Propagatore e invarianza di gauge Teoria di Fermi del decadimento β

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 12

3.11.2020

Propagatore e invarianza di gauge Teoria di Fermi del decadimento β

Cinematica; spazio delle fasi

Generalizzazione della teoria di Fermi

Propagatore e invarianza di gauge

y Abbiamo detto che il propagatore fotonico è la funzione di Green dell'equazione del potenziale A_μ

y Siamo interessati alla sua trasformata di Fourier y Nel dominio della variabile q l'equazione diventa

y Tuttavia l'equazione di A_μ non è la più generale

y La forma che consideriamo presuppone il gauge di Lorentz ∂^μA_μ = 0 y Nel caso generale (senza fissare il gauge)

y Verifichiamo che l'operatore g_μν − ∂_μ∂_ν non ha un operatore inverso come avviene invece per l'equazione precedente

y Nello spazio dei momenti

y Cerchiamo l'operatore inverso nella forma y Cerchiamo A e B tali che

Propagatore e invarianza di gauge

y Abbiamo

y Sviluppando

y Pertanto l'operatore non ha un'inverso

y Il problema viene risolto generalizzando l'equazione del potenziale

y La generalizzazione equivale ad aggiungere un termine nella Lagrangiana

y Verifichiamo che con questa generalizzazione l'inverso esiste ed è impossibile

Propagatore e invarianza di gauge

y Utilizziamo la stessa ipotesi y Abbiamo

y Sviluppando

y Uguagliamo rispettivamente a 1 e a 0 i coefficienti di δ_μν e q_μq_ν

y Otteniamo

y E infine

y Pertanto il propagatore è

inserendo nella seconda equazione

Propagatore e invarianza di gauge

y Il parametro ξ permette di fissare il gauge y Il propagatore del fotone dipende dal gauge y Fra i valori di ξ più usati

y Il gauge di Feynman ξ = 1 che coincide con il gauge di Lorentz y Il gauge di Landau ξ = 0

y Naturalmente il risultato fisico non può dipendere dal gauge y L'elemento di matrice deve essere indipendente da ξ

y La conservazione della corrente elettromagnetica assicura che l'elemento di matrice sia indipendente dal gauge

y Ricordiamo il risultato della diapositiva

y Gli elementi di matrice delle correnti originavano da termini

y Per l'invarianza di gauge della teoria questa corrente è conservata 2622200

Propagatore e invarianza di gauge

y Ricordiamo l'equazione di Dirac

y Abbiamo pertanto verificato che per una corrente conservata q_μj^μ(x) = 0

y Esaminiamo il propagatore nel gauge ξ

y Osserviamo che se il propagatore è accoppiato a correnti conservate il termine gauge-dependent, che contiene q_μq_ν, dà un contributo nullo

Gauge independent !

Teoria di Fermi del decadimento β

y Nel decadimento β⁻ un neutrone all’interno del nucleo si trasforma in un protone emettendo un elettrone e un antineutrino

y All’interno del nucleo può avvenire un decadimento β^:

la trasformazione di un protone in neutrone con l’emissione di un positrone e di un neutrino

y La prima teoria soddisfacente del decadimento β fu formulata da Enrico Fermi nel 1934

y La storia della radioattività precedente al lavoro di Fermi a partire dalla scoperta di Bequerel è raccontata in un interessante articolo di A. Pais [1]

y Il decadimento β è dovuto ad una forza molto debole, l’Interazione Debole y Nonostante sia poco intensa è molto importante e determina aspetti della

nostra vita quotidiana

y Ad esempio la velocità con cui procede la reazione di produzione del deuterio all’interno del sole [2]

y [1] - A. Pais - Radioactivity’s two early puzzles - Reviews of Modern Physics, Vol. 49, pag. 925 – 1977 y [2] - R. N. Cahn - The eighteen arbitrary parameters of the standard model in your everyday life

