Energia Potenziale

Energia Potenziale

forme di energia

sistema semplice

[particella o corpo puntiforme]

energia cinetica K → associata al moto

sistema complesso

[due o più oggetti interagenti mediante forza interna]

energia cinetica K → associata al moto

energia potenziale U → associata alla configurazione [posizione] del sistema

energia interna E_int

→

associata alla temperatura

⇒ un oggetto può compiere lavoro utilizzando:

energia cinetica energia derivante dalla posizione

energia potenziale:

energia

immagazzinata

dal

sistema

che può essere convertita in energia cinetica o altre forme di energia

_r

energia potenziale gravitazionale

energia associata allo stato di separazione tra i corpi che si attirano reciprocamente

per effetto della forza di gravità esempio:

sollevando dei pesi modifico le posizioni

relative del sistema Terra-pesi.

Il lavoro svolto aumenta energia potenziale

gravitazionale

_r

energia potenziale elastica

energia associata allo stato di compressione o decompressione di un sistema elastico [tipo molla].

La forza in gioco è quella della molla.

esempio:

stirando o comprimendo una molla cambio le

posizioni relative delle spire della molla.

Il lavoro svolto aumenta energia potenziale

elastica della molla

Come si calcola

l ’ energia potenziale ?

(energia immagazzinata

a seguito di un cambiamento di posizione)

Energia Potenziale di un Sistema

sistema:

Terra-libro interazione:

forza gravitazionale

^ya = posizione iniziale

y_b

=

posizione finale

agente esterno

(

mano

)

solleva

il libro di Δy ⇒ compie lavoro L

equazione di continuità

libro

fermo libro e Terra

NON si scaldano

Δ U

int

+ E K

E

L

_ext

= Δ

_sistema

= Δ + Δ

energia potenziale [energia

immagazzinata]

energia potenziale:

se rilascio il libro da y_b, libro cade con energia cinetica origine energia cinetica → lavoro fatto per sollevarlo

in y

_b

energia del sistema ha potenziale capacità

di diventare energia cinetica

F 

ext

(

b a

)

b a g ext

ext

U y

mg y

mg j

y y

j mg

r g

m r

F L

Δ

=

−

=

−

⋅

=

Δ

⋅

−

= Δ

⋅

=  





 

deduzione espressione per energia potenziale gravitazionale

y mg

U

_g

= energia potenziale gravitazionale [si sceglie come riferimento

y

_i

=0 e quindi U

_i

=0 ]

N.B. vale solo per g=cost

(vicini alla superficie della Terra)

energia potenziale gravitazionale:

r  dipende da posizione verticale y [quota], rispetto a posizione di riferimento (y = 0)

r  non dipende dalla posizione orizzontale

( ) ( )

g a

b

a b

a b

ext

U y

mg y

mg

j y y

i x x

j mg

r g m r

F L

Δ

=

−

=

− +

−

⋅

=

Δ

⋅

−

= Δ

⋅

=

]

[  







 

x

_b

x

_a

y

_a

y

_b

Δ r

esempio: contrappeso di un ascensore

quale è la funzione dei contrappesi di un ascensore ?

g ext

ext

F r U

L =  ⋅ Δ  = Δ

lavoro svolto dal motore:

senza contrappeso:

4   motore deve sollevare

peso ascensore e suoi occupanti

4   grande aumento energia potenziale ascensore-Terra

4   grande spesa di energia dal motore

con contrappeso:

4   minore variazione netta della distanza (ascensore+contrappesi) – Terra

4   minore variazione energia potenziale

4   minore lavoro del motore

Sistema Isolato

[sistema senza trasferimento di energia attraverso il contorno]

y_b = posizione iniziale

y_a

=

posizione finale

studio lavoro svolto sul libro (dalla forza peso) quando cade:

( )

a b

b a

g gravità

y mg y

mg

j y y

j mg

r g m r

F L

−

=

−

⋅

−

=

Δ

⋅

= Δ

⋅

=  





 

