Geometria I appunti (non rivisti dai professori) delle lezioni

(1)

Geometria I

appunti (non rivisti dai professori) delle lezioni

Ateneo Studenti Fisica

Alessandro Principi

(2)

Indice

Strutture algebriche 2

Spazi Vettoriali . . . . 3

Sottospazi vettoriali . . . . 5

Costruire sottospazi . . . . 5

Altri sottospazi . . . . 5

Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari 7 Nucleo e Immagine di un’applicazione lineare, Sistemi Lineari . . . . 7

Risoluzione di sistemi lineari . . . . 8

Algoritmo di Gauss . . . . 9

Prodotto di Matrici . . . . 10

Dimensione e base di uno spazio vettoriale 12 Formula di Grassman . . . . 14

Rango di un’applicazione lineare 16 Classe di Equivalenza . . . . 16

Calcolo del rango di una matrice a scalini S e di una base di ImS . . . . 18

Matrici Elementari e invertibili . . . . 18

Calcolo della matrice inversa attraverso l’algoritmo di Gauss . . . . 20

Matrice associata a un’applicazione lineare . . . . 20

Matrice del cambiamento di base . . . . 21

SD-equivalenza 23 Determinante 25 Criterio dei minori orlati . . . . 29

Coniugio e Similitudine 30 Calcolo di autovalori e autospazi per una matrice . . . . 31

Diagonalizzabilit´a . . . . 33

Triangolabilit´a . . . . 34

Forme bilineari 36 Forma quadratica . . . . 37

Congruenza, forme isometriche 38 Rango di un’applicazione bilineare . . . . 38

Prodotti Scalari 40 Prodotti scalari definiti positivi . . . . 44

Propriet´a degli spazi euclidei . . . . 45

Teorema Spettrale e prodotti Hermitiani 47 Prodotti Hermitiani . . . . 49

(3)

Strutture algebriche

Definizione: Sia X un insieme, e sia ∗ una funzione tale che: ∗ : X × X −→ X. Allora si dice che ∗ `e un’operazione su X.

Definizione: ¡ X, ∗¢

si dice gruppo se X `e un insieme e ∗ un’operazione su X che verifica 3 propriet`a:

1. Esistenza dell’elemento neutro: ∃e ∈ X t. c. a ∗ e = e ∗ a = a;

2. Esistenza dell’inverso: ∀a ∈ X ∃b ∈ X t.c. a ∗ b = b ∗ a = e;

3. Propriet`a associativa: ∀a, b, c ∈ X, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

Definizione: ¡ X, ∗¢

si dice gruppo commutativo (o abeliano) se `e un gruppo e vale la propriet`a com- mutativa: ∀a, b ∈ X , a ∗ b = b ∗ a.

Definizione: Sia X un insieme, + (detta somma) e · (detto prodotto) due operazioni su X. Allora si dice che¡

X, +, ·¢

`e un campo se valgono le seguenti propriet`a:

1. Esistenza dell’elemento neutro (detto 0) per la somma;

2. Esistenza dell’inverso per la somma;

3. Propriet`a associativa per la somma;

4. Propriet`a commutativa per la somma;

5. Esistenza dell’elemento neutro (detto 1) per il prodotto;

6. Propriet`a associativa per il prodotto;

7. Propriet`a distributiva: ∀a, b, c ∈ X, a·(b +c) = a·b +a·c, (a +b)·c = a·c +b·c (Conta l’ordine!);

8. Esistenza dell’inverso per il prodotto;

9. Propriet`a commutativa per il prodotto.

Definizione: ¡

X, +, ·¢

è un anello se valgono le proprietà 1 - 7 sopra elencate. É un anello commutativo se vale anche la proprietà 9.

Definizione: ¡

X, +, ·¢

`e un corpo se valgono le propriet`a 1 - 8 sopra elencate.

(4)

Strutture algebriche

Definizione: ¡

V, +, ·, K¢

si dice spazio vettoriale se:

• V `e un insieme;

• K `e un campo;

• + `e una somma in V (+: V × V −→ V);

• ·: K × V −→ V (detto prodotto per scalare).

e valgono le seguenti propriet`a:

• (V, +) `e un gruppo commutativo;

• ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V, (αβ)v = α(βv);

• ∃1 ∈ K t. c. ∀v ∈ V 1 · v = v;

• ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V, (α + β)v = αv + βv;

• ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V, α(v + w) = αv + αw;

Spazi Vettoriali

Definiamo ora alcuni spazi vettoriali:

1) Sia K un campo, chiamiamo Kⁿ= {(x₁, x₂, . . . , x_n) | x_i∈ K ∀i = 1, . . . , n}.