Review of Modern Physiscs, Vol. 68, pag. 951 – 1996

Decadimento β del neutrone

y Enrico Fermi propose una teoria per il decadimento β nel 1934 y Fermi si ispirò all’interazione elettromagnetica di due particelle

cariche che è interpretata come l’interazione di due correnti

y Le correnti introdotte sono costruite utilizzando gli operatori di campo per i due elettroni

y Lungo la linea di una corrente ci sono delle grandezze fisiche che si conservano

y In questo caso

y La carica elettrica (ψ_i distrugge −e, ψ_f crea −e) y Il numero fermionico

y La corrente J₁

y Distrugge un elettrone di momento p₁ y Crea un elettrone di momento p₃

y Analogamente, la corrente J₂

y Distrugge un elettrone di momento p₂ y Crea un elettrone di momento p₄

p₁

p₂

p₃

p₄

Decadimento β del neutrone

y Utilizzando questo modo di vedere anche per il decadimento β le due correnti hanno il seguente ruolo

y La prima è la corrente adronica y Conserva il numero barionico

y Non conserva la carica elettrica y La seconda è la corrente leptonica

y Conserva il numero leptonico y Non conserva la carica elettrica

k n p k'

p p'

e⁻ ν_e W⁻

p_ n p p_

p₂ ν e^ pp_2 p_ e^

ν

y La corrente J₁

y Distrugge un neutrone n di momento p₁ y Crea un protone p di momento p_

y La corrente J₂

y Crea un elettrone e^ di momento p_ y Distrugge un neutrino ν di momento p_ y Ovvero

y Crea un antineutrino ν di momento p_ y Cosa sostituisce il fotone ?

y Fermi suppose una interazione di contatto

y Oggi interpretiamo con lo scambio di un bosone carico e con massa: W^±

Teoria di Fermi del decadimento β

y Nel linguaggio della Teoria Quantistica dei Campi il decadimento viene descritto come la transizione da uno stato iniziale ad uno finale

y Sappiamo che la probabilità di transizione si calcola a partire dal corrispondente elemento della matrice S

y L’operatore S deve contenere gli opportuni operatori di campo in modo che l’elemento di matrice sia diverso da zero

y Nello stato iniziale viene distrutto:

y Un neutrone o

y Fermi ipotizzò che l’interazione fosse descritta dalla densità

Hamiltoniana

y La transizione è pertanto dovuta a una interazione di contatto e puntiforme

y Deriva da un termine da aggiungere alla Lagrangiana

y Nello stato finale vengono creati y Un protone →

y Un elettrone → y Un antineutrino →

distrugge un fermione crea un antifermione

tutti i campi sono calcolati nel punto x

Teoria di Fermi del decadimento β

y La stessa Hamiltoniana con un ulteriore termine (hermitiano coniugato) può descrivere altre interazioni

y Ad esempio

y Distrugge un neutrino y Distrugge un neutrone y Crea un protone

y Crea un elettrone

y Quali altre reazioni descrive l’Hamiltoniana ? y E in particolare, il termine h.c.

y Nota curiosa

y La teoria di Fermi fu pubblicata in Z. Physik, 88, 161 (1934)

y L’articolo fu prima sottoposto per la pubblicazione a Nature che lo rifiutò con la seguente motivazione

y “… because it contains speculations too remote from reality to be of interest to the reader”

La costante G

y Notiamo per finire le dimensioni della costante G

y La densità Hamiltoniana H' deve avere le dimensioni di una densità di energia: [H'] = ML⁻³ = M⁴

y Alternativamente l’integrale è un’azione e nelle unità di misura naturali deve essere adimensionale: [L']L⁴ [L']M⁻⁴→[L'] = M⁴

y Le dimensioni del campo ψ si possono dedurre

y Dal termine cinetico della lagrangiana :da qui [ψ]²L⁻¹ = [ψ]²M¹ = M⁴ e infine [ψ]² = M³ _, [ψ] = M^3/2

y Dalla rappresentazione integrale

y E inoltre [u] = M^1/2 e [a] = [b] = M^−3/2 y Pertanto di nuovo [ψ] = M^3/2

y La dimensione della costante G risulta quindi [G] [ψ]⁴ = M⁴ = [G][M]⁶ da cui [G] = M⁻²

y Notare che nel caso della interazione elettromagnetica la costante di accoppiamento α è adimensionale

y Nel caso dell’interazione elettromagnetica la dimensione M⁻² necessaria per rendere adimensionale l’ampiezza è introdotta dal propagatore