K K

L

_gavità

= Δ

_libro

= Δ teorema energia cinetica

g i

f b

a a

b

mg y mg y mg y U U U

y

mg − = − ( − ) = − ( − ) = − Δ

g

gravità

K U

L = Δ = − Δ

= 0 Δ

+

Δ K U

_g

nella forma equazione continuità

0 ) (

)

( K

_f

− K

_i

+ U

_f

− U

_i

= K

_f

+ U

_f

= K

_i

+ U

_i

costante U

K

E

_g

mecc def

= + =

l’energia meccanica per un sistema isolato

si conserva

i i

f

f mg y mv mg y

mv² + = ² +

2 1 2

1

F 

g

A B

A B

A B

A B

K A U B U K

B U A U K

K

B U A U A

U B U B

A L

K K

mv mv

B A L

+

= +

−

=

−

−

=

−

−

=

→

−

=

−

=

→

) ( )

(

) ( ) (

) ( ) ( )

) ( ) ( ( ) (

2 1 2

) 1

( ^{2 2}

energia cinetica

ed

energia potenziale

:

r  quantità molto legate tra loro

r  entrambe esprimono il lavoro fatto per andare tra due punti A e B

corpo in caduta^:

a mano a mano che diminuisce di quota

r  aumenta velocità

r  diminuisce energia potenziale

è come se l’energia potenziale si trasformasse in

energia cinetica

in un sistema

isolato

in cui agiscono solo

forze conservative l’energia meccanica

di un corpo si

conserva

in ogni punto della traiettoria

K U E = U+K

energia meccanica

U K

E

mecc def

= +

[N.B. da qui nasce il termine forze conservative]

Conservazione Energia Meccanica

Sistema Isolato:

3 differenti tecniche per calcolare il lavoro

definizione

teorema lavoro - energia cinetica

(per corpo puntiforme)

mediante energia potenziale (per forze conservative)

∫ ^⋅

=

l(

F

A,B)

ds L

2 2

2 1 2

1

A

B

mv

mv

L = −

)) ( )

(

( U B U A L = − −

processo di integrazione in più dimensioni (spesso complesso o

non risolvibile analiticamente)

banale se si conoscono velocità iniziale e finale

devo sapere

solo

ed

esclusivamente

il valore dell’energia potenziale nei due punti A e B

1

2

3

energia potenziale gravitazionale

del sistema acqua – Terra si converte in

energia cinetica acqua

esempi: conservazione energia meccanica

in salita:

converto

energia cinetica in energia potenziale

in discesa:

converto

energia potenziale in energia cinetica

in un salto:

in una cascata:

esempio: ciclo completo di oscillazioni del pendolo

costante

= +

= K U E

mecc def

[N.B.

in presenza di forze di attrito (resistenza dell`aria, …) E_mecc è dissipata

⇒

il pendolo si ferma ]

Forze Conservative e NON

Ø  forze conservative :

lavoro compiuto è immagazzinato in forma di energia (detta potenziale) che può essere liberata successivamente

Ø  forze NON conservative :

lavoro compiuto NON può essere recuperato come energia cinetica ma è trasformato in altra forma di energia

(esempio: calore, rumore, …)

NON tutte le forze

conservano l ’ energia meccanica !!!

-

posso definire energia potenziale U U = f(y) L = -ΔU

-

si conserva energia meccanica

U = mgy

-

NON posso definire energia potenziale U

-

NON si conserva energia meccanica

costante U

K

E

_mecc

= + =

0 )

( + = Δ =

Δ

Δ

= Δ

−

=

mecc cons

E U

K

K U

L

Definizione/Proprietà forza conservativa

2 , 1

, ab

ab

L

L =

[N.B. mi permette di risolvere problemi complessi, utilizzando percorsi semplici a piacere]

