Polarizzazione nel decadimento β

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 16

22.11.2020

Polarizzazione nel decadimento β

Esperimento di Frauenfelder

Hamiltoniana del decadimento β

La violazione di C

B B

P P V

V

y z

non è uno specchio y Il decadimento β viola anche la simmetria fra

particelle e antiparticelle

y La distribuzione angolare degli elettroni rispetto allo spin è

y Il coefficiente α

y È negativo per la materia y È positivo per l’antimateria

y Se nel nostro esperimento sostituiamo la materia con l’antimateria

y Il campo magnetico cambia direzione: la corrente è di antielettroni

y Il momento magnetico si allinea a B

y Lo spin è in direzione opposta al momento

α !

Invarianza per trasformazioni CP

x y z

B P B

P V V

è uno specchio

y x z

α > 

α <  y Se si applicano contemporaneamente le due

trasformazioni C e P si ottiene un esperimento possibile che produce un risultato identico

all’originale

y L’esperimento originale …

y L’esperimento allo specchio e fatto di antimateria …

y Il campo magnetico punta verso l’alto y La spira è percorsa in senso inverso y La corrente è composta da antielettroni y Il momento magnetico punta verso l’alto

y Si allinea a B

y Lo spin punta verso il basso y È un antinucleo

y Dato che si tratta di un antinucleo α !

y Gli elettroni vanno nella direzione dello spin verso il basso

L’interazione debole è invariante per CP

La violazione della parità

y La scoperta che la parità è violata nei decadimenti β impone una revisione dell’Hamiltoniana

y In particolare la richiesta che i singoli termini debbano essere scalari non ha più una motivazione fisica

y L’Hamiltoniana più generale non deve necessariamente conservare la parità y Ogni termine può avere sia una parte scalare sia una parte pseudo-scalare

y Pertanto l’Hamiltoniana risulta composta da due termini

y La parte PV dell’Hamiltoniana contiene termini pseudoscalari

La violazione della parità

y Il termine PC (Parity Conserving) è quello che abbiamo studiato fino ad ora ed è pari per trasformazioni di inversione

y Il nuovo termine PV (Parity Violating) contiene prodotti di grandezze dispari per trasformazioni di inversione

y Ricordiamo che l’ampiezza di transizione è costruita con una serie perturbativa in funzione di H′

y In particolare al primo ordine

y Una transizione è permessa se l’elemento di matrice di H' è non nullo y Una transizione è proibita se l’elemento di matrice di H' è nullo

y Consideriamo due autostati di P |a> e |b> con parità diversa

y Si può dimostrare che

La violazione della parità

y Cominciamo con l’elemento di matrice del termine PC fra due autostati

di P

con parità diversa

y Quindi

y Calcoliamo adesso l’elemento di matrice del termine PV fra due autostati

di P

con parità diversa

y Quindi è possibile che

Conseguenze Fenomenologiche

y Le modifiche introdotte non alterano la parte nucleare e pertanto y Si mantiene la classificazione dei vari termini di interazione

y Transizioni di Fermi e transizioni di Gamov-Teller con le regole di selezione sugli spin nucleari dedotte precedentemente

y Fino a quando non si studiano processi con polarizzazione del nucleone iniziale non si hanno termini di interferenza SA, ST, VA, VT

y Gli elementi di matrice si calcolano sempre utilizzando la tecnica delle tracce y In particolare ricordiamo il calcolo dell’elemento di matrice di Fermi

y Assumendo m_ν = 0 diventa (ipotesi non essenziale)

Conseguenze Fenomenologiche

y Fare attenzione al segno del secondo operatore di vertice

y Ricordiamo infatti che la somma sugli stati di polarizzazione dava

y Abbiamo allora

y E anche

Gli elementi di matrice

y Le tracce possono essere semplicemente sviluppate ricordando le proprietà

y Per gli elementi di matrice si ottiene

Conseguenze Fenomenologiche

y Consideriamo ad esempio l’elemento di matrice di Fermi

y L’assenza del termine di interferenza, dedotta dallo studio della forma dello spettro, ha conseguenze meno dirette

y C_S C_V ( 1 – α_S α_V ) = 0

y Questo può succedere per una delle 3 condizioni

y Pertanto risulta più complicato trarre conclusioni dagli esperimenti già visti y Per le correlazioni angolari non ci sono sostanziali differenze

y Infatti cambia solo il valore numerico delle due costanti di accoppiamento

y Occorre inventare nuovi esperimenti per determinare le nuove costanti y L’esperimento di Wu et al. fornisce le nuove informazioni necessarie

