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Energia potenziale gravitazionale e principio di conservazione dell’energia

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Academic year: 2021

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(1)

Energia potenziale gravitazionale

e principio di conservazione dell’energia

(2)

Il campo gravitazionale è un sistema fisico che può compiere lavoro

Consideriamo un campo gravitazionale a simmetria sferica, creato da una massa M

M

(3)

Consideriamo un campo a simmetria sferica, creato da una massa M

M

Una massa m

A

,

molto più piccola di M (m

A

<< M), messa in un punto del campo, si sposta, «attratta» da M, seguendo una direzione radiale

m

A

sulla massa m

A

agisce il campo gravitazionale, attraverso una

forza Il cui valore è dato da

(4)

Questa forza agisce sulla massa m

A

Il suo valore è dato da

M

m

A

Il campo gravitazionale è un sistema fisico che può

compiere lavoro;

Esso è sede di una forza, quella gravitazionale, che

agendo su una massa può produrre movimento

(5)

Calcolare il lavoro svolto dalla forza gravitazionale non è

semplice perché la forza aumenta man mano che diminuisce la distanza d tra la massa M che crea il campo e quella m

A

che ne subisce l’azione

Quello che segue serve solamente a far capire, in modo

molto approssimato, come si ricava la relazione che descrive il lavoro svolto dalla forza gravitazionale

La forza cambia punto per punto della traiettoria, aumentando in

modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza

(6)

Lo spostamento s avviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d

Il lavoro svolto è dato dalla relazione

m

A

M

(7)

Lo spostamento s della massa m

A

avviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d

Lo spostamento s e la distanza d sono sostanzialmente

«la stessa cosa»

Quindi nell’espressione del lavoro svolto

(8)

Al posto dello spostamento s mettiamo d

quindi

m

A

Il lavoro è

(9)

Questa relazione rappresenta il lavoro svolto dal campo gravitazionale per portare la massa

m

A dall’infinito alla distanza

d

ATTENZIONE!!!:

Parlare di lavoro svolto dal campo gravitazionale significa sottolineare che è il campo gravitazionale ad agire direttamente su

m

A e questa

azione si manifesta attraverso l’azione della forza gravitazionale.

m

A

Ma può anche rappresentare il lavoro svolto da una forza esterna, contro

M

il campo gravitazionale, per portare la massa

m

A dalla distanza

d

all’infinito

(10)

Lavoro svolto

contro il campo

gravitazionale

(11)

Lavoro svolto contro il campo

gravitazionale

(12)

Lavoro svolto dal campo

gravitazionale

(13)

Lavoro svolto dal campo

gravitazionale

(14)

Lavoro svolto dal campo

gravitazionale

(15)

Lavoro svolto contro il campo

gravitazionale

(16)

Lavoro svolto contro il campo

gravitazionale

(17)

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

(18)

Lavoro svolto dal campo gravitazionale

(19)

Lavoro svolto contro il campo gravitazionale

(20)

La massa m

A

messa alla distanza d , nel campo gravitazionale a simmetria sferica creato dalla massa M possiede un’energia potenziale gravitazionale (U

G

) descritta dalla relazione

Se la massa m

A

è costretta a stare alla distanza d da M , si

dice che possiede energia potenziale gravitazionale che, eventualmente, si può trasformare in lavoro

= � �

(21)

M

m

A

= � �

�=− � � �

(22)

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale

(23)

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale

All’aumentare della distanza tra le cariche la forza diminuisce molto più velocemente dell’energia potenziale

(24)

Matematicamente si tratta di funzioni diverse.

Non tenendo conto del segno meno le due funzioni sono:

f(x)

x

GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale

(25)

m

A

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa

m

A dal punto

B

al punto

C

?

(

B

e

C

sono punti del campo gravitazionale creato da

M

)

. B . C

M

(26)

m

A

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa

m

A dal punto

B

al punto

C

?

(

B

e

C

sono punti del campo gravitazionale creato da

M

)

. B . C

M

=− � �

=− � �

��

=

=− � �

+ � �

(27)

m

A

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa

m

A dal punto

B

al punto

C

?

(

B

e

C

sono punti del campo gravitazionale creato da

M

)

. B . C

M

��

=

=− � �

+ � �

��

=

=− � �

+ � �

Raccogliendo a fattore comune si ottiene:

��

=− � � �

(

− �

)

(28)

m

A

Il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa

m

A dal punto

B

al punto

C

può essere considerato anche come

differenza tra le energie potenziali nei punti B e C.

. B . C

M

��

=�

( �)− �

( �)=− � � �

+ � �

��

=�

( �)− �

( �)=− � � �

(

− �

)

��

= Δ

=− � � �

(

− �

)

(29)

In generale il lavoro svolto è sempre uguale alla variazione di energia potenziale

�=Δ �

(30)

SSuperfici equipotenziali

M

(31)

Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa

m

A dal punto

E

al punto

F

?

E

. F

Si può dimostrare che il lavoro è identico a quello calcolato in precedenza per il lavoro dal punto

B

al punto

C

Le distanze dei punti

E

ed

F

dalla massa M che genera il campo sono identiche a quelle dei punti

B

ed

C

M

��

=− � � �

(

− �

)

m

A

(32)

. E . F

Un’altra proprietà del campo gravitazionale a simmetria sferica è che

Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

M m

A

(33)

m

A

. E . F

Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

M

(34)

. E . F

Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

M m

A

(35)

. E . F

Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

m

A

M

(36)

. E . F

Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.

m

A

M

(37)

. F

Se il percorso è chiuso il lavoro svolto dalla forza gravitazionale è ZERO!!!! IL CAMPO GRAVITAZIONALE E’ CONSERVATIVO

M m . E

A

(38)

Il lavoro svolto effettivamente dalle forze del campo è solamente quello lungo i pezzi di traiettoria che

coincidono con la direzione radiale e diretti verso la sorgente del campo M;

In tutti gli altri pezzi ci deve essere (c’è) un’altra forza che agisce

ATTENZIONE!!!!

(39)

. E . F

m

A

M

In questi tratti il lavoro è svolto effettivamente dalle forze del campo gravitazionale

In questi tratti il lavoro è svolto da altre forze ma non

dalla forza gravitazionale

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