Definiamo + e · in questo modo:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)^def= (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn),

∀(x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kⁿ

a · (x1, x2, . . . , xn)^def= (a · x1, a · x2, . . . , a · xn), ∀a ∈ K, ∀(x1, x2, . . . , xn) ∈ Kⁿ

Notiamo innanzitutto che + e · sono ben definiti (poich`e si basano sulle propriet`a del campo K), e che, grazie a queste definizioni, otteniamo uno spazio vettoriale.

2) Sia K un campo, e sia

K[x] = {a0+ a1x + . . . + anxⁿ | ai∈ K, ∀i = 1, . . . , n}

e siano + e · le due operazioni classiche sui polinomi (somma e prodotto tra polinomi). Si verifica che, con le definizioni date, K[x] `e un anello commutativo:

• Elemento neutro per la somma: il polinomio i cui coefficienti sono tutti uguali a zero;

• Inverso per la somma: polinomio con i coefficienti inversi;

• Elemento neutro per il prodotto: `e il polinomio 1 (tutti i coefficienti dei termini di grado superiore a zero sono zero);

• le altre propriet`a valgono perch`e i coefficienti sono in un campo;

Verifichiamo che non vale l’esistenza dell’inverso per il prodotto:

consideriamo due polinomi p(x) e q(x) entrambi diversi da zero di grado rispettivamente m e n e consi- deriamo il loro prodotto p(x) · q(x). In tal modo otteniamo un polinomio di grado m +n.

Se fosse, ad esempio, q = p⁻¹, allora avremmo che p(x) · q(x) = 1. Ma ci`o ´e impossibile per polinomi che non siano costanti (i cui coefficienti dei termini di grado superiore a zero siano diversi da zero), in quanto essi avrebbero grado maggiore di zero (ovvero il grado di 1).

(5)

· : K × K[x] −→ K[x]

(a, p(x)) 7−→ a · p(x) Si verifica che ´e uno spazio vettoriale.

3) Sia V spazio vettoriale su K e sia A un insieme qualsiasi. Sia F l’insieme delle applicazioni (funzioni) da A in V . (F, +, ·, K) ´e uno spazio vettoriale se definiamo + e · come segue:

∀f, g ∈ F , f + g : A −→ V ´e t. c.:

∀a ∈ A, (f + g)(a)^def= f (a) + g(a)

∀f ∈ F , ∀λ ∈ K, λf : A −→ V ´e t. c.:

∀a ∈ A, (λf )(a)^def= λf (a) 4) Sia K un campo. Definiamo:

M (p, q, K) = {matrici con p righe, q colonne con elementi in K}

Una Matrice ´e nella forma: 



a11 · · · a1q

... . .. ...

a_p1 · · · a_pq





dove aij ∈ K, ∀i = 1, . . . , p, ∀j = 1, . . . , q.

Sia A ∈ M (p, q, K):

Ai = i-esima riga;

Aⁱ = i-esima colonna;

[A]ij = elemento di posto (i, j), dove i indica la riga e j la colonna;

0 ´e la matrice nulla ([0]ij = 0 ∀i, j)

A, B ∈ M (p, q, K), A = B ⇐⇒ [A]ij = [B]ij ∀i, j Definiamo + e · :

∀A, B ∈ M (p, q, K), [A + B]ij def

= [A]ij+ [B]ij ∀i, j

∀λ ∈ K, ∀A ∈ M (p, q, K), [λA]ij def

= λ[A]ij ∀i, j (M (p, q, K), +, ·, K) ´e uno spazio vettoriale:

• (M (p, q, K), +) ´e un gruppo abeliano:

1. 0 ´e l’elemento neutro;

2. esiste l’inverso: [A]ij+ (−[A]ij) = 0;

3. vale la propriet´a associativa:

[(A + B) + C]ij = [A + B]ij+ [C]ij = [A]ij+ [B]ij+ [C]ij = [A]ij+ [B + C]ij =

= [A + (B + C)]ij;

4. si verifica analogamente la commutativa;

• con metodi analoghi si verificano le altre propriet`a.