Elettroni polarizzati

y L’osservazione della direzione privilegiata di emissione degli elettroni nell’esperimento di Wu et al. ha una implicazione molto importante sulla direzione dello spin (polarizzazione) dell’elettrone

y Per conservare il momento angolare l’elettrone e il neutrino devono portare via una quantità S = 1·= di momento angolare

y Il neutrino e l’elettrone devono avere gli spin paralleli

y Dall’esperimento di Wu gli elettroni sono emessi preferibilmente in basso y Più precisamente in direzione opposta allo spin del nucleo

y L’elettrone deve quindi essere polarizzato in direzione opposta alla sua direzione di moto: elettrone left-handed

y Verifichiamo se l’Hamiltoniana che abbiamo scritto prevede questo fenomeno y Calcoliamo la polarizzazione degli elettroni nel decadimento β

J

= 5

60

Co J

= 4

60

Ni*

S = 1

Polarizzazione nel decadimento β

y La polarizzazione degli elettroni è definita come

y Il numero degli elettroni Right-Handed è N_R

y Il numero degli elettroni Left-Handed è N_L

y I numeri N_R e N_L sono proporzionali alle larghezze di decadimento

y Come in precedenza l’elemento di matrice contiene interazioni S,V,A,T

Polarizzazione nel decadimento β

y Rivediamo i singoli termini

y Osserviamo in particolare la polarizzazione degli spinori dell’elettrone

y Scalare

y Vettoriale

y Vettoriale assiale

y Tensoriale

Polarizzazione nel decadimento β

y Il calcolo del quadrato del modulo procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente sommando su tutti gli stati di polarizzazione non osservati ( n, p, ν )

y Dato che sommiamo sulla polarizzazione iniziale (del neutrone) non ci sono termini di interferenza SA, ST, VA, VT

y Di nuovo abbiamo i due elementi di matrice di Fermi e di Gamov-Teller y Le somme sugli stati di polarizzazione si fanno con la tecnica delle tracce

y La polarizzazione degli elettroni si introduce tramite i proiettori di spin y L’elemento di matrice di Fermi è pertanto ^{n p}

k' e⁻ k ν

Polarizzazione nel decadimento β

y Occorre definire i vettori di polarizzazione

y Il vettore s_R definisce una polarizzazione parallela alla direzione di moto:

polarizzazione Right-Handed

y Il vettore polarizzazione ξ (nel sistema di riposo) è parallelo a p ( |ξ| = 1)

y Il vettore s_L si ottiene semplicemente cambiando ξ → −ξ e quindi

Polarizzazione nel decadimento β

y Ricordiamo la definizione di polarizzazione

y Il numero di elettroni per le due polarizzazioni è dato da

y Pertanto la polarizzazione è data da y L’integrale sullo spazio delle fasi è su

tutte le variabili cinematiche escluso E_e y Vedremo che ℘ dipende dall’energia y Calcoliamo il numeratore

y Ricordiamo che

Polarizzazione nel decadimento β

y Esaminiamo adesso un generico termine

y Ad es. il termine scalare

y Possiamo trasportare ( 1 − α_Sγ⁵ ) a sinistra trasformandolo in ( 1 + α_Sγ⁵ ) y Ricordiamo che ( γ⁵ )²= I

y Otteniamo pertanto

y Introduciamo questi risultati nel calcolo

y Possiamo ancora anticommutare

γ

anticommuta con commuta con

Polarizzazione nel decadimento β

y Per il terzo termine

y Introducendo nell’espressione

y E finalmente

Polarizzazione nel decadimento β

y Siamo quasi alla fine !!!

y Ricordiamo la proprietà del vettore s^μ: s_R·k = 0 y Per finire, ricordiamo che s_R, k, kc sono

y Introduciamoli nel calcolo

Polarizzazione nel decadimento β

y Ricordiamo che

y L’integrale sulle direzioni dell’elettrone e del neutrino elimina i pezzi dipendenti da cosθ_eν

y Il numeratore

y Diventa

y Per quel che riguarda il denominatore notiamo che i termini M^R e M^L contengono rispettivamente

y La somma di questi due termini è pertanto 1

y Il denominatore (integrato sulle direzioni) risulta uguale al risultato trovato

