0 d nessuna delle precedenti (6) La serie di potenze

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 gennaio 2019

(1) Delle radici terze di w = (√ 3 + i)² a nessuna appartiene al terzo quadrante c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n= e⁴ⁿ^α − cos₂¹n

arctan₆¹n

per n → +∞

a diverge per ogni α ∈ R c converge per qualche α < 0

b converge per α = 2 d nessuna delle precedenti (3) L’equazione e^x−α = x ammette

a un’unica soluzione positiva per ogni α < 1 c nessuna soluzione per α > 0

b al pi`u una soluzione per ogni α ≥ 1 d nessuna delle precedenti

(4) L’integrale Z ^π₂

−^π₂

(x + 1)| sin x| dx vale

a 2 c 0

b 2 − π

d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z 1

0

x^α

x sin x cosh x − log(1 + x²)dx risulta convergente a per ogni α > 3

c solo se α < 5

b per nessun α > 0

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

2ⁿ

n³xⁿ ha insieme di convergenza a [−¹₂,¹₂)

c R

b [−2, 2]

(2)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Infatti, abbiamo che

√

3 + i = 2(

√ 3

2 +¹₂i) = 2(cos^π₆ + i sin^π₆) pertanto

w = (√

3 − i)² = 2²(cos^2π₆ + i sin^2π₆ ) = 4(cos^π₃ + i sin^π₃) Le radici terze di w sono quindi date da z_k =√³

4(cos θ_k+ i sin θ_k) dove θ_k=

π 3+2kπ

3 = ^π+6kπ₉ , k = 0, 1, 2, e dunque sono:

z₀ =√³

4(cos^π₉ + i sin^π₉), z₁ =√³

4(cos^7π₉ + i sin^7π₉ ), z₂ =√³

4(cos^13π₉ + i sin^13π₉ ).

Abbiamo che z₀ appartiene al primo quadrante, z₁ al secondo mentre z₂ al terzo.

(2) La risposta esatta `e c . Osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli per x → 0 si ha e^αx− cos√

x = 1 + αx + ^α²₂^x² + o(x²) − (1 − ^x₂ + ^x_4!² + o(x²))

= (α + ¹₂)x + (^α₂² −₂₄¹ )x²+ o(x²) ∼

((α +¹₂)x se α 6= −¹₂

x²

12 se α = −¹₂ Posto x = ₄¹n otteniamo che per n → +∞ si ha

e⁴ⁿ^α − cos 1 2ⁿ ∼

((α +¹₂)₄¹n se α 6= −¹₂

1 12

1

16ⁿ se α = −¹₂ Osservato che arctan₆¹n ∼ ₆¹n per n → +∞ otteniamo

a_n = e⁴ⁿ^α − cos₂¹n

arctan₆¹n

∼

((α +¹₂)⁶₄ⁿn se α 6= −¹₂

1 12

6ⁿ

16ⁿ se α = −¹₂ e dunque che la successione converge per α = −¹₂, diverge per ogni α 6= −¹₂.

(3) La risposta esatta `e d . Posto f_α(x) = e^x−α− x, l’equazione equivale a determinarne il numero di zeri al variare di α ∈ R. Abbiamo che la funzione `e definita e continua in R, inoltre dalla gerarchia degli infiniti, si ha

x→±∞lim f_α(x) = +∞.

La funzione risulta derivabile in ogni x ∈ R con

f_α⁰(x) = e^x−α− 1

Dunque, avremo f_α⁰(x) > 0 se e solo se x > α e quindi che fα(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, α], strettamente crescente in [α, +∞) e che x = α `e punto di minimo assoluto per f_α(x) con f_α(α) = 1 − α. Osserviamo f_α(α) < 0 se α > 1, f_α(α) = 0 se α = 1 e f_α(α) > 0 se α < 1.

Dal Teorema di esistenza degli zeri e dalla monotonia della funzione otteniamo che se α > 1 la funzione ammette due soli zeri, se α = 1 uno e un solo zero mentre non ammette zeri se α < 1.