Proposizioni

Sia V uno spazio vettoriale:

1. lo 0 `e unico in V:

se ∃01, 02∈ V =⇒ 01= 01+ 02= 02 per gli assiomi;

2. ∀x ∈ V ∃! − x ∈ V

se ∃(−x)1, (−x)2∈ V inversi di x per somma =⇒ (−x)1= (−x)1+ x + (−x)2= (−x)2;

(6)

3. ∀v ∈ V 0 · v = 0

0 · v = (0 + 0)v = 0 · v + 0 · v =⇒ 0 · v = 0;

4. se α · x = 0 =⇒ o α = 0 o x = 0 se α = 0, ok.

se α 6= 0 =⇒ ∃α⁻¹∈ K t. c. α⁻¹α = 1 =⇒ x = α⁻¹αx = α⁻¹· 0 = 0 =⇒ x = 0;

5. (−1)x = −x

x + (−1)x = (1 − 1)x = 0 · x = 0.

Sottospazi vettoriali

Definizione: V spazio vettoriale su K. W ⊂ V si dice sottospazio vettoriale di V se:

• 0 ∈ W ;

• ∀x, y ∈ W, x + y ∈ W ;

• ∀α ∈ K, ∀x ∈ W, αx ∈ W .

dove + e · in questo caso sono le restrizioni della somma e del prodotto su V a W .

Costruire sottospazi

Si pu´o fare prendendo alcuni vettori e il pi´u piccolo sottospazio che li contiene.

Sia V sp. vett. su K, v1, . . . , vn∈ V , c1, . . . , cn∈ K. Chiamiamo c1v1+ . . . + cnvn combinazione lineare di v1, . . . , vn. Chiamiamo poi:

span(v1, . . . , vn) = {c1v1+ . . . + cnvn | c1, . . . , cn∈ K}

tale insieme `e il pi´u piccolo sottospazio di V contenente v1, . . . , vn:

• contiene 0 (tutti i ci= 0);

• contiene vi ∀i = 1, . . . , n;

• (a1v1+ . . . + anvn) + (b1v1+ . . . + bnvn) = (a1+ b1)v1+ . . . + (an+ bn)vn

(la somma di due combinazioni lineari ´e ancora una combinazione lineare);

• lo stesso per il prodotto per scalare;

• ´e il pi´u piccolo per la definizione che ne abbiamo dato: in un sottospazio vettoriale ci devono stare v1, . . . , vn e le loro combinazioni lineari. Abbiamo imposto solo questo nella definizione di span(v1, . . . , vn).

Altri sottospazi

Sia V sp. vett. su K, U, W due sottospazi vettoriali di V. Allora U ∩ W `e un sottospazio vettoriale di V. Verifichiamolo:

• contiene 0 (sia U che W lo contengono);

• ∀x, y ∈ U ∩ W, x + y ∈ U ∩ W , infatti x e y appartengono sia ad U che a W . Essendo questi sottospazi, la somma de due vettori appartiene ancora ad entrambi, quindi alla loro intersezione;

• lo stesso per il prodotto per scalare.

Vogliamo costruire il pi´u piccolo sottospazio contenente U e W . Notiamo innanzitutto che U ∪ W non soddisfa la nostra ricerca, in quanto non `e chiuso per somma. Chiamiamo:

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }

(7)

Facciamo vedere che ´e il sottospazio che cercavamo:

• U ⊂ U + W : ∀u ∈ U, u ∈ U + W , perch´e u = u + 0 (con 0 ∈ W );

• W ⊂ U + W , per lo stesso motivo (con 0 ∈ U );

• 0 ∈ U + W : infatti 0 = 0 + 0;

• ∀u1, u2∈ U, ∀w1, w2∈ W =⇒ (u1+ w1) + (u2+ w2) = (u1+ u2) + (w1+ w2) ma (u1+ u2) ∈ U, (w1+ w2) ∈ W =⇒ (u1+ w1) + (u2+ w2) ∈ U + W ;

• ∀u ∈ U, ∀w ∈ W, ∀k ∈ K =⇒ k(u + w) = ku + kw ku ∈ U, kw ∈ W =⇒ k(u + w) ∈ U + W ;

• ´e il pi´u piccolo: se Z sottosp. vett. t. c. U ⊂ Z, W ⊂ Z=⇒ U + W ⊂ Z:^?

