

θ₁₂ θ₂₃ θ₃₁

Cinematica decadimento 1 o 3

y Si possono definire energie e momenti delle 3 particelle nello stato finale (nel sistema di riposo della particella p) in funzione di variabili invarianti

y È la stessa formula di una particella di massa che decade in una particella di massa m₁ e una di massa

y Il momento della particella y La funzione λ è

y Analogamente si trovano le relazioni per le altre particelle:

( )

23 1

s = p − p = m² + m₁² −2mE_{1 1} ^{2 12 23} 2

m m s

E s

+ −

=

m = s

23 23

m = s

2 2 2

1 = E1 −m1

p ^1/2

(

)

1

, , 2

m m s s

= λ p

(x y z, , ) (x y z)² 4yz

λ = − − −

2 2

1 23

1

2 2

2 31

2

2 2

3 12

3

2

2

2

m m s

E s

m m s

E s

m m s

E s

+ −

=

+ −

=

+ −

=

( )

( )

( )

1/2 2 2

1 23 1

1/2 2 2

2 31 2

1/2 2 2

3 12 3

, , 2

, , 2

, , 2

m m s s m m s

s m m s

s λ

λ

λ

=

=

= p p p

Cinematica decadimento 1 o 3

y Per il calcolo degli angoli si può procedere in modo analogo

( )

23 2 3

s = p + p

2 2

23 2 3 2 2 3 2 2 3 cos 23

s = m +m + E E − p p θ

2 2

23 2 3 2 3

23 2 3

cos 2

2

s m m E E

θ − + + +

= p p

( ) ( )

2 2

23 2 3 2 3

23 1/2 2 2 1/2 2 2

2 31 3 12

2

cos 2

, , , ,

2

s m m E E

m m s m m s

m

θ λ λ

− + + +

=

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 3 23 2 3

23 1/2 2 2 1/2 2 2

2 31 3 12

2 4

cos , , , ,

m m m s m E E

m m s m m s

θ λ λ

+ − +

=

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2

2 3 23 2 31 3 12

23 1/2 2 2 1/2 2 2

2 31 3 12

cos 2

, , , ,

m m m s m m s m m s

m m s m m s

θ λ λ

+ − + + − + −

=

pertanto, una volta fissate due variabili s_ij, tutte le altre grandezze cinematiche sono determinate

Regione fisica del decadimento

y Una volta scelte due variabili s_ij per descrivere lo stato finale occorre definire la regione fisica che le due variabili possono assumere^†

y Scegliamo, ad esempio s_ e s_ come variabili indipendenti

y L’equazione che definisce la frontiera sul piano s_ – s_ è definita da

y La regione di variabilità di s₂₃ si può trovare imponendo la realtà delle radici

†E. Byckling, K. Kajantie – Particle Kinematics – Wiley

( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 1/2 2 2

12 1 2 23 1 23 2 3 23 1 23 2 3

23

1 , , , ,

s m m 2 s m m s m m s m m s m m

s λ λ

± = + − ⎡⎢⎣ − + + − ∓ ⎤⎥⎦

s₂₃ s₁₂

s12⁻

s12⁺

(

)

λ ≥ ^λ

(

)

Regione fisica s ₂₃

y Combinando le due condizioni in una sola y Analogamente

(

)

λ ≥

(

)

2 2

23 1 1

2 2

1 23 1

2 2

s m m m m

m m s m m

⎧ − − ≤ − ⋅

⎪⎪⎪⎨⎪ + − ≥ ⋅

⎪⎪⎩

( )

( )

2

23 1

2

1 23

s m m

m m s

⎧⎪ ≤ −

⎪⎪⎨⎪ − ≥

⎪⎪⎩

(

)

λ ≥

(

)

2 2

23 2 3 2 3

2 2

2 3 23 2 3

2 2

s m m m m

m m s m m

⎧ − − ≥ ⋅

⎪⎪⎪⎨⎪ + − ≤ − ⋅

⎪⎪⎩

( )

( )

2

23 2 3

2

2 3 23

s m m

m m s

⎧⎪ ≥ +

⎪⎪⎨⎪ + ≤

⎪⎪⎩

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Due condizioni uguali Due condizioni uguali

Cinematica decadimento β del neutrone

y Facendo riferimento alla figura y Le energie sono date da

y Abbiamo appena visto che

y Dalla equazione per

E

y L’energia cinetica del protone è

y Analogamente si ottiene

(

)

(

)