(3)

α < 1

α = 1

α > 1

x y

(4) La risposta esatta `e a . Per calcolare R^π₂

−^π₂(x + 1)| sin x| dx osserviamo innanzitutto che dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale si ha

Z ^π₂

−^π

2

(x + 1)| sin x| dx = − Z 0

−^π

2

(x + 1) sin x dx + Z ^π₂

0

(x + 1) sin x dx

Per determinareR (x + 1) sin x dx possiamo integrare per parti ottenendo Z

(x + 1) sin x dx = −(x + 1) cos x + Z

cos x dx = −(x + 1) cos x + sin x + c, c ∈ R Dalla formula fondamentale del calcolo integrale ne concludiamo che

Z ^π₂

−^π

2

(x + 1)| sin x| dx = − Z 0

−^π

2

(x + 1) sin x dx + Z ^π₂

0

(x + 1) sin x dx

= − [−(x + 1) cos x + sin x]⁰₋π

2 + [−(x + 1) cos x + sin x]

π 2

0 = 2

(5) La risposta esatta `e a . Per determinare il carattere dell’integrale improprioR1 0

x^α

x sin x cosh x−log(1+x²)dx osserviamo che per x → 0 si ha

x sin x cosh x − log(1 + x²) = x(x − ^x_3!³ + o(x³))(1 +^x₂² + o(x³)) − (x²− ^x₂⁴ + o(x⁴))

= x(x − ^x_3!³ +^x₂³ + o(x³)) − x²+^x₂⁴ + o(x⁴)

= −^x_3!⁴ +^x₂⁴ +^x₂⁴ + o(x⁴) = ⁵₆x⁴ + o(x⁴) ∼ ⁵₆x⁴ da cui

x^α

x sin x cosh x − log(1 + x²) ∼ ⁶₅x^α

x⁴ = ⁶₅ 1 x^4−α

Dal criterio del confronto asintotico possiamo pertanto concludere che l’integrale converge per α > 3 e diverge per α ≤ 3.

(6) La risposta esatta `e d . Infatti, utilizzando il metodo della radice, posto a_n= ²_nⁿ3 otteniamo

n→+∞lim

√n

an= lim

n→+∞

2

√n

n³ = 2

(4)

Ne segue che il raggio di convergenza `e ρ = ¹₂ e dunque che la serie converge per |x| < ¹₂ e non converge per |x| > ¹₂. Per x = ¹₂ la serie diventa P+∞

n=1 1

n³ e dunque converge.

Per x = −¹₂ abbiamo la serieP+∞

n=1 (−1)ⁿ

n³ che converge assolutamente (in alternativa si poteva utilizzare il criterio di Leibniz dato che _n¹3 → 0 per n → +∞ e _n¹3 `e decrescente).

Possiamo allora concludere che l’insieme di convergenza della serie data `e l’intervallo [−¹₂,¹₂].

(5)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 2 febbraio 2019

(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z²+ (1 + i)z + 2i = 0 a nessuna appartiene al primo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al terzo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n=

e^αⁿ − ¹

1−_n¹

sin_n¹2 − sin^{2 1}_n converge per n → +∞

a per ogni α ∈ R c solo per α = 1

b per nessun α ∈ R

(3) La funzione g(x) =

(_cosh^√_x−√

1+sin(αx)

x se x > 0 tan(βx) + x se x ≤ 0

nel punto x₀ = 0

a non `e continua per ogni α, β ∈ R c `e derivabile per α = 1 e β = 0

b `e continua ma non derivabile per α = 1 e ogni β ∈ R d nessuna delle precedenti

(4) La funzione f_α(x) = xe

|x−1|

x −α per ogni α > 0 a ammette due zeri

c non ammette asintoti verticali

b ammette massimo relativo d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z +∞

0

x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx vale a 2 − log 2

c +∞

b log³₂ − 2

(6) La serie

+∞

X

n=0

2ⁿ(n!)^α n³ⁿ a converge per ogni α ∈ R c converge solo per α = 3

b diverge se e solo se α > 3 d nessuna delle precedenti

(6)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e a . Infatti, le soluzioni dell’equazione sono date da z± = −b ±√

∆ 2a

Poich´e ∆ = (1 + i)²− 4(2i) = −6i = 6(cos(−^π₂) + i sin(−^π₂)), le due radici quadrate di ∆ sono

±√

∆ = ±√

6 cos(−^π₄) + sin(−^π₄) i = ±√ 6

^√

2 2 −

√ 2 2 i

= ±√

3 −√ 3 i

. Quindi le soluzioni complesse dell’equazione data sono

z±= −(1 + i) ± √ 3 −√

3 i 2

ovvero

z₊=

√3 − 1

2 −

√3 + 1

2 i e z−= −1 +√ 3

2 +

√3 − 1

2 i

Siccome √

3 > 1, abbiamo che z₊ appartiene al quarto quadrante mentre z₋ appartiene al secondo quadrante.