L’elemento di matrice

y L’Hamiltoniana d’interazione si ottiene integrando sul volume tridimensionale:

y Per capire le transizioni che possono essere indotte da questa Hamiltoniana occorre fare riferimento allo sviluppo dei campi fermionici in operatori di creazione e annichilazione

y Notiamo che

y Gli operatori a_kO distruggono particelle y Gli operatori b_kO distruggono antiparticelle y Analogamente

y Gli operatori a_kO^† creano particelle y Gli operatori b_kO^† creano antiparticelle

y Il campo ψ distrugge particelle, crea antiparticelle y Il campo ψ^† crea particelle, distrugge antiparticelle

y Notare che in ψ gli operatori b^† relativi alle antiparticelle compaiono insieme all’esponenziale di “energia negativa” e agli spinori v(p) = u(−p)

L’elemento di matrice

y Impostiamo adesso il calcolo dell’elemento di matrice

y Abbiamo bisogno di esprimere gli stati dello spazio di Fock utilizzando gli opportuni operatori di creazione

y Per semplificare la notazione abbiamo posto: pp{p_p; pn{p_n; pe{p_e; pν { p_ν y Inoltre è sottointeso che (li inseriremo alla fine)

y Al primo ordine dello sviluppo perturbativo l’ampiezza della transizione è data dall’elemento di matrice dell’Hamiltoniana H' fra stato iniziale e stato finale

y Per calcolare esplicitamente l’elemento di matrice y Si introduce l’espressione della densità Hamiltoniana

y Si sostituiscono gli operatori di campo nella densità Hamiltoniana con le rappresentazioni integrali

Rappresentazione d’interazione

L’elemento di matrice

y Otteniamo pertanto

y Ricordiamo che tutti i campi sono calcolati nello stesso punto: ψ(x)

y Ricordiamo inoltre che lo spazio di Fock del nostro sistema è un prodotto tensoriale di stati di singola particella

y Possiamo pertanto riscrivere l’elemento di matrice come

y Consideriamo il termine leptonico

y L’ultima uguaglianza definisce l’operatore

L’elemento di matrice

y Analizziamo l’operatore

y Esaminiamo adesso il risultato dell’applicazione di questo operatore al vuoto

y Pertanto sopravvive solo il termine

{ { { {

Operatori di particelle differenti: commutano

L’elemento di matrice

y Per concludere, calcoliamo il valore di aspettazione nel vuoto

y Utilizziamo le regole di commutazione per portare a destra gli operatori di distruzione

y In conclusione (inseriamo adesso esplicitamente le normalizzazioni degli stati) y Inserendo nell’espressione per e calcolando gli integrali

{ { {

{

momenti (esterni) delle particelle

L’elemento di matrice

y Un calcolo analogo per il termine adronico

y Questa volta possiamo individuare subito i termini che annullano il vuoto

y L’operatore di distruzione del protone commuta con tutti gli operatori alla sua destra

y L’operatore di creazione dell’antineutrone commuta con tutti gli operatori alla sua sinistra

y Ci riduciamo a

y L’elemento di matrice si calcola facilmente y Introducendo nell’integrale otteniamo