⁽

⁾

2 2

2

n p e

p

n

m m s

E m

+ − ν

=

P p

n p

k k′

e^- ν

1

2 3 s_eν

2 2 2

e n p n p

s _ν = m + m − m E m_n² + m²_p − 2m E_{n p} ≥ m_e²

2 2

2

n e p

e

n

m m s

E m

+ − ν

=

2

2

n pe

n

m s

E^ν m

= −

2 2 2

2

n p e

n p

m m m

m E

+ −

≥

p p p

T = E − m

2 2 2

2

n p e

p p

n

m m m

m T

m

+ −

− ≥

2 2 2

2

n p e

e n

m m m

E m

− +

≤

( )

2

n p e

n p

m m m

m T

− −

≥

Cinematica decadimento β del neutrone

y Utilizzando i valori noti delle masse y m_e =0.511 MeV

y m_n =939.560 MeV y m_p =938.270 MeV

y Si ottiene in definitiva E_e ≤ 1.29 MeV

y Vediamo che, almeno vicino al limite della regione permessa, l’elettrone può raggiungere velocità relativistiche.

y Analogamente, il limite superiore alla energia cinetica del protone

y Calcoliamo il limite superiore alla velocità del protone

y Il protone è sempre non relativistico

( )^{2 2}

0.75 KeV 2

n p e

p n

m m m

T m

− −

≤ =

( )^{2 2} ₃

2 1.29

1.4 10 938

n p e

p

p p p n p

m m m

T m

m m m m

β − − Δ ⁻

= ≤ ≈ ≈ ≈ ⋅

Cinematica decadimento β del neutrone

y Riassumendo

y Nel sistema di laboratorio l’elettrone può raggiungere velocità relativistiche

y Il neutrino, che assumiamo avere massa nulla, ha sempre velocità relativistiche (β_ν )

y Il neutrone è a riposo

y Il protone ha velocità non relativistiche

y Per i leptoni è pertanto indispensabile utilizzare una teoria relativistica y Utilizzeremo gli spinori quadridimensionali

y Per il protone e per il neutrone è sufficiente un’approssimazione non relativistica

y Utilizzeremo gli spinori bidimensionali di Pauli y Per un nucleo valgono gli stessi argomenti

Lo spazio delle fasi

y Studiamo lo spazio delle fasi per il decadimento β ( decadimento a 3 corpi )

y La presenza della funzione δ³(0  k  k′  p) rende banale l’integrazione sul 3-momento del protone (d³p)

y Da ora in poi è sottointeso che p = –(k + k′)

y Da questo punto in poi si può sviluppare il calcolo in due modi differenti:

y Il primo finalizzato allo studio del plot di Dalitz

y Il secondo finalizzato al calcolo della distribuzione dell’energia dell’elettrone o di correlazioni angolari

y Affrontiamo il primo caso

y Sviluppiamo il modulo e i differenziali

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 _e 2 2 2 2 _p

d d d

d P k k p

E E_ν E

π δ

π π π

′ ′

Φ = k k p − − −

( )

( ) ( )

4 3 3 2 2

9

2 1

2 2 2 ;

2 ^{e p n e p p p}

d d

d m E E E E m

E E_ν E ^ν

π δ

π

′ ′

Φ = k k − − − = + +

k k

( )

( )

(

)

2 ^{e p n e e p}

dkd dk d

d m E E kk m

E E E

ν ν ν

ν

π δ θ

π

′ ′

Ω Ω ′ ′

Φ = k k − − − + + +

k k

≡ k k

Lo spazio delle fasi

y Ricordiamo che il decadimento è confinato su un piano

y Possiamo scegliere la direzione dell'elettrone come riferimento per gli angoli e integrare su dΩ_e o 4 π

y Inoltre dΩ_ν = 2πd cosθ_eν

y Infine, dal momento che

y Otteniamo

p

k′

k

θ_pe θ_eQ θ_pQ

e

Q

( ) ^{( )}

2 2

5

1 1

2 2 2

2

e

e p

dkd dk d

d E E E

ν ν

π δ

′ ′

Ω Ω

Φ = k k

( ) ^{( )}

2 2

4

2 1

2 2 2

2 e p

dk dk d

d E E E

ν

ν δ

π

′ ′ Ω

Φ = k k

( ) ^{( )}

2 2

3

2 cos 1

2 2 2

2

e

e p

dk dk d

d E E E

ν ν

θ δ

π

′ ′

Φ = k k

2 p2 2

E = + m → EdE = pdp

( ) ^{( )}

e 3

2 cos 1

2 2 2

2

e e

e p

E kdE E k dE d

d E E E

ν ν ν

ν

θ δ

π Φ = ′

( )^{3 ( )}

1 1

4 cos

2 _p ^{e e}

d kdE k dE d

E ^ν θ δ^ν

π ′

Φ =

≡ k k

( ) (f (cos _eν ))

δ = δ θ