(2) La risposta esatta `e b . Osserviamo innanzitutto che dagli sviluppi notevoli per x → 0 abbiamo e^αx− _1−x¹ = 1 + αx + ^α²₂^x² + o(x²) − (1 + x + x²+ o(x²))

= (α − 1)x + (^α₂² − 1)x²+ o(x²) ∼

((α − 1)x se α 6= 1

−^x₂² se α = 1 Posto x = ¹_n otteniamo che n → +∞ si ha

e^αⁿ − 1 1 + _n¹ ∼

(α−1

n se α 6= 1

−_2n¹2 se α = 1 Per x → 0 abbiamo inoltre

sin(x²) − sin²x = x²+ o(x⁴) − (x − ^x₆³ + o(x³))²

= x²+ o(x⁴) − (x²− ^x₃⁴ + o(x⁴)) = ^x₃⁴ + o(x⁴) ∼ ^x₃⁴ e quindi, posto x = _n¹ per n → +∞ otteniamo

sin_n¹2 − sin^{2 1}_n ∼ _3n¹4

Dunque

a_n ∼







α−1 n 1 3n4

= 3(α − 1)n³ se α 6= 1

−

1 2n²

1 3n4

= −³₂n² se α = 1 e dunque che la successione diverge per ogni α ∈ R.

(7)

(3) La risposta esatta è d . Studiamo la continuità e la derivabilità della funzione

f (x) =

(_cosh^√_x−√

1+sin(αx)

x se x > 0 tan(βx) + x se x ≤ 0 nel punto x₀ = 0. Abbiamo

lim

x→0⁻f (x) = lim

x→0⁻tan(βx) + x = 0 = f (0) per ogni β ∈ R. Mentre, dato che per x → 0

cosh√ x −p

1 + sin(αx) = 1 +^x₂ + ^x₂₄² + o(x²) − (1 + ¹₂sin(αx) − ¹₈sin²(αx) + o(sin²(αx)))

= ^x₂ +^x₂₄² + o(x²) − ¹₂(αx + o(x²)) + ¹₈(αx + o(x²))²+ o((αx + o(x²))²)

= ¹₂(1 − α)x + (₂₄¹ + ^α₈²)x²+ o(x²) Quindi, se α 6= 1, allora cosh√

x −p1 + sin(αx) ∼ ¹₂(1 − α)x mentre se α = 1 allora cosh√ x − p1 + sin(αx) ∼ ¹₆x². In ogni caso otteniamo

lim

x→0⁺

f (x) = lim

x→0⁺

cosh√

x −p1 + sin(αx)

x = ¹₂(1 − α)

e dunque che f (x) risulta continua in 0 solo per α = 1, qualunque sia β ∈ R.

Riguardo alla derivabilit`a, per x < 0 la funzione `e derivabile con f⁰(x) = _cos2^β(βx)+1 e lim

x→0⁻f⁰(x) = β+1.

Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x = 0 con f−⁰(0) = β + 1. Osservato poi che la funzione risulta continua in x = 0 solo per α = 1, studiamo l’esistenza della derivata destra per tale valore. Dal precedente sviluppo abbiamo

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

cosh√ x −√

1 + sin x

x² = lim

x→0⁺ 1 6x²

x² = ¹₆

e la funzione ammette derivata destra in x = 0 con f₊⁰(0) = ¹₆. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x = 0 solo per α = 1 e β = −⁵₆.

(4) La risposta esatta `e d . Studiamo la funzione f_α(x) = xe^|x−1|^x − α con α > 0. Abbiamo che la funzione `e definita e continua in D = R \ {0}, inoltre abbiamo lim

x→±∞f_α(x) = ±∞ e lim

x→0⁻f_α(x) = −α, mentre dalla gerarchia degli infiniti si ha

lim

x→0⁺f_α(x) = lim

x→0⁺xe¹^x⁻¹− α = lim

x→0⁺ lim

x→0⁺ 1 e

e¹^x

1 x

− α = +∞

Ne segue che x = 0 è asintoto verticale destro e pertanto c è falsa. La funzione è derivabile in ogni x ∈ D \ {1} con

f_α⁰(x) =

(e^x−1^x + xe^x−1^x _x¹2 = e^x−1^x ^x+1_x se x > 1

e^1−x^x − xe^1−x^x _x¹2 = e^1−x^x ^x−1_x se x < 1, x 6= 0

Abbiamo allora che f_α⁰(x) > 0 per ogni x < 0 e x > 1 e dunque che la funzione `e strettamente crescente in (−∞, 0) e in [1, +∞) mentre f_α⁰(x) < 0 per 0 < x < 1 e quindi f_α(x) risulta strettamente

(8)

decrescente in (0, 1]. Ne segue che x = 1 è punto di minimo relativo per f_α(x) e poiché la funzione non ammette punti stazionari in D \ {1}, possiamo affermare che non ammette punti di massimo relativo per ogni α > 0 e dunque che b è falsa.

Osservato infine che dal precedente studio, risulta fα(x) < 0 per ogni x < 0 e che per x > 0 si ha f_α(x) ≥ f_α(1) = 1 − α > 0 se 0 < α < 1, possiamo concludere che per tali valori di α la funzione non ammette zeri e dunque che anche a `e falsa.