∀ u + w ∈ U + W, u ∈ U, w ∈ W =⇒ u + w ∈ Z (poich´e ´e sottosp. vett.) =⇒ U + W ⊂ Z

Definizione: se U ∩ W = {0}, allora U + W si denota U ⊕ W e si dice che i due sottospazi sono in somma diretta tra loro.

Proposizione: in U ⊕ W ogni vettore si scrive in modo unico come: u + w, u ∈ U, w ∈ W . Dimostrazione: se ∃u1, u2∈ U, ∃w1, w2∈ W t. c. u1+ w1= u2+ w2=⇒ u1− u2= w1− w2.

Ma u1− u2∈ U, w1− w2∈ W =⇒ u1− u2∈ U ∩ W, w1− w2∈ U ∩ W .

Poich´e U ∩ W = {0}, u1− u2= 0, w1− w2= 0, e i vettori sono a due a due uguali.

Definizione: se U ´e sottospazio vett. di V , un sottospazio W di V si dice supplementare di U se U ⊕ W = V .

N.B.: Il supplementare non ´e unico.

(8)

Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari

Siano V, W K-spazi vettoriali, e sia f : V −→ W un’applicazione. Si dice che f ´e un’applicazione lineare se soddisfa:

• ∀x, y ∈ V f (x + y) = f (x) + f (y);

• ∀α ∈ K, ∀x ∈ V f (αx) = αf (x).

Osservazione: Se f ´e lineare allora f (0) = 0.

Dimostrazione: f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) =⇒ f (0) = 0.

Definiamo la moltiplicazione tra due vettori (uno riga e uno colonna, entrambi con n elementi) e tra una matrice A ∈ M (p, n, K) e un vettore B ∈ Kⁿ:

(a1. . . an) ·



 b1

... bn



^def= a1b1+ . . . + anbn= Xn i=1

aibi





a11 . . . a1n

... ... ap1 . . . apn



 ·



 b1

... bn



^def=





a11b1+ . . . + a1nbn

...

ap1b1+ . . . + apnbn





Osservazione: il vettore risultato della seconda moltiplicazione ´e un vettore C ∈ K^p Sia A ∈ M (p, n, K) e sia LA: Kⁿ−→ K^p

X 7−→ AX

Si verifica che LA´e un’applicazione lineare. Tutte le applicazioni lineari sono infatti prodotte da un’op- portuna matrice.

Osservazione: A ∈ M (p, n, K), X ∈ Kⁿ, A · X = x₁A¹+ . . . + x_nAⁿ

Proposizione: sia g : Kⁿ −→ K^p lineare, siano e₁ =





 1 0 ... 0





, . . . , e_n =





 0

... 0 1





 (ossia e_i ´e il vettore

formato da tutti 0, eccetto l’elemento i-esimo, uguale ad 1) e sia inoltre:

A =



 g(e1) . . . g(en)



. Allora g = LA.

Dimostrazione: ∀X ∈ Kⁿ, g(X)= L^? A(X):

Sapendo che A · X = x1A¹+ . . . + xnAⁿ, X = x1e1+ . . . + xnen e che g ´e lineare, allora:

LA(X) = AX = x1A¹+ . . . + xnAⁿ= x1g(e1) + . . . + xng(en) = g(x1e1) + . . . + g(xnen) =

= g(x1e1+ . . . + xnen) = g(X).

Nucleo e Immagine di un’applicazione lineare, Sistemi Lineari

(9)

Applicazioni Lineari, Sistemi Lineari

Kerf = {x ∈ V | f (x) = 0}

Imf = {y ∈ W | ∃x ∈ V t. c. f (x) = y}

Osservazione: f ´e surgettiva ⇐⇒ Imf = W Proposizione:

1. Kerf é un sottospazio vett. di V ; 2. Imf é un sottospazio vett. di W ; 3. f é iniettiva ⇐⇒ Kerf = {0}

Dimostrazione: :

1. • 0 ∈ Kerf , poich´e f (0) = 0;

• ∀x, y ∈ Kerf =⇒ x + y ∈ Kerf : f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 + 0 = 0;

• ∀x ∈ Kerf, ∀α ∈ K =⇒ αx ∈ Kerf : f (αx) = αf (x) = α · 0 = 0.