Definizione 1: una forza è conservativa se

r

il lavoro svolto su una particella dalla forza è indipendente dalla trattoria

r

dipende solo dal punto iniziale e finale del percorso

Definizione 2: una forza è conservativa se

r 

il lavoro svolto su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo

2

0

, 1

,

+

_ba

=

ab

L

L

2 , 2

, 1

, ba ab

ab

L L

L = − =

⇒

Ø  una forza conservativa conserva energia meccanica

Ø  non causa trasformazione di energia meccanica

in energia interna del sistema

a

b

mg y

y mg

L = −

forza di gravità

y_b = posizione iniziale

y_a

=

posizione finale

il lavoro dipende solo da punto iniziale e punto finale non dal percorso

[vedi piano inclinato]

forza elastica

2 2

2 1 2

) 1

(

_{i f}

x

x

m

k x dx kx kx

L

f

i

−

=

−

= ∫

= 0

L

per un percorso chiuso

il lavoro dipende solo da punto iniziale e punto finale non dal percorso

= 0

L

per un percorso chiuso

sono forze conservative

y mg U

_g

=

2

2 1 kx

U

_m

=

^energia immagazzinata

[viene riconvertita in lavoro]

applicazione: calcolo del lavoro

utilizzando percorsi opportuni

corpo che scivola

su superficie senza attrito da

a ^a b.

percorre 2.0 m lungo tutto il tragitto e copre dislivello verticale di 0.80 m.

quanto lavoro compie

F

_g sul corpo?

NON posso utilizzare L = F

_g

· s = F

_g

s cos θ , infatti θ cambia continuamente

F

_g

è conservativa ⇒ calcolo L lungo un percorso opportuno tra a ^e b , facilitando i calcoli

scelgo il percorso tratteggiato

J m

s m kg

mgd L

mgd L

verticale e orizzontal

7 . 15 )

80 . 0 )(

/ 8 . 9 )(

0 . 2 ( ) 0 cos(

0 ) 90 cos(

2 0

0

=

=

=

=

=

J J

L L

L =

_orizzontale

+

_verticale

= 0 + 15 . 7 ≈ 16

Esempi di forze conservative

Forza peso

Forza elastica

Forza gravitazionale

Forza elettrostatica

j mg

F  

−

=

i kx

F  

−

=

r r q

F q ˆ

4 1

2 2 1

πε0

 =

r r m G m

F =− ¹₂ ² ˆ

non tutte le forze sono conservative:

una forza è NON conservativa se il lavoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso

[esempio: forza di attrito

forza di resistenza del mezzo]

mgh

P

P U ( ) =

2

2 ) 1

( P kx

_p

U =

rp

m G m

P

U( ) = ^{1 2}

rp

q P q

U ^{1 2}

4 0

) 1

( ⁼ πε

una forza è non conservativa se il lavoro che compie su un corpo

dipende dal cammino percorso

Forze NON Conservative

esempio :

la forza di attrito ^è dissipativa:

r 

trasforma energia meccanica in energia termica

[NON recupero mai l ’ energia trasformata in calore]

r 

il lavoro fatto dipende dal percorso

una forza è non conservativa se dissipa energia meccanica in energia interna al sistema

2 ) (

f d d f

dx f

dx f

x d f L

d d

B d A B

A d

B

A d

AB

π

−

=

−

=

−

=

−

=

⋅

=

∫

∫

∫ ^{ }

o equivalentemente

N.B. quando il libro viene lasciato, si ferma subito dopo:

NON recupero il lavoro fatto dalla forza attrito in energia cinetica !!

K L

U +

_{NON cons}

= Δ Δ

−

Conservazione dell ’ energia TOTALE [sistema isolato]

in presenza di forze NON conservative:

r

diminuzione energia cinetica ⇒ aumento energia interna [esempio: forza d ’ attrito trasforma energia cinetica

in energia termica]

r

generalizzazione teorema lavoro-energia cinetica:

costante E

E E

E U

K

E U

K

U K

E L

sistema mecc

attrito

=

= +

= +

+

= Δ

+ Δ

+ Δ

Δ + Δ

= Δ

−

=

int int

int int

0

E

int

x f

L

_attrito

= −

_d

Δ = − Δ

K L

L L

L

_{cons NONcons}

i

i

tot

= ∑ = + = Δ

se considero Universo come sistema isolato:

• 

quantità di energia presente nell’Universo è costante

• 

tutti i processi dell’Universo sono trasformazioni di energia

non si è mai osservata alcuna violazione

di tale principio di conservazione

mecc cons

NON

K U E

L = Δ + Δ = Δ

esempio: durante una discesa di montagna

lo scalatore scende lungo la parete e cambia la configurazione del sistema

lo scalatore deve trasferire energia

da energia potenziale gravitazionale del sistema

ad energia cinetica (legata alla sua velocità) senza che questa diventi eccessiva

la corda fa attrito sui moschettoni

⇒ trasferisce maggior parte di energia potenziale in energia termica di corda e metallo,

piuttosto che in energia cinetica

sistema ^:

scalatore+attrezzatura+Terra costante E

E U

K + +

_int

=

_sistema

=

Conversione energia meccanica energia cinetica ↔ energia potenziale

sistema

E U

K + =

Conversione energia totale

energia cinetica ↔ energia potenziale energia cinetica ↔ energia termica

sistema

E E

U

K + +

_int

=

F di attrito

compie lavoro negativo!!!

Lavoro svolto da Forza Esterna

[Sistema NON isolato]

lavoro :

energia trasferita a o da un sistema

per mezzo di una forza esterna che agisce su di esso

= ? L

r 

sistema semplice [corpo puntiforme]: F modifica solo K

r 

sistema complesso: F modifica K, U ed energia interna E

_int

1. sistema senza attrito

U K

L = Δ + Δ

E

mecc

L Δ =

lancio in aria una boccia [compio lavoro sul sistema]

varia velocità

boccia

varia distanza Terra-boccia

2. sistema con attrito

E

int

E

L = Δ

_mecc

+ Δ

a m f

F −

_d

= ⇒ ^{a = cost}

int 2

0 2

2 0 2

2 1 2

1 2

E K

d f K Fd

d f mv

mv Fd

ad v

v

d

d

Δ + Δ

= +

Δ

=

+

−

= +

=

E

int

U K

Fd = Δ + Δ + Δ

in generale [es. blocco su rampa]:

Sistema NON isolato

Strategia per risoluzione problemi

[sistema isolato e NON]

Applico il principio di conservazione dell’energia:

1. 

definisco il sistema (uno o più oggetti)

2. 

determino se si ha trasferimento di energia attraverso il contorno del sistema.

se si: sistema NON isolato se no: sistema isolato

3. 

se il sistema è

isolato

^:

scelgo posizione di riferimento per energia potenziale gravitazionale e per energia potenziale elastica

4. 

individuo eventuali forze non conservative

5. 

ricordo che se sono presenti attrito o forza di resistenza dell’aria energia meccanica NON si conserva

6. 

se ho solo forze conservative:

7. 

in presenza di forze NON conservative E_mecc non si conserva.:

Applico teorema forze vive:

= 0 Δ

=

Δ ∑

sistema sistema

E

H E

∑

=

Δ K L

_forzeattive

E

int

U K

costante

E

_sistema

= = + +

costante U

K

E

_mecc

= + =

è dovuta a forze NON conservative !!

Determinazione energia potenziale

[forze conservative]

Cerco espressione generale per energia potenziale

∫

=

^f

i

x

x

F x dx

L ( )

F(x) conservativa

x_i, x_f punto iniziale e finale percorso

f

i

U

U U

L = − Δ = −

il lavoro non dipende dal percorso, ma solo da punto iniziale e finale.

⇒  

definisco

funzione energia potenziale U

[vedi considerazioni su forza di gravità]

∫

−

=

^f

i

x i x

f

U F x dx

U ( )

relazione generale

N.B. sono importanti solo le variazioni ΔU

il lavoro compiuto da una forza conservativa è uguale alla variazione, cambiata di segno, di energia potenziale associata alla forza

riferimento

∫

−

=

−

=

Δ

^f

i

x i x

f

U F x dx

U

U ( )

energia associata ad una configurazione del sistema

esempio 1: energia potenziale gravitazionale

-mg

-mg y

_i

y

_f

[ ]

_i^f

f

i f

i f

i

y y y y y y

y y

y mg

dy mg

dy mg

dy y F U

=

=

−

−

=

−

= Δ

∫

∫

∫

) (

) (

y mg y

y mg

U =

_f

−

_i

= Δ

Δ ( )

per una generica posizione y del corpo:

) (

)

(

_{i i}

i

mg y y mg y y

U

U − = − = −

y

U = mg energia potenziale gravitazionale [se scelgo come riferimento

y

_i

=0 e quindi U

_i

=0 ]

N.B. vale solo per g = cost

(vicini alla superficie della Terra)

energia potenziale gravitazionale:

r  dipende da posizione verticale y (quota), rispetto a posizione di riferimento (y = 0)

r  non dipende dalla posizione orizzontale

esempio 2: energia potenziale elastica

[ ]

i^f f

i f

i f

i

x x x

x x x

x x

x k

xdx k

dx kx

dx x F U

2

2 1

) (

) (

=

=

−

−

=

−

= Δ

∫

∫

∫

2 2

2 1 2

1

i

f

kx

kx

U = −

Δ

per una generica posizione x del corpo:

2 0

0 = 1

²

−

− k x

U

2

2

1 k x U =

energia potenziale elastica:

energia immagazzinata nella molla deformata può essere rilasciata in

energia cinetica del blocco

[se scelgo come riferimento x_i=0 e quindi U_i=0 ]

Forza Gravitazionale e Potenziale

forza gravitazionale : forza di attrazione reciproca

fra due corpi qualsiasi nell’universo

r 

esempio di azione e reazione

r 

intensa fra corpi macroscopici

r 

la più debole fra le forze esempio:

sistema protone-neutrone:

F

_g

(p-n) ∼ 10

^-47

N F

_em

(p-n) ∼ 10

^-7

N

Terra attira mela mela attira Terra

Terra attira Luna Luna attira Terra

2 2

11 2

2 1

/ 10

67 .

6 N m kg

G

r m G m

F

_g

=

−

 =

Legge della Gravitazione Universale:

- Ricavata da Newton (1686)

[sulla base delle leggi di Keplero del moto dei pianeti (1608-1619)];

-  Vale per due masse qualsiasi

[masse concentrate in un punto; sviluppo del calcolo integrale]

- Base per completa descrizione matematica moto dei pianeti

Leggi di Keplero (1571-1630)

[basate sulle osservazioni astronomiche di Tycho Brahe (1546-1601)]

Seconda Legge

Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali

-  Velocità areolare costante

-  La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita Terza Legge

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite

-  Pianeti lontani hanno periodo di rivoluzione maggiore

T

a

Limiti di validità delle leggi di Keplero:

à massa del pianeta trascurabile rispetto al Sole;

à Nessuna interazione fra diversi pianeti (perturbazioni delle orbite)

Prima Legge

L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi

Bilancia di Cavensdish (1798) per la misura della costante G

[Simile a experimento di Coulomb]

r r G M m g F

T g

2 ˆ

−

=

=

 

r

accelerazione gravitazionale terrestre

km R

r = _T =6370

distribuzione radiale

in prossimità della superficie:

( )

2

2 24 11

2

/ 8 . 9

6370000 10 98 . 10 5

67 . 6

s m R GM g

T T

=

⋅ ⋅

=

=

−

distribuzione

uniforme

r

potenziale gravitazionale

2 2

2

1 1

ˆ r

r r m G m

F =− ≈ −

è conservativa

⇒

ammette potenziale

f

i f

i f

i

r

r r

r r

r i

f dr Gm m r

m r Gm dr

r F U

U ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

=

=

−

=

−

∫

^{( ) 1 2}

∫

^{12 1 2 1}

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

−

i f i

f U Gmm r r

U 1 1

2 1

r r

m r Gm

U 1

)

( = − ^{1 2} ≈ − se scelgo come riferimento

r_i=∞ e quindi U_i=0

è negativo (forza attrattiva)

N.B. in prossimità della superficie terrestre:

y R mg

m y r GM

r r m r

r GM m r

GM U

T T i

f i f T i

f T

g Δ = Δ

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

Δ 1 1 ₂

E_mecc,i = E_{mecc, f}

−GM_Tm r_i = 1

2 mv²_f − GM_Tm R_T 0 = 1

2 mv²_f − GM_Tm R_T Applicazione: Energia Potenziale e Cinetica

di oggetto che cade verso la Terra [v_i = 0, r_i molto grande]

Continua conversione Energia Potenziale in

Energia Cinetica

v_f = 2GM_T

R_T = 11200m / s = 11.2km / s

Velocità di caduta sulla Terra:

- 16 proiettile di fucile - NON dipende da m (asteroidi, …)

applicazioni: velocità di fuga

in generale il proiettile:

4 rallenta

(converte K in U, h aumenta) 4

si arresta

(K = 0, E_mecc = U)

4

ricade

(converte U in K, h diminuisce)

esiste un valore minimo di v

_i

per cui il proiettile non torna indietro

E_mecc,i = E_{mecc, f} 1

2 mv_i² − GM_Tm

R_T = −GM_Tm

r_max

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛ −

=

max

2

1 1

2 GM R r

v

T T i

proiettile lanciato in aria massa m, velocità v_i

costante U

K

E

_mecc

= + =

r fuga

i

v

v

∞

→

→

ma x

velocità minima che il corpo deve avere per continuare

a muoversi allontanandosi sempre

fuga def

v =

T T

fuga

R

v 2 GM

=

NON dipende da massa oggetto!!

[è la stessa per molecola o navicella spaziale]

Link: Teoria cinetica dei gas, composizione atmosfera

⇒

Pianeta v_f (km/s) Terra 11.2

Luna 2.3

Sole 618

Marte 5.0

Giove 60

applicazione: composizione atmosfera terrestre

atmosfera terrestre:

involucro di gas

che circondano la terra trattenuti da

attrazione gravitazionale

Perché H, He, gli elementi allo stato libero più abbondanti (4%) nell’universo,

sono presenti in quantità minime ?

composizione aria fino a 100 km da terra

N₂ 78%

O₂ 21%

altro

molecole

leggere

(come idrogeno ed elio) hanno velocità traslazionali vicine (≥ 1km/s) a velocità di fuga terrestre (≈ 11 km/s)

⇒ molecole leggere si diffondono nello spazio

Giove:

v_fuga= 60 km/s

⇒ trattiene più facilmente H, He

costituenti principale sua atmosfera

Luna:

v_fuga= 2.3 km/s

⇒ NON c’è atmosfera

m T v

_rqm

3 k

^B

=

Ricerca Analitica di una Forza

x x F L

U A

U B

U L

Δ

=

Δ

−

=

−

−

=

) (

)) ( )

( (

Il lavoro fatto da una forza conservativa

è pari alla variazione di energia potenziale fra punto iniziale e finale del percorso

dx x dU

F

x x U

F

−

=

Δ

− Δ

= ) (

)

( una forza conservativa e` uguale

alla derivata cambiata di segno dell`energia potenziale

costante ) ( )

(

=

+

= K x U x E_mecc

) ( )

(x E U x

K = _mecc −

0 ( =x) F

sistema in equilibrio:

x>x₅ eq. indifferente (U cost) x=x₂ eq. stabile (U min) x=x₄ eq. stabile (U min) x=x₃ eq. instabile (U max)

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

-4 -2 0 2 4 6

Altezza

Energia Potenziale

m = 1 kg g = 9.8 m/s²

energia potenziale della forza peso è funzione lineare dell’altezza:

r  maggiore è l’altezza maggiore è l’energia potenziale

r  la forza peso

non

ha punti di

equilibrio

y mg y

U ( ) =

Forza Peso

0 y

y U

dy mg y y dU

F = − ( ) = − )

(

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-4 -2 0 2 4 6

Allungamento

Energia Potenziale

Forza Elastica

K = 3.5 N/m

2

2 ) 1

( x k x U =

U

x

energia potenziale della forza elastica è una parabola con un minimo

nel punto ad allungamento zero

N.B. un minimo di potenziale (anche relativo)

indica un punto di equilibrio stabile del sistema, ossia un punto dove il corpo non è soggetto a forze

x dx k

x x dU

F = − ( ) = − )

(