(5) La risposta esatta `e a . Per calcolare R+∞

0

x+3

(x+1)²(x+2)dx osserviamo innanzitutto che dalla definizione di integrale improprio

Z +∞

0

x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx = lim

b→+∞

Z b 0

x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx Per determinare R _x+3

(x+1)²(x+2)dx possiamo determinare la decomposizione in fratti semplici cercando A, B, C ∈ R tali che

(1) x + 3

(x + 1)²(x + 2) = A

x + 1 + B

(x + 1)² + C x + 2

Tale identit`a risulta verificata per A = −1, B = 2 e C = 1, pertanto, considerato che nel dominio di integrazione ^x+2_x+1 > 0 , otteniamo

Z x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx =

Z 2

(x + 1)² − 1

x + 1 + 1 x + 2dx

= − 2

x + 1 − log(x + 1) + log(x + 2) + c = logx + 2

x + 1 − 2 x + 1 + c

(9)

e quindi

Z +∞

0

x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx = lim

b→+∞

Z b 0

x + 3

(x + 1)²(x + 2)dx

= lim

b→+∞log^x+2_x+1 − _x+1² b 0

= lim

b→+∞log ^b+2_b+1− _b+1² − log 2 + 2 = 2 − log 2 (6) La risposta esatta `e b . Infatti, posto an = ²ⁿ_n^(n!)3n^α abbiamo

n→+∞lim an+1

a_n = lim

n→+∞

2ⁿ⁺¹((n + 1)!)^α

(n + 1)³⁽ⁿ⁺¹⁾ · n³ⁿ

2ⁿ(n!)^α = lim

n→+∞2(n + 1)^α−3 n³ⁿ (n + 1)³ⁿ =







+∞ se α > 3

2

e³ se α = 3 0 se α < 3 Poich´e e³ > 2, dal criterio del rapporto possiamo concludere che la serie converge se α ≤ 3 e diverge se α > 3.

(10)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 23 febbraio 2019

(1) Le soluzioni dell’equazione z⁴+ 4i = 0 in campo complesso a sono ±√

2 e ±√ 2i

c cadono nei vertici di un quadrato di lato 2√ 2

b hanno modulo 2

(2) La successione a_n= 2ⁿ(n!)^α

(3n)! per n → +∞ `e infinitesima a per ogni α ∈ R

c solo se α > 2

b per nessun α > 0

d nessuna delle precedenti (3) La funzione f_α(x) =√³

1 + sin x − e^sin(αx) per x → 0 ha ordine di infinitesimo a 1 per ogni α ∈ R

c 2 per qualche α < 0

b maggiore di 2 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti

(4) L’equazione ^|x−4|_x − log(x + 3) = 0 ammette a un’unica soluzione

c nessuna soluzione

b due soluzioni di segno discorde d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale Z 2

1

(1 − 2x) log(x²+ x) dx vale

a log 4 c −4 log 2

b 2 − 2 log 3

(6) La serie

+∞

X

n=1

sin^{2 α}_n− log(cos_n¹)

√3

n³+ 1 −√³

n³ − 1 risulta convergente a per ogni α ∈ R

c solo per α =

√2

2

(11)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12 giugno 2019

(1) Delle soluzioni dell’equazione z⁴− i = 0 nel piano complesso a una cade sull’asse reale

c nessuna cade nel primo quadrante

b la distanza reciproca massima `e 2 d nessuna delle precedenti

(2) La serie

+∞

X

n=0

(2n)!

2ⁿ(n!)^α `e convergente a per ogni α < 2

c se e solo se α > 3

d nessuna delle precedenti (3) La funzione g_α(x) = cosh(x^α) −√

1 + sin x per x → 0⁺ ha ordine di infinitesimo a 1 per ogni α > 0

c 2 per qualche α > 2

b minore di 1 per qualche α < 1 d nessuna delle precedenti (4) La funzione f (x) = 2^x− 2x

a ammette un unico zero in (−∞, 1) c non ammette asintoti

b ammette un unico punto di flesso d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale Z ³₂π

0

x²| sin x| dx

a 3π²+ 2π c 2π²+ 3π − 4

b 3π − 6

0

e^x− 1

x^α(cosh x − 1) converge a per qualche α > 3

c per ogni α < 1

(12)

Soluzione

(1) La risposta corretta `e b . Infatti, le soluzioni dell’equazione z⁴− i = 0 corrispondono alle radici quarte di w = i = cos^π₂ + i sin^π₂ e sono date da

z_k = cos

π 2+2kπ

4 + i sin

π 2+2kπ

4 = cos^π+4kπ₈ + i sin^π+4kπ₈ , k = 0; 1; 2; 3.