2. • 0 ∈ Imf , poich´e f (0) = 0;

• ∀z, w ∈ Imf, ∃x, y ∈ V t. c. z = f (x), w = f (y) =⇒ z + w = f (x) + f (y) =

= f (x + y) =⇒ z + w ∈ Imf ;

• ∀z ∈ Imf, ∃x ∈ V t. c. z = f (x) =⇒ ∀α ∈ K, αz = αf (x) = f (αx) =⇒ αz ∈ Imf . 3. =⇒: Sappiamo che {0} ⊂ Kerf . Facciamo vedere che Kerf ⊂ {0}.

Sia x ∈ Kerf =⇒ f (x) = 0 = f (0). Poich´e f ´e iniettiva: f (x) = f (0) ⇐⇒ x = 0

⇐=: Facciamo vedere che se f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y

f (x) − f (y) = f (x − y) = 0 =⇒ x − y ∈ Kerf =⇒ x − y = 0, x = y Analogamente: KerLA= {X ∈ Kⁿ | AX = 0}.

Risoluzione di sistemi lineari

Definizione: Si dice sistema lineare di p equazioni in n incognite x1, . . . , xn un sistema nella forma:









a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2

. . .

ap1x1+ ap2x2+ . . . + apnxn= bp

tale che aij ∈ K, bk∈ K.

Definizione: (y1, . . . , yn) ∈ Kⁿ ´e una soluzione di un sistema lineare se ´e soluzione di tutte le equazioni che lo compongono. Risolvere un sistema lineare vuol dire trovare tutte le soluzioni.

Definizione: due sistemi lineari si dicono equivalenti fra loro se hanno le stesse soluzioni.

Dedichiamoci ora alla risoluzione dei sistemi lineari. Prima osserviamo che:

Osservazione: i sistemi a scalini sono semplici da risolvere. Essi sono nella forma:









a11x1+ a12x2+ a13x3+ . . . + a1nxn= b1

a22x2+ a23x3+ . . . + a2nxn= b2

. . .

appxp+ . . . + apnxn= bp

Chiamiamo aii6= 0 pivot.

E importante che le incognite calino scendendo nel sistema: ´e possibile, in tale situazione, risolvere l’ul-´ tima equazione ricavando xp= a⁻¹_pp(bp− ap,p+1xp+1− . . . − apnxn), sostituire la variabile ricavata nella precedente equazione e iterare il processo fino ad arrivare alla prima equazione.

(10)

Osservazione: : Eseguendo su un sistema lineare le seguenti operazioni elementari si ottiene un sistema ad esso equivalente:

1. scambiare due equazioni (l’ordine non conta);

2. moltiplicare un’equazione per α ∈ K, α 6= 0;

3. sommare ad una equazione un multiplo di un’altra.

Possiamo vedere un sistema lineare anche nella forma:





a11 . . . a1n

... ... ap1 . . . apn







 x1

... xn



 =



 b1

... bn





dove la matrice appartiene a M (p, n, K) ed ´e detta matrice dei coefficienti.

Osservazione: AX = B é risolubile ⇐⇒ ∃Y ∈ Kⁿ t. c. AY = B ⇐⇒ B ∈ ImLA. Se LAé surgettiva il sistema é sempre risolubile (esiste sempre Y t. c. AY = B).

Se LA ´e iniettiva il sistema ha un’unica soluzione (se esiste Y soluzione, ´e unica: LA(X) = LA(Y ) ⇐⇒

X = Y ).

Un sistema a scalini ´e rappresentato da una matrice a scalini.

Ci preoccupiamo ora di trasformare una matrice in una a scalini. Per far questo possiamo usare le seguenti operazioni elementari per riga (che altro non sono che le operazioni elementari sopra citate):

1. scambiare due righe;

2. moltiplicare una riga per α ∈ K, α 6= 0 (Ai → αAi);

3. sommare ad una riga un multiplo di un’altra (Ai→ Ai+ βAj).