L’elemento di matrice

y Riepiloghiamo i risultati ottenuti

y Ricordiamo inoltre l’espressione per l’ampiezza di transizione

y Inserendo i risultati trovati si trova

y L’ampiezza invariante è

L’elemento di matrice

y Osserviamo che l’ampiezza contiene solo funzioni ( spinori, matrici e funzioni ordinarie ) e nessun operatore (ψ,a,b …)

y In futuro le ampiezze potranno essere scritte utilizzando regole e diagrammi di Feynman senza rifare tutto il calcolo con la teoria dei campi

y Le regole di Feynman possono essere dedotte osservando il termine della Lagrangiana relativo alla interazione fra i campi

y Ricordiamo che H' = −L'

y Al primo ordine corrispondono i diagrammi con un solo vertice y Le regole sono

y Particella uscente → spinore y Particella entrante → spinore u y Anti-particella uscente → spinore v y Anti-particella entrante → spinore y Vertice fra due particelle →

y L’ampiezza corrispondente è

Osservabili Fisiche

y Nella fisica delle particelle Elementari si studiano sostanzialmente:

y Decadimenti:

y Vite medie

y Natura delle particelle prodotte

y Distribuzioni di energia delle particelle prodotte y Distribuzioni angolari delle particelle prodotte y Interazioni di particelle

y Sezioni d’urto

y Distribuzioni di energia delle particelle prodotte y Distribuzioni angolari delle particelle prodotte y La descrizione teorica di queste osservabili è simile

y Ampiezza Invariante M y Flusso (sezione d’urto) y Spazio delle Fasi d )_n

Cinematica decadimento 1 o 3

y Da ora in poi c 

y Variabili invarianti nel decadimento y La conservazione del 4-impulso è

y Sono convenienti le seguenti variabili invarianti (uguali in tutti i sistemi di riferimento inerziale)

y La variabile s_ij è anche detta massa invariante (al quadrato) del sistema composto delle 2 particelle i e j

y Inoltre

y Si verifica facilmente che

p

p₁

p₃ p₂

s_

s_

s_

Cinematica decadimento 1 o 3

y Nel sistema di riferimento in cui la particella p è a riposo y Nel sistema di riposo la somma dei momenti

dei prodotti di decadimento è nulla y I tre momenti giacciono su un piano y Variabili indipendenti:

y  impulsi u  componenti  y equazioni

y  angolo inessenziale di rotazione nel piano y  angoli inessenziali di orientamento del piano y Variabili indipendenti:     

y Si possono utilizzare una coppia di s_ij qualsiasi p

p₁

p₃ p₂

p₁

p₃ p₂

θ₁₂ θ₂₃

θ₃₁

p₁

p₃ p₂

θ₁₂ θ₂₃

θ₃₁

Cinematica decadimento 1 o 3

y Si possono definire energie e momenti delle 3 particelle nello stato finale (nel sistema di riposo della particella p) in funzione di variabili invarianti

y È la stessa formula di una particella di massa che decade in una particella di massa m₁ e una di massa

y Il momento della particella y La funzione λ è

y Analogamente si trovano le relazioni per le altre particelle:

Cinematica decadimento 1 o 3

y Per il calcolo degli angoli si può procedere in modo analogo

pertanto, una volta fissate due variabili s_ij, tutte le altre grandezze cinematiche sono determinate

Regione fisica del decadimento

y Una volta scelte due variabili s_ij per descrivere lo stato finale occorre definire la regione fisica che le due variabili possono assumere^†

y Scegliamo, ad esempio s_ e s_ come variabili indipendenti

y L’equazione che definisce la frontiera sul piano s_ – s_ è definita da

y La regione di variabilità di s₂₃ si può trovare imponendo la realtà delle radici

†E. Byckling, K. Kajantie – Particle Kinematics – Wiley

s₂₃ s₁₂

Regione fisica s

y Combinando le due condizioni in una sola y Analogamente

Due condizioni uguali Due condizioni uguali

Cinematica decadimento β del neutrone

y Facendo riferimento alla figura y Le energie sono date da

y Abbiamo appena visto che

y Dalla equazione per E_p possiamo ricavare

y L’energia cinetica del protone è

y Analogamente si ottiene

P p

n p

k k′

e^- ν

1

2 3 s_eν

Cinematica decadimento β del neutrone

y Utilizzando i valori noti delle masse y m_e =0.511 MeV

y m_n =939.560 MeV y m_p =938.270 MeV

y Si ottiene in definitiva E_e ≤ 1.29 MeV

y Vediamo che, almeno vicino al limite della regione permessa, l’elettrone può raggiungere velocità relativistiche.