Abbiamo pertanto

z₀ = cos^π₈ + i sin^π₈, z₁ = cos^5π₈ + i sin^5π₈ z2 = cos^9π₈ + i sin^9π₈ , z3 = cos^13π₈ + i sin^13π₈

Poich´e tali radici, nel piano complesso, si dispongono sui vertici di una quadrato inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio 1 (infatti |z_k| = 1 per ogni k), la distanza reciproca massima

`e pari alla lunghezza della diagonale del quadrato, ovvero del diametro della circonferenza, e dunque vale 2.

(2) La risposta corretta `e d . Applichiamo il criterio del rapporto, quindi posto a_n = ₂n^(2n)!(n!)^α, calcoliamo il limite di ^aⁿ⁺¹_a

n per n → +∞. Abbiamo a_n+1

a_n = (2n + 2)!

2ⁿ⁺¹((n + 1)!)^α · 2ⁿ(n!)^α

(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!

2 2ⁿ(n + 1)^α(n!)^α ·2ⁿ(n!)^α (2n)!

= (2n + 2)(2n + 1) 2(n + 1)^α ∼ 2

n^α−2 →







0 se α > 2 2 se α = 2 +∞ se α < 2

Dato che 2 > 1, dal criterio del rapporto possiamo conlcudere che la serie converge se e solo se α > 2.

(3) La risposta corretta `e b . Dagli sviluppo notevoli per x → 0⁺, per ogni α > 0 abbiamo g_α(x) = cosh(x^α) −√

1 + sin x = 1 + ^x^2α₂ +^x_4!^4α + o(x^4α) − (1 + ¹₂sin x − ¹₈sin²x + o(sin²x))

= ^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α) − ¹₂(x + o(x²)) −¹₈(x + o(x²))²+ o((x + o(x²))²)

= ^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α) − ^x₂ +^x₈² + o(x²) =







−^x₂ + o(x) se 2α > 1

x²

6 + o(x²) se 2α = 1

x^2α

2 + o(x^2α) se 2α < 1

(13)

Ne segue che per x → 0⁺

ord g_α(x) =







1 se α > ¹₂ 2 se α = ¹₂ 2α se α < ¹₂

in particolare, per ogni α < ¹₂ abbiamo che ord g_α(x) = 2α < 1, e quindi che l’ordine di infinitesimo `e minore di 1 per qualche α < 1.

(4) La risposta corretta `e d . La funzione f (x) = 2^x − 2x `e definita e continua in R. Abbiamo

x→−∞lim f (x) = +∞, dato che lim

x→−∞2^x = 0, e lim

x→+∞f (x) = +∞, poich´e dalla gerarchia degli infiniti risulta lim

x→+∞

2^x

2x = +∞. La funzione non ammette pertanto asintoti verticali e orizzontali, abbiamo per`o

x→−∞lim

f (x)

x = lim

x→−∞

2^x

x − 2 = 2 e lim

x→−∞f (x) + 2x = lim

x→−∞2^x = 0

e dunque che y = −2x `e asintoto obliquo per x → −∞. Osserviamo che la funzione non ammette invece asintoto obliquo per x → +∞.

La funzione è inoltre derivabile in R con f⁰(x) = log 2 2^x− 2 per ogni x ∈ R e risulta f⁰(x) > 0 se e solo se x > log₂(_{log 2}² ) = 1 − log₂(log 2) = x₀. Dal criterio di monotonia abbiamo allora che la funzione è strettamente decrescente in (−∞, x₀], strettamente crescente in [x₀, +∞) e che x₀ è punto di minimo assoluto¹. Osserviamo che x0 = 1 − log₂(log 2) > 1, in quanto log₂log 2 < 0. Infatti, essendo 2 < e si ha log 2 < 1 e dunque log₂(log 2) < 0.

Infine la funzione è derivabile due volte in R con f⁰⁰(x) = log²2 2^x > 0 per ogni x ∈ R. Dal criterio di convessità abbiamo quindi che f (x) è convessa in R.

Da quanto ottenuto possiamo concludere che

1Osservato che f (1) = 0, otteniamo che f (x0) < f (1) = 0. Dal teorema dei valori intermedi e dalla monotonia stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, uno in (−∞, x0) e uno in (x0, +∞).

(14)

a è falsa, la funzione è positiva in (−∞, 1) dato che f (1) = 0 e che f (x) è strettamente decrescente in (−∞, 1), quindi f (x) > f (1) = 0 per ogni x < 1;

b `e falsa, la funzione `e convessa in tutto R dunque non ammette punti di flesso;

c `e falsa, la funzione ammette un asintoto obliquo per x → −∞.

