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Energia Potenziale

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Energia Potenziale

forme di energia

sistema semplice

[particella o corpo puntiforme]

energia cinetica K associata al moto

sistema complesso

[due o più oggetti interagenti mediante forza interna]

energia cinetica K associata al moto

energia potenziale U associata alla configurazione [posizione] del sistema

energia interna Eintassociata alla temperatura

un oggetto può compiere lavoro utilizzando:

energia cinetica energia derivante dalla posizione

energia potenziale: energia immagazzinata dal sistema che può essere convertita in energia cinetica o altre forme di energia

(2)

r

energia potenziale gravitazionale

energia associata allo stato di separazione tra i corpi che si attirano reciprocamente

per effetto della forza di gravità esempio:

sollevando dei pesi modifico le posizioni

relative del sistema Terra-pesi.

Il lavoro svolto aumenta energia potenziale

gravitazionale

r

energia potenziale elastica

energia associata allo stato di compressione o decompressione di un sistema elastico [tipo molla].

La forza in gioco è quella della molla.

esempio:

stirando o comprimendo una molla cambio le

posizioni relative delle spire della molla.

Il lavoro svolto aumenta energia potenziale

elastica della molla

(3)

Come si calcola

l’energia potenziale ?

(energia immagazzinata

a seguito di un cambiamento di posizione)

(4)

Energia Potenziale di un Sistema

sistema:

Terra-libro interazione:

forza gravitazionale ya = posizione iniziale

yb = posizione finale

agente esterno (mano) solleva il libro di Δy ⇒ compie lavoro L

equazione di continuità

libro

fermo libro e Terra

NON si scaldano

Δ U

int

+ E K

E

L

ext

= Δ

sistema

= Δ + Δ

energia potenziale [energia

immagazzinata]

energia potenziale:

se rilascio il libro da yb, libro cade con energia cinetica origine energia cinetica → lavoro fatto