Polarizzazione nel decadimento β

y La polarizzazione degli elettroni è pertanto

y Vedremo fra poco che gli studi sperimentali della polarizzazione degli elettroni hanno mostrato che

y Pertanto le misure sperimentali richiedono che

Polarizzazione nel decadimento β

y Ricordiamo che dalla misura della distribuzione dell’energia si conclude che il termine di interferenza di Fierz è assente

y L’implicazione di questo risultato sulle costanti di accoppiamento è

y Abbiamo già notato non possiamo trarre conclusioni solo da questo risultato y D’altro canto, dalla misura delle correlazioni angolari

y Questo risultato implica

Misura della Polarizzazione

y Per misurare la polarizzazione di un elettrone occorre chiedersi se ci sono effetti misurabili dipendenti dalla polarizzazione nella interazione di un elettrone o con un campo coulombiano o con un elettrone atomico

y Fra i metodi principali y Mott scattering

y Scattering con il campo Coulombiano del nucleo di un atomo pesante y Sensibile solo polarizzazione trasversale alla direzione di moto

y Møller scattering

y Interazione dell’elettrone che si vuole analizzare con un elettrone atomico y L’elettrone atomico deve essere polarizzato

y Bhabha scattering

y Come il precedente ma per analizzare la polarizzazione di positroni y Analizzeremo solo un esperimento che usa il primo metodo

y Purtroppo lo scattering Coulombiano dipende dalla polarizzazione solo al secondo ordine dell’approssimazione di Born

y L’effetto è piccolo: si usano nuclei pesanti (alto Z )

y Inoltre, come già osservato, è sensibile solo ad una polarizzazione trasversale

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Come trasformare la polarizzazione longitudinale in trasversale ? y Ovviamente con un campo elettromagnetico

y Per descrivere l’effetto di un campo elettromagnetico classico sullo spin di una particella si può utilizzare l’equazione semiclassica ( Bargman,Michel,Telegdi )^†

y L’equazione descrive il moto del vettore di polarizzazione s^μ sotto l’effetto di un campo elettromagnetico

y Il campo non deve essere troppo intenso y Vale per qualunque campo “macroscopico”

y Solo per campi a livello microscopico potrebbe essere non valida

y Ė più intuitivo utilizzare una equazione che descriva il moto del vettore ξ nel sistema di riposo istantaneo della particella

momento magnetico

momento magnetico anomalo

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Il sistema utilizzato per ruotare la polarizzazione fu inventato nel 1951 da Tolhoek e de Groot

y Una guida circolare realizza un campo elettrico radiale (B = 0) y Gli elettroni di energia opportuna seguono una

traiettoria circolare

y Il campo elettrico fornisce una forza centripeta y Se l’energia dell’elettrone non è elevata ( γ ≈ 1 )

y Il moto è praticamente non relativistico

y Vedremo che la polarizzazione non risente del campo elettrico y La direzione dello spin rimane invariata

y Se l’energia dell’elettrone è elevata (γ  1 )

y Lo spin sente l’effetto del campo elettrico e precessa

y Calcoliamo adesso la rotazione del vettore polarizzazione senza assunzioni sulla velocità dell’elettrone

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Iniziamo calcolando il raggio dell’orbita in funzione del campo elettrico E e della velocità

y La legge di Newton

y La variazione di quantità di moto dell’elettrone quando ha percorso una lunghezza Rdθ è dp = pdθ y Pertanto

y La velocità angolare è

y Il periodo

R θ

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Studiamo adesso la precessione dello spin

y Ricordiamo l’equazione Bargman, Michel, Telegdi

y Per B = 0 diventa

y Il vettore E×β è perpendicolare al piano individuato da E e β y Il vettore ξ×(E×β) è sul piano ed è perpendicolare a ξ

y Riscriviamo l’equazione di BGT

y Descrive una precessione y Lo spin quindi precessa

y La variazione dello spin dξ è sul piano

β

E

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Supponiamo adesso che l’elettrone abbia percorso un tratto ΔA dell’arco

y Vogliamo calcolare l’angolo fra y La quantità di moto p

y Il vettore di polarizzazione ξ

y Per percorrere la distanza ΔA l’elettrone impiega un tempo

y Ricordiamo la velocità della precessione dello spin

y Pertanto il vettore di polarizzazione ξ e il vettore p ruotano rispettivamente

y Eliminiamo β

α

Rotazione del Vettore di Polarizzazione

y Pertanto dopo aver percorso uno spazio ΔA = RΔα l’angolo fra i due vettori è

y Pertanto, affinché la quantità di moto e lo spin siano perpendicolari deve essere

y Dato un elettrone di energia mc²γ la guida deve avere una lunghezza RΔα y L’angolo Δα è dato da