Algoritmo di Gauss

Cominciamo con un esempio: µ

1 2 4

2 −1 3

¶

=

½ x + 2y = 4 2x − y = 3

Se la prima colonna é non nulla, guardo l’elemento [A]11. Se é 0, scambio due righe portando al primo posto una riga il cui primo elemento é diverso da 0. A questo punto (nel nostro esempio) A2→ A2− 2A1:

µ 1 2 4

0 −5 −5

¶

Faccio in modo che sotto al primo pivot non rimangano che 0, quindi itero il procedimento considerando il secondo pivot (l’elemento di posto [A]22) senza toccare pi´u la prima riga.

Enunciamo ora l’algoritmo di Gauss per ridurre una matrice A a scalini utilizzando le operazioni per riga:

1. sia j1il minimo intero t. c. A^j¹ 6= 0 (prendo la prima colonna non nulla);

2. a meno di scambiare due righe posso supporre che [A]1j16= 0;

3. ∀i > 1 sostituisco Ai → Ai− ([A]⁻¹_1j₁· [A]ij1) · A1;

4. itero il procedimento sulla sottomatrice ottenuta scartando la prima riga e le prime j1colonne.

Esempio: 

 1 2 3 0

1 2 4 −3

2 1 0 1



 →



 1 2 3 0

0 0 1 −3

0 −3 −6 1



 →



 1 2 3 0

0 −3 −6 1

0 0 1 −3





(11)

2. Ogni sistema AX = B ´e equivalente ad un sistema a scalini (cio´e ad A1X = B1 con (A1|B1) a scalini).

Osservazione: se AX = B ´e un sistema equivalente a SX = T , dove (S | T ) ´e a scalini:

• il sistema ´e risolubile ⇐⇒ numero di pivots di S = numero di pivots di (S | T );

• se ´e risolubile, ricavo r variabili in funzione di n − r parametri.

Prodotto di Matrici

Siano f e g due applicazioni lineari tale che:

Kⁿ −→ K^f ^p−→ K^g ^q

con f (X) = AX e g(X) = BX, dove A ∈ M (p, n, K), B ∈ M (q, p, K).

Osservazione: La composizione di due applicazioni lineari ´e lineare:

• (g ◦ f )(x + y) = g¡

f (x + y)¢

= g¡

f (x) + f (y)¢

= g¡ f (x)¢

+ g¡ f (y)¢

= (g ◦ f )(x) + (g ◦ f )(y);

• (g ◦ f )(αx) = g¡ f (αx)¢

= g¡ αf (x)¢

= αg¡ f (x)¢

= α(g ◦ f )(x).

Anche (g ◦ f ) deve essere indotta da una matrice: ∃C ∈ M (q, n) t. c. (g ◦ f )(X) = CX ∀X ∈ Kⁿ. Per capire come la matrice C derivi dalle matrici A e B, calcoliamo l’elemento di posto j nel vettore (g ◦ f )(X) ∈ K^q. Utilizziamo la notazione [(g ◦ f )(X)]j1in quanto vediamo il vettore come una matrice con q righe e 1 colonna.

Ricordiamo inoltre che data una matrice A ∈ M (p, n, K) e un vettore X ∈ Kⁿ:

[AX]i1= Xn k=1

¡[A]ik· [X]k1

¢

[(g◦f )(X)]j1= [B(AX)]j1= Xp h=1

[B]jh·[AX]h1= Xp h=1

[B]jh· Xn i=1

¡[A]hi·[X]i1

¢= Xn i=1

Ã _p X

h=1

[B]jh· [A]hi

!

·[X]i1

Dunque se B · A ∈ M (q, n) allora:

[AX]ji= Xp h=1

[B]jh· [A]hi= Bj· Aⁱ

Poich´e si moltiplica la j-esima riga di B per la i-esima colonna di A, tale prodotto viene detto: prodotto riga per colonna.

Osservazione: non sempre due matrici sono moltiplicabili: abbiamo visto che la prima deve avere un numero di colonne pari al numero di righe della seconda.

Si verifica che, nei casi in cui il prodotto ha senso:

• (AB)C = A(BC)

• (λA)B = λ(AB)

• (A + B)C = AC + BC

• A(B + C) = AB + AC

• IpA = AIq = A, ∀A ∈ M (p, q), In ∈ M (n, n) t. c. [In]ii = 1, [In]ji= 0 j 6= i

La matrice I_n, detta matrice identica ´e nella forma:





1 0

. ..