(5) La risposta corretta `e d . Per calcolare Z ^3π₂

0

x²| sin x|, dx, osserviamo innanzitutto che dalla propriet`a di additivit`a dell’integrale si ha

Z ^3π₂

0

x²| sin x| dx = Z π

0

x²sin x dx − Z ^3π₂

π

x²sin x dx

Per calcolare tali integrali, determiniamo una primitiva di x²sin x. Integrando per parti due volte otteniamo

Z

x²sin x, dx = −x²cos x + Z

2x cos x dx = −x²cos x + 2x sin x − Z

2 sin x dx

= x²cos x + 2x sin x + 2 cos x + c, c ∈ R quindi

Z ^3π₂

0

x²| sin x| dx = Z π

0

x²sin x dx − Z ^3π₂

π

x²sin x dx

=x²cos x + 2x sin x + 2 cos xπ

0 −x²cos x + 2x sin x + 2 cos x^3π₂

π

= 2π²+ 3π − 6

(6) La risposta corretta `e d . Per stabilire per quali valori di α ∈ R l’integrale R+∞

0

e^x−1 x^α(cosh x−1)dx converge, osservato che la funzione integranda `e continua in (0, +∞), dobbiamo stabilire per quali valori di α ∈ R risultano convergenti entrambi gli integrali

Z 1 0

e^x− 1

x^α(cosh x − 1)dx e

Z +∞

1

e^x− 1

x^α(cosh x − 1)dx Riguardo al primo integrale, osserviamo che

e^x− 1

x^α(cosh x − 1) ∼ x

x^{α x}₂² = 2

x^α−1, per x → 0⁺, e ricordando che R1

0 1

x^p dx converge se e solo se p < 1, dal criterio del confronto asintotico otteniamo che R1

0

e^x−1

x^α(cosh x−1)dx converge se e solo se α − 1 < 1, ovvero α < 2.

Riguardo all’integraleR+∞

1

e^x−1

x^α(cosh x−1)dx, osservato che cosh x = ^e^x^+e₂^−x ∼ ^e₂^x per x → +∞, si ha e^x− 1

x^α(cosh x − 1) ∼ e^x

x^{α e}₂^x = 2

x^α, per x → +∞.

Dal criterio del confronto asintotico, ricordando cheR+∞

1 1

x^pdx converge se e solo se p > 1, otteniamo che R+∞

1

e^x−1

x^α(cosh x−1)dx converge se e solo se α > 1.

Riunendo quanto trovato possiamo concludere che l’integrale dato converge se e solo se 1 < α < 2.

(15)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 10 luglio 2019

(1) Delle soluzioni dell’equazione z⁵ = 1 nel piano complesso a due cadono sull’asse reale

c nessuna cade nel secondo quadrante

b una cade sull’asse immaginario d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n= sinh₄¹n

e³ⁿ^α − ₁₊¹1 3n

`

e convergente

a per ogni α 6= −1 c solo se α > 0

(3) La funzione f (x) =

(_cos(xα)−√ 1−sinh x

x se x > 0

tan(βx) se x ≤ 0 in x₀ = 0 a `e derivabile per ogni α > ¹₂ e β ∈ R

c `e continua ma non derivabile per ogni α > 1, β ∈ R

b `e derivabile solo per α = ¹₂ e β = ¹₆ d nessuna delle precedenti

(4) L’equazione arctan^|x−1|_x = α ammette a due soluzioni per qualche 0 < α < ^π₄ c almeno una soluzione per ogni |α| < ^π₂

b nessuna soluzione per ogni α < 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale Z 3

0

√x log(1 + x) dx vale

a +∞

c log 4 − ³₄π

b 3√

3 log 4 − π

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=0

3ⁿ(n!)^α

(3n)! xⁿ ha insieme di convergenza a I = R per ogni α < 3

c I = {0} per ogni α > 0

b I ⊆ [−¹₃,¹₃] per α = 3 d nessuna delle precedenti

(16)

Soluzione

(1) La risposta corretta `e d . Le soluzioni complesse dell’equazione z⁵ = 1 corrispondono alle radici quinte di 1 = cos 0 + i sin 0 e sono quindi date da

zk = cos ^2kπ₅ + i sin ^2kπ₅ , k = 0, 1, 2, 3, 4.

Abbiamo pertanto che tali soluzioni sono

z₀ = cos 0 + i sin 0 = 1 z1 = cos ^2π₅ + i sin ^2π₅ z₂ = cos ^4π₅ + i sin ^4π₅ z₃ = cos ^6π₅ + i sin ^6π₅ z₄ = cos ^8π₅ + i sin ^8π₅

Abbiamo quindi che solo una soluzione cade sull’asse reale, nessuna sull’asse immaginario e una nel secondo quadrante. La risposta corretta `e dunque d .