α

Sezione d’urto Mott

y La sezione d’urto Mott è relativa all’interazione di un elettrone con il campo Coulombiano

y Il bersaglio ha massa infinita

y Si tiene conto dello spin dell’elettrone con la teoria di Dirac

y Abbiamo fatto questo calcolo al primo ordine della teoria perturbativa y A questo ordine non appaiono effetti legati alla polarizzazione

y Una dipendenza dalla polarizzazione compare al secondo ordine^† y Diamo solo il risultato del calcolo

p_i p_f

Esperimento di Frauenfelder

y La figura mostra schematicamente l’apparato dell’esperimento di Frauenfelder per la misura della polarizzazione degli elettroni di un decadimento β

y Notiamo che se l’angolo di deflessione θ va a sinistra il prodotto vettoriale

cambia segno (cambia il segno della componente 1 di p₂ )

1 2

3

Esperimento di Frauenfelder

y Supponiamo adesso che gli elettroni siano completamente polarizzati y In un caso paralleli alla quantità di moto (RH)

y Nell’altro caso antiparalleli (LH)

y Dopo la rotazione gli elettroni sono ancora completamente polarizzati y Nel primo caso verso l’alto

y Nel secondo verso il basso

y Ricordiamo la formula della sezione d’urto

y Le misure da fare sono

y La sezione d’urto per un angolo θ_R y Spin up

y Spin down

T

Esperimento di Frauenfelder

y Nell’esperimento gli elettroni non sono completamente polarizzati y La misura della polarizzazione ℘ è l’obbiettivo dell’esperimento y La polarizzazione degli elettroni è data da

y N₊ polarizzati up (probabilità ) y N₋ polarizzati down (probabilità )

y La sezione d’urto osservata per un angolo θ_R è

y Analogamente, per un angolo θ_L si osserva

y Definiamo l’asimmetria δ

y Ci mettiamo nella condizione

y Si può verificare che

y S(θ) è noto: la misura di δ permette di misurare ℘ y Osservazioni

y S(θ) dipende anche dall’energia dell’elettrone

y È necessario che gli angoli θ_R e θ_L siano perfettamente simmetrici y L’esperimento è sensibile solo alla polarizzazione trasversale

y Un errore nella rotazione dello spin porta ad un errore sistematico su ℘ y L’effetto aumenta al crescere di Z

y Si usano metalli pesanti come l’oro

y Per ottimizzare l’esperimento si può cercare l’angolo al quale l’effetto è più grande

y Occorre però tenere presente che al crescere dell’angolo la sezione d’urto diminuisce

y Occorre pertanto trovare un compromesso tra la dimensione dell’effetto misurato e l’errore statistico con cui esso viene

Esperimento di Frauenfelder

200·S(S)

e⁻ e⁺

Determinazione di C _A e C _V

y Abbiamo già visto che la misura della vita media di nuclei permette di determinare la costante di accoppiamento G_β

y Tuttavia, il parametro ξ contiene una dipendenza dal rapporto C_A/C_V

y I decadimenti di Fermi contengono solo il termine <1> e permettono pertanto la determinazione di G_β^† senza ulteriori informazioni

y Ulteriori misure di su transizioni di Gamov-Teller o miste permettono la determinazione di |C_A/C_V|

y †Blucher, Marciano PDG 2006 J. Phys. G 33 pag. 677 Ceccucci, Ligeti, Sakai PDG 2006 J. Phys. G 33 pag. 138

|C_A/C_V|

Determinazione di C _A e C _V

y Il segno relativo delle due costanti si può determinare con la misura di una grandezza osservabile che dipenda dal prodotto C_A⋅C_V e quindi dall’interferenza fra termini di Fermi e Gamov-Teller

y Occorre pertanto studiare transizioni di nuclei polarizzati

y Per nuclei non polarizzati l’elemento di matrice contiene il termine 1 + a β_e⋅ β_ν y Osservabili che dipendono dal vettore di polarizzazione del nucleo σ

contengono termini del tipo

y Per neutroni polarizzati si trova

y Misure di correlazione angolare fra la direzione dell’elettrone (o del neutrino) e lo spin nucleare mostrano che il segno relativo è positivo

