17. ESERCIZI su SERIE di POTENZE Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.
1. Sia
+1
X
n=0
anxn serie di potenze di raggio di convergenza ⇢ = 1. Allora
A.
+1X
n=0
an2n non converge.
B.
+1
X
n=0
an converge.
C.
+1X
n=0
nanxn 1 converge per ogni|x| < 1.
2. Sia
+1
X
n=0
anxn serie di potenze di raggio di convergenza ⇢ = +1. Allora A. lim
n!+1anbn= 0 per ogni b2 R B.
+1
X
n=0
anen converge.
C.
+1X
n=0
ann! converge.
3. Se la serie di potenze
+1
X
n=0
anxn converge per x = 1, allora
A. la serie converge per x = 1, B. an! 0 per n ! +1,
C. la serie ha raggio di convergenza ⇢ 1.
Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze
4.
+1
X
n=1
xntan21n
5.
+1X
n=1
xn(cosp1 n 1)
6.
+1
X
n=0
sinh⇡1n
n2 xn
7.
+1
X
n=1
2nxn n3log(n + 1)
8.
X+1 n=1
xn 1 2n+11
4n
9.
+1
X
n=1
xn log(en+ 1) + n2
. Risolvere gli esercizi 1-18 del libro di testo
124
Determinare l’insieme di convergenza e la somma delle seguenti serie
10.
+1
X
n=0
x2n 2n(2n)!
11.
+1
X
n=1
✓ x 1
|x| + 2
◆n
12.
+1
X
n=1
nxn+2
13.
+1
X
n=0
( 1)n x2n+1 3n(n + 1)
. Risolvere gli esercizi 25-32 del libro di testo Determinare la somma delle seguenti serie
14.
+1
X
n=0
( ⇡)n (2n + 1)!
15.
+1
X
n=0
( 1)n ⇡2n (2n)!
16.
+1
X
n=2
n(n 1) 3n
17.
+1
X
n=1
( 1)n (n + 1)(n + 2)4n
. Risolvere gli esercizi 33-40 del libro di testo
Per risolvere i precedenti esercizi sar`a utile ricordare i seguenti sviluppi delle funzioni elementari
• 1
1 x=
+1
X
n=0
xn,|x| < 1 (serie geometrica)
• ex=
+1
X
n=0
xn
n!, x2 R (serie esponenziale)
• sin x =
+1X
n=0
( 1)n
(2n + 1)!x2n+1, x2 R
• cos x =
+1
X
n=0
( 1)n
(2n)! x2n, x2 R
• sinh x = X+1 n=0
x2n+1
(2n + 1)!, x2 R
• cosh x =
+1
X
n=0
x2n
(2n)!, x2 R
• log(1 + x) = X1 n=1
( 1)n+1xn
n ,|x| < 1
• arctan x =
+1X
n=0
( 1)nx2n+1
2n + 1, |x| < 1
• (1 + x)↵= X1 n=0
↵
n xn,|x| < 1 (serie binomiale) essendo ↵n =↵(↵ 1)(↵ 2)...(↵ n+1)
n! 8↵ 2 R
125