(2) La risposta corretta `e d . Per calcolare il limite per n → +∞ della successione a_n = ^sinh

1 4n

e³ⁿ^α − ¹

1+ 13n

al variare di α ∈ R, osserviamo innanzitutto che lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione e^αx−_1+x¹

`e

e^αx− _1+x¹ = 1 + αx + ^α²₂^x² + o(x²) − (1 − x + x² + o(x²))

= (α + 1)x + (^α₂² − 1)x²+ o(x²) ∼

((α + 1)x, se α 6= −1,

−^x₂², se α = −1.

Ponendo x = ₃¹n nello sviluppo, per n → +∞ otteniamo

e³ⁿ^α − ¹

1+_3n¹ ∼ (α+1

3ⁿ , se α 6= −1,

−_2·3¹2n, se α = −1.

(17)

Poich´e per n → +∞ abbiamo inoltre

sinh₄¹n ∼ ₄¹n

otteniamo

a_n= sinh₄¹n

e³ⁿ^α − ₁₊¹1 3n

∼ ( 1

α+1 3ⁿ

4ⁿ, se α 6= −1,

−^2·9₄nⁿ, se α = −1.

e quindi che

n→+∞lim a_n =

(0, se α 6= −1,

−∞, se α = −1.

(3) La risposta corretta `e b . Dagli sviluppo notevoli per x → 0⁺, per ogni α > 0 abbiamo gα(x) = cos(x^α) −√

1 − sinh x = 1 − ^x^2α₂ + ^x_4!^4α + o(x^4α) − (1 − ¹₂ sinh x − ¹₈sinh²x + o(sinh²x))

= −^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α) + ¹₂(x + o(x²)) + ¹₈(x + o(x²))²+ o((x + o(x²))²)

= −^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α) + ^x₂ + ^x₈² + o(x²) =







x

2 + o(x) se 2α > 1

x²

6 + o(x²) se 2α = 1

−^x^2α₂ + o(x^2α) se 2α < 1 Ne segue che

lim

x→0⁺f (x) = lim

x→0⁺

cos(x^α) −√

1 − sinh x

x =











x 2+o(x)

x se 2α > 1

x2 6+o(x²)

x se 2α = 1

−^x2α₂ +o(x^2α)

x se 2α < 1

=







1

2 se α > ¹₂ 0 se α = ¹₂

−∞ se α < ¹₂ Poich´e lim

x→0⁺f (x) = lim

x→0⁺tan(βx) = 0 per ogni β ∈ R, otteniamo che la funzione risulta continua in x₀ = 0 per α = ¹₂ e ogni β ∈ R. Per α = ¹₂ abbiamo inoltre che

lim

x→0⁺

f (x)

x = lim

x→0⁺ x²

6 + o(x²) x² = ¹₆ ed essendo f⁰(x) = _cos2^β(βx) per ogni x < 0 con βx 6= k^π₂, k ∈ Z, e lim

x→0⁻f⁰(x) = β, possiamo concludere che la funzione `e derivabile in x₀ = 0 solo per α = ¹₂ e β = ¹₆.

(4) La risposta corretta `e d . Per determinare il numero di soluzioni dell’equazione arctan^|x−1|_x = α studiamo l’immagine della funzione f (x) = arctan^|x−1|_x . Tale funzione `e definita e continua in R \ {0}

con lim

x→±∞f (x) = ±^π₄ mentre lim

x→0^±

f (x) = ±^π₂. Dato che

f (x) =

(− arctan 1 − ¹_x

se x < 1 arctan 1 − ¹_x

se x ≥ 1 la funzione `e inoltre derivabile in ogni x ∈ R con x 6= 0 e x 6= 1 e

f⁰(x) =







− ¹

1+( ¹

1− 1x

)² · _x¹2 se x < 1

1 1+( ¹

1− 1x

)² · _x¹2 se x > 1

(18)

Abbiamo allora che f⁰(x) > 0 se e solo se x > 1. Dal criterio di monotonia abbiamo allora che la funzione `e strettamente crescente in [1, +∞), strettamente decrescente in (−∞, 0) e in (0, 1].

Da quanto ottenuto e dal Teorema dei valori intermedi possiamo concludere che l’equazione f (x) = α

• non ammette soluzioni per |α| ≥ ^π₂ e −^π₄ < α < 0;

• un’unica soluzione per ^π₄ ≤ α < ^π₂, −^π₂ < α < −^π₄ e α = 0;

• due soluzioni per 0 < α < ^π₄.