L’Hamiltoniana del Decadimento β

y Gli esperimenti descritti hanno permesso la determinazione della forma dell’Hamiltoniana del decadimento β

y Sono stati esclusi i termini Scalare e Tensoriale

y Sono state determinate le costanti degli accoppiamenti Vettoriale e Assiale

y L’Hamiltoniana pertanto contiene solo i termini V e A

y Il termine assiale può essere semplificato utilizzando

(γ

)

= I

y Infine raccogliamo la parte leptonica

L’Hamiltoniana del Decadimento β

y Possiamo ulteriormente semplificare

y E ancora

y Come abbiamo già detto κ = 1.27 e GC_V { G_β

y Il valore di κ diverso da 1 dipende dal fatto che il nucleone non è una particella puntiforme

y Il protone ha una struttura

y Ritorneremo su questo punto in seguito

y Per il momento trascuriamo questo aspetto e assumiamo κ = 1

L’Hamiltoniana del Decadimento β

y Definiamo due generiche correnti ( sia adronica che leptonica) y Una corrente Vettoriale

y Una corrente Assiale

y Le due correnti (adronica e leptonica) compaiono nell’Hamiltoniana nella combinazione

y Ė questa la famosa forma V−A delle correnti deboli ( cariche ) y Infine, per uniformarci alle notazioni maggiormente utilizzate

ridefiniamo la costante di Fermi

y La costante G è stata definita da Fermi prima della scoperta della violazione della parità

y La generalizzazione dell’interazione di Fermi e l’introduzione della

violazione della parità hanno condotto ad una Hamiltoniana che contiene due correnti (V−A)

y Per mantenere la stessa definizione di Fermi è necessario dividere G per

Proiezioni Chirali

y Esaminiamo in maggiore dettaglio la corrente leptonica

y L’elemento di matrice di l^μ(0) fra il vuoto e lo stato è

y Abbiamo già calcolato l’elemento di matrice di un operatore simile nel caso del decadimento β (slide )

y Ci chiediamo cosa implica la presenza della matrice 1−γ⁵ y In particolare cosa implica per l’elettrone

y Abbiamo visto che nel decadimento β gli elettroni sono polarizzati y Trasportiamo la matrice 1−γ⁵ a sinistra

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Proiezioni Chirali

y Ricordiamo la definizione dell’operatore elicità

y Nel seguito utilizzeremo la rappresentazione di Dirac y In questa rappresentazione l’operatore

Σ

y Consideriamo gli spinori u₊ e u₋

y χ_r sono spinori bidimensionali autovettori di

y Si verifica facilmente che gli spinori u_r sono autostati dell’elicità y Infatti

y In definitiva, per λ = r1 e analogamente

Proiezioni Chirali

y Il risultato precedente significa che u_r rappresentano spinori completamente polarizzati ( ℘ = 100% )

y u₊ è uno spinore con polarizzazione 100% in direzione parallela a p y u₋ è uno spinore con polarizzazione 100% in direzione antiparallela a p

y Consideriamo adesso un arbitrario spinore nella rappresentazione di Dirac ( non necessariamente normalizzato)

y Definiamo le proiezioni chirali u_R e u_L

y Ricordiamo la forma di γ⁵ nella rappresentazione di Dirac

y Otteniamo

Proiezioni Chirali

y Lo spinore u_L non è un autostato dell’operatore elicità h

y Si può verificare facilmente che il valore medio dell’elicità è

y Consideriamo adesso u_R

y Analogamente al caso precedente si può verificare che

y Pertanto gli spinori u_L e u_R

y Non sono autostati dell’operatore elicità

y Tuttavia rappresentano stati con polarizzazione parziale ℘ = rβ

y Notiamo infine che per β o 1 la polarizzazione diventa completa e le due

Proiezioni Chirali

y Abbiamo pertanto ritrovato il risultato sulla polarizzazione β che avevamo ottenuto precedentemente con il calcolo esplicito dell’elemento di matrice

y Possiamo quindi interpretare la comparsa della polarizzazione degli elettroni come il risultato della struttura V−A della corrente leptonica

y L’operatore 1−γ⁵ proietta uno spinore arbitrario in uno stato di polariz- zazione parziale longitudinale left-handed

y Ribadiamo inoltre che la polarizzazione diventa completa quando β → 1

y Le notazioni u_R e u_L per indicare le proiezioni chirali possono generare confusione

y Bisogna tenere distinti i concetti di chiralità e elicità