y Analogamente, il limite superiore alla energia cinetica del protone

y Calcoliamo il limite superiore alla velocità del protone

y Il protone è sempre non relativistico

Cinematica decadimento β del neutrone

y Riassumendo

y Nel sistema di laboratorio l’elettrone può raggiungere velocità relativistiche

y Il neutrino, che assumiamo avere massa nulla, ha sempre velocità relativistiche (β_ν )

y Il neutrone è a riposo

y Il protone ha velocità non relativistiche

y Per i leptoni è pertanto indispensabile utilizzare una teoria relativistica y Utilizzeremo gli spinori quadridimensionali

y Per il protone e per il neutrone è sufficiente un’approssimazione non relativistica

y Utilizzeremo gli spinori bidimensionali di Pauli y Per un nucleo valgono gli stessi argomenti

Lo spazio delle fasi

y Studiamo lo spazio delle fasi per il decadimento β ( decadimento a 3 corpi )

y La presenza della funzione δ³(0  k  k′  p) rende banale l’integrazione sul 3-momento del protone (d³p)

y Da ora in poi è sottointeso che p = –(k + k′)

y Da questo punto in poi si può sviluppare il calcolo in due modi differenti:

y Il primo finalizzato allo studio del plot di Dalitz

y Il secondo finalizzato al calcolo della distribuzione dell’energia dell’elettrone o di correlazioni angolari

y Affrontiamo il primo caso

y Sviluppiamo il modulo e i differenziali

Lo spazio delle fasi

y Ricordiamo che il decadimento è confinato su un piano

y Possiamo scegliere la direzione dell'elettrone come riferimento per gli angoli e integrare su dΩ_e o 4 π

y Inoltre dΩ_ν = 2πd cosθ_eν

y Infine, dal momento che

y Otteniamo

p

k′

k

θ_pe θ_eQ

θ_pQ e

Q

Lo spazio delle fasi

y Integriamo adesso sull’angolo θ_eν

y Dobbiamo tenere conto della funzione δ(f(x)) dove x = cosθ_eν

y Ricordiamo che p = –(k + k′). La funzione si annulla per cosθ_eν= cosθ_eν y Ricordando la proprietà della funzione δx

y Otteniamo

y Sostituiamo nella formula per d ) e integriamo sull’angolo

Lo spazio delle fasi

y Il risultato ottenuto è importante per il Dalitz Plot y Ricordiamo le relazioni

y Da esse segue che

y E le relazioni ottenute da sostituzioni cicliche degli indici y Le relazioni

y Implicano

y 1: se l’elemento di matrice è costante, lo spazio nel piano E₁−E₂ ( o s₁₂−s₂₃ ) è popolato uniformemente

y 2: deviazioni dall’uniformità danno indicazioni sulla dipendenza di dalle variabili E₁−E₂

s₂₃ s₁₂

Esercizi

y In attesa di avere l’elemento di matrice si può impostare il programma per la costruzione di un generatore Montecarlo per il decadimento β:

y Scrivere un programma per disegnare la regione fisica del decadimento

y Generare una coppia di numeri casuali (E₁,E₂) distribuiti uniformemente nel piano all’interno della regione fisica

y Utilizzando le formule cinematiche ricavate precedentemente scrivere i tre 4-vettori del protone, del neutrone, del neutrino

y Le formule precedenti permettono di scrivere i 3 vettori in un piano.

y Ruotare con un angolo casuale i 3 vettori su questo piano

y Generare una direzione casuale nello spazio e ruotare i 3 vettori in modo che giacciano sul piano perpendicolare alla direzione generata