(5) La risposta corretta `e d . Per calcolare l’integrale improprio R3 0

√x log(1 + x) dx, determiniamo innanzitutto l’integrale R √x log(1 + x) dx. Operando la sostituzione √

x = y (da cui x = y² e dx = 2ydy) e quindi integrando per parti otteniamo

Z √

x log(1 + x) dx = Z

2y²log(1 + y²) dy = ²₃y³log(1 + y²) −⁴₃

Z y⁴ 1 + y² dy

= ²₃y³log(1 + y²) −⁴₃ Z

y²− 1 + 1 1 + y² dy

= ²₃y³log(1 + y²) −⁴₉y³+⁴₃y − ⁴₃arctan y + c

= ²₃x³² log(1 + x) −⁴₉x³² + ⁴₃√

x − ⁴₃arctan√

x + c, c ∈ R Otteniamo allora

Z 3 0

√x log(1 + x) dx = h2

3x³² log(1 + x) −⁴₉x³² +⁴₃√

x − ⁴₃arctan√ x

i3 0

= 2√

3 log 4 − ⁴₃arctan√

3 = 2√

3 log 4 − ⁴₉π

(19)

(6) La risposta corretta `e a . Applichiamo il metodo del rapporto per determinare il raggio di convergenza ρ della serie. Posto a_n = ³ⁿ_(3n)!^(n!)^α, calcoliamo il limite di ^aⁿ⁺¹_a

n per n → +∞. Abbiamo an+1

a_n = 3ⁿ⁺¹((n + 1)!)^α

(3n + 3)! · (3n)!

3ⁿ(n!)^α = 3 3ⁿ(n + 1)^α(n!)^α

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!· (3n)!

3ⁿ(n!)^α

= 3(n + 1)^α

(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) ∼ 1 9n^3−α →







0 se α < 3

1

9 se α = 3 +∞ se α > 3 Dal metodo del rapporto e dalle propriet`a del raggio di convergenza abbiamo

• se α < 3 allora ρ = +∞, la serie converge in ogni x ∈ R e quindi l’intervallo di convergenza della serie `e I = R,

• se α = 3 allora ρ = 9, la serie converge in ogni |x| < 9 e non converge per |x| > 9, l’intervallo di convergenza I della serie conterr`a quindi (−9, 9) e dunque I 6⊆ [−¹₃,¹₃],

• se α > 3 allora ρ = 0, la serie converge solo nel suo centro x = 0 e quindi l’intervallo di convergenza della serie `e I = {0}

(20)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 settembre 2019 (1) Delle radici terze di z = 1 −√

3i nel piano complesso a una cade sull’asse reale

c nessuna cade nel secondo quadrante

b una cade nel terzo quadrante d nessuna delle precedenti (2) La successione a_n= n

cosh(_n¹α) −q

1 + sin¹_n

`e convergente a per ogni α ≥ ¹₂

c solo se α > 1

b per ogni α < 0

d nessuna delle precedenti (3) La funzione f (x) = e^αx− _1+x¹ per x → 0 ha ordine di infinitesimo

a 1 per ogni α ∈ R c 2 per qualche α < 0

b 3 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti (4) L’equazione x + 1 = α log(x + 1) ammette

a due soluzioni positive per ogni α > e c almeno una soluzione per ogni α < 3

b nessuna soluzione per ogni α < 0 d nessuna delle precedenti

0

√ 1

e^x− 1dx vale a +∞

c π

b ^π₄

(6) La serie

+∞

X

n=0

(3n)!

(2n)^αn converge a se e solo se α > 3

c per ogni α < 2

b solo per α = ¹₃

(21)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 25 ottobre 2019 (1) Delle radici quarte di z =√

3 − i nel piano complesso a una cade sull’asse reale

c nessuna cade nel terzo quadrante

b una cade nel quarto quadrante d nessuna delle precedenti (2) La successione a_n= n²

1

1−^α_n −q

1 − sinh_n¹

`

e convergente a per ogni α < 1

c solo se α = −¹₂

b per nessun α

d nessuna delle precedenti (3) La funzione f (x) = cos x − e^αx² per x → 0 ha ordine di infinitesimo

a 2 per ogni α ∈ R c 4 per qualche α < 0

b 6 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti (4) L’equazione log(x − 2) = α(x − 2) ammette

a almeno una soluzione per ogni α < 2 c due soluzioni per ogni α > ¹_e

b nessuna soluzione per ogni α > 0 d nessuna delle precedenti

0

e^x+ 1

√e^x− 1dx vale

a π c +∞

b ^π₄

(6) La serie

+∞

X

n=0

(3n)^αn

(2n)! converge a se e solo se α > 2

c per ogni α < 3

b solo per α = ¹₂