0 1





(12)

Ci restingiamo ora al caso delle matrici quadrate, ossia quelle in cui il numero di righe e di colonne ´e lo stesso. Le indichiamo con M (n). Consideriamo¡

M (n), +, ·¢

, con · restrizione del prodotto fra matrici all’insieme delle matrici quadrate. Esso ´e un anello non commutativo.

Facciamo vedere con un esempio che non vale le propriet´a commutativa:

µ 1 2 3 1

¶

·

µ 2 −1

0 3

¶

=

µ 2 5 6 0

¶

µ 2 −1

0 3

¶

·

µ 1 2 3 1

¶

=

µ −1 3 9 3

¶

Dimostriamo che non esiste l’inverso per tutti gli elementi dell’anello (e dimostriamo quindi che ´e effet- tivamente un anello e non un corpo).

Consideriamo la matrice

µ 1 1 0 0

¶

6= 0 e facciamo vedere che non esiste nessuna matrice che, moltipli- candola a destra, ci dia la matrice identit´a:

µ 1 1 0 0

¶

·

µ a b c d

¶

=

µ a + b c + d

0 0

¶

=

µ 1 0 0 1

¶

Ne ricaviamo un assurdo, poich´e abbiamo 0 = 1.

Definizione: sia A un anello, a ∈ A, a 6= 0 si dice divisore di zero se ∃b ∈ A, b 6= 0 t. c. a · b = 0.

Osservazione: un campo e un corpo non contengono divisori di 0 (a causa dell’esistenza dell’inverso).

Facciamo vedere che l’anello considerato contiene divisori di 0:

µ 1 0 0 0

¶

·

µ 0 0 1 1

¶

=

µ 0 0 0 0

¶

Definizione: A ∈ M (n) si dice nilpotente se ∃m ∈ N t. c. A^m= 0.

La seguente matrice ´e nilpotente:

µ 0 1 0 0

¶

·

µ 0 1 0 0

¶

=

µ 0 0 0 0

¶

(13)

Dimensione e base di uno spazio vettoriale

Definizione: V spazio vettoriale si dice finitamente generato se ∃v1, . . . , vn t. c. V = span(v1, . . . , vn), cio´e

∀v ∈ V ∃c1, . . . , cn∈ K t. c. v = Xn

i=1

civi

.

Osservazione: R[x] non ´e finitamente generato. Se p₁(x), . . . , p_m(x) fossero generatori, detto s = max deg¡

pi(x)¢

, ∀i = 1, . . . , m, non si potrebbero ottenere polinomi di grado maggiore ad s.

Definizione: v1, . . . , vn ∈ V si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare nulla dei vi ´e quella con i coefficienti tutti nulli. Ossia:

c1v1+ . . . + cnvn= 0 ⇐⇒ c1= . . . = cn= 0

Definizione: {v1, . . . , vn} si dice base di V se sono generatori di V e linearmente indipendenti.

Esempi:

{e1, . . . , en} sono una base di Kⁿ

{1, x, . . . , x^d} sono una base di Kd[x], ossia il sottospazio vettoriale di K[x] contenente i polinomi di grado minore o uguale a d.

Osservazione: v ∈ V ´e linearmente indipendente =⇒ v 6= 0.

Proposizione: se uno almeno fra v1, . . . , vk ´e nullo =⇒ v1, . . . , vk sono linearmente dipendenti;

Dimostrazione: se v1= 0 =⇒ v1+ 0 · v2+ . . . + 0 · vn= 0, ma il primo coefficiente ´e non nullo.

Proposizione: Sia k ≥ 2. v₁, . . . , v_k sono linearmente indipendenti ⇐⇒ almeno uno di essi ´e combina- zione lineare degli altri.

Dimostrazione:

=⇒: ∃α1, . . . , αk∈ K non tutti nulli t. c. α1v1+ . . . + αkvk = 0.

Se per esempio: α16= 0 =⇒ α1v1= −(α2v2+ . . . + αkvk) =⇒ v1= −α⁻¹₁ (α2v2+ . . . + αkvk). Cio´e v1 ´e combinazione lineare degli altri vettori.

⇐=: Se v1= b2v2+ . . . + bkvk=⇒ v1− b2v2− . . . − bkvk= 0, ossia sono linearmente dipendenti.

Osservazione: v1, . . . , vk sono vettori linearmente indipendenti e m ≤ k =⇒ v1, . . . , vm sono linearmente indipendenti.

Osservazione: se vp∈ span(v1, . . . , vp−1) =⇒ span(v1, . . . , vp) = span(v1, . . . , vp−1).

Proposizione: Se B = {v1, . . . , vm} ´e una base di V , allora ogni v ∈ V si scrive in modo unico come:

v = a1v1+ . . . + amvm. a1, . . . , am si dicono coordinate di v rispetto alla base B e si scrive [v]B. Dimostrazione:

Se v = a1v1+ . . . + amvm= b1v1+ . . . + bmvm=⇒ (a1− b1)v1+ . . . + (am− bm)vm= 0.

Essendo v1, . . . , vmlinearmente indipendenti: ai− bi= 0 ∀i = 1, . . . , m =⇒ ai= bi ∀i = 1, . . . , m.

In uno spazio Kⁿ le componenti di un vettore coincidono con le coordinate, se si una la base canonica C = {e1, . . . , en}.

(14)

Dimensione e base di uno spazio vettoriale

Fissare B base di V significa fissare l’applicazione: [ ]B: V −→ Kⁿ. Verifichiamo che l’applicazione [ ]B´e lineare:

• [ ]B(v + w)= [ ]^? B(v) + [ ]B(w)

v = a1v1+ . . . + anvn, w = b1v1+ . . . + bnvn=⇒ v + w = (a1+ b1)v1+ . . . + (an+ bn)vn

[v + w]B=





a1+ b1

... an+ bn



 =



 a1

... an



 +



 b1

... bn



 = [v]B+ [w]B;

• allo stesso modo per il multiplo.

[ ]B´e iniettiva: se v ∈ Ker[ ]B=⇒ [v]B=¡

0, . . . , 0¢

=⇒ v = 0 · v1+ . . . + 0 · vn. [ ]B´e surgettiva: ∀¡

c1, . . . , cn

¢∃v ∈ V t. c. [v]B =¡

c1, . . . , cn

¢, basta prendere v = c1v1+ . . . + cnvn.

Definizione: un’applicazione lineare inettiva e surgettiva si dice isomorfismo.

Definizione: quando tra due spazi vettoriale c’´e un isomorfismo si dicono isomorfi.

Teorema: sia {v1, . . . , vn} una base di V , e siano w1, . . . , wp p vettori di V . Se p > n =⇒ w1, . . . , wp

sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione: Essendo {v1, . . . , vn} una base posso scrivere w1, . . . , wp come loro combinazioni lineari:

w1= a11v1+ . . . + an1vn

w2= a12v1+ . . . + an2vn

...

wp= a1pv1+ . . . + anpvn

Cerco α1, . . . , αp non tutti nulli t. c. α1w1+ . . . + αpwp= 0:

0 = α1w1+ . . . + αpwp= α1(a11v1+ . . . + an1vn) + . . . + αp(a1pv1+ . . . + anpvn) =

= (a11α1+ . . . + a1pαp)v1+ . . . + (an1α1+ . . . + anpαp)vn

Ma v₁, . . . , v_n sono tutti linearmente indipendenti, quindi una loro combinazione lineare nulla si ottiene sono se i coefficienti sono tutti nulli, cio´e se:





a11α1+ . . . + a1pαp= 0 ...

an1α1+ . . . + anpαp= 0

Quindi (α1, . . . , αp) devono essere soluzioni del sistema lineare omogeneo (i cui termini noti sono tutti nulli) la cui matrice associata ´e:



a11 . . . a1p

... ... an1 . . . anp



 ∈ M (n, p)

Sappiamo che un sistema omogeneo ha sempre soluzione (almeno la soluzione nulla), ma ci interessa che ne abbia almeno un’altra non nulla. Osserviamo che il numero di pivot ´e al pi´u n, ma n < p, quindi esiste almeno un’altra soluzione (α1, . . . , αp) non nulla.

Corollario: se B = {v1, . . . , vn} e S = {w1, . . . , wp} sono due basi di V =⇒ n = p

Dimostrazione: dal teorema n ≥ p, ma anche p ≥ n, poich´e sono entrambe basi =⇒ n = p

Definizione: se V ammette una base B = {v1, . . . , vn}, si dice che V ha dimensione n e si indica dimV = n¡

0ª

. Da ogni insieme finito di generatori ´e possibile estrarre una base di V (ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base).