Energia potenziale gravitazionale
e principio di conservazione dell’energia
Il campo gravitazionale è un sistema fisico che può compiere lavoro
Consideriamo un campo gravitazionale a simmetria sferica, creato da una massa M
M
Consideriamo un campo a simmetria sferica, creato da una massa M
M
Una massa m
A,
molto più piccola di M (m
A<< M), messa in un punto del campo, si sposta, «attratta» da M, seguendo una direzione radiale
m
Asulla massa m
Aagisce il campo gravitazionale, attraverso una
forza Il cui valore è dato da
Questa forza agisce sulla massa m
AIl suo valore è dato da
M
m
AIl campo gravitazionale è un sistema fisico che può
compiere lavoro;
Esso è sede di una forza, quella gravitazionale, che
agendo su una massa può produrre movimento
Calcolare il lavoro svolto dalla forza gravitazionale non è
semplice perché la forza aumenta man mano che diminuisce la distanza d tra la massa M che crea il campo e quella m
Ache ne subisce l’azione
Quello che segue serve solamente a far capire, in modo
molto approssimato, come si ricava la relazione che descrive il lavoro svolto dalla forza gravitazionale
La forza cambia punto per punto della traiettoria, aumentando in
modo inversamente proporzionale al quadrato della distanza
Lo spostamento s avviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d
Il lavoro svolto è dato dalla relazione
m
AM
Lo spostamento s della massa m
Aavviene lungo la direzione radiale indicata dalla distanza d
Lo spostamento s e la distanza d sono sostanzialmente
«la stessa cosa»
Quindi nell’espressione del lavoro svolto
Al posto dello spostamento s mettiamo d
quindi
m
AIl lavoro è
Questa relazione rappresenta il lavoro svolto dal campo gravitazionale per portare la massa
m
A dall’infinito alla distanzad
ATTENZIONE!!!:
Parlare di lavoro svolto dal campo gravitazionale significa sottolineare che è il campo gravitazionale ad agire direttamente su
m
A e questaazione si manifesta attraverso l’azione della forza gravitazionale.
m
AMa può anche rappresentare il lavoro svolto da una forza esterna, contro
M
il campo gravitazionale, per portare la massa
m
A dalla distanzad
all’infinito
Lavoro svolto
contro il campo
gravitazionale
Lavoro svolto contro il campo
gravitazionale
Lavoro svolto dal campo
gravitazionale
Lavoro svolto dal campo
gravitazionale
Lavoro svolto dal campo
gravitazionale
Lavoro svolto contro il campo
gravitazionale
Lavoro svolto contro il campo
gravitazionale
Lavoro svolto dal campo gravitazionale
Lavoro svolto dal campo gravitazionale
Lavoro svolto contro il campo gravitazionale
La massa m
Amessa alla distanza d , nel campo gravitazionale a simmetria sferica creato dalla massa M possiede un’energia potenziale gravitazionale (U
G) descritta dalla relazione
Se la massa m
Aè costretta a stare alla distanza d da M , si
dice che possiede energia potenziale gravitazionale che, eventualmente, si può trasformare in lavoro
�
�= − � � �
��
M
m
A�
�= − � � �
��
�=− � � �
��
GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale
GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale
All’aumentare della distanza tra le cariche la forza diminuisce molto più velocemente dell’energia potenziale
Matematicamente si tratta di funzioni diverse.
Non tenendo conto del segno meno le due funzioni sono:
f(x)
x
GRAFICI DELLA FORZA gravitazionale E DELL’ ENERGIA POTENZIALE gravitazionale
m
AQual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa
m
A dal puntoB
al puntoC
?(
B
eC
sono punti del campo gravitazionale creato daM
). B . C
M
m
AQual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa
m
A dal puntoB
al puntoC
?(
B
eC
sono punti del campo gravitazionale creato daM
). B . C
M
�
�=− � � �
��
��
�=− � � �
��
��
��= �
�− �
�=− � � �
��
�+ � � �
��
�m
AQual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa
m
A dal puntoB
al puntoC
?(
B
eC
sono punti del campo gravitazionale creato daM
). B . C
M
�
��= �
�− �
�=− � � �
��
�+ � � �
��
��
��= �
�− �
�=− � � �
��
�+ � � �
��
�Raccogliendo a fattore comune si ottiene:
�
��=− � � �
�( � ��
− � �
�)
m
AIl lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa
m
A dal puntoB
al puntoC
può essere considerato anche comedifferenza tra le energie potenziali nei punti B e C.
. B . C
M
�
��=�
�( �)− �
�( �)=− � � �
��
�+ � � �
��
��
��=�
�( �)− �
�( �)=− � � �
�( � ��
− � �
�)
�
��= Δ �
�=− � � �
�( � ��
− � �
�)
In generale il lavoro svolto è sempre uguale alla variazione di energia potenziale
�=Δ � �
SSuperfici equipotenziali
M
Qual è il lavoro svolto dalla forza gravitazionale per spostare una massa
m
A dal puntoE
al puntoF
?E
. F
Si può dimostrare che il lavoro è identico a quello calcolato in precedenza per il lavoro dal punto
B
al puntoC
Le distanze dei punti
E
edF
dalla massa M che genera il campo sono identiche a quelle dei puntiB
edC
M
�
��=− � � �
�( � ��
− � �
�)
m
A. E . F
Un’altra proprietà del campo gravitazionale a simmetria sferica è che
Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.
M m
Am
A. E . F
Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.
M
. E . F
Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.
M m
A. E . F
Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.
m
AM
. E . F
Il lavoro svolto dalle forze del campo è INDIPENDENTE DAL PERCORSO SEGUITO MA DIPENDE ESCLUSIVAMENTE DAL PUNTO DI PARTENZA E DAL PUNTO DI ARRIVO.
m
AM
. F
Se il percorso è chiuso il lavoro svolto dalla forza gravitazionale è ZERO!!!! IL CAMPO GRAVITAZIONALE E’ CONSERVATIVO
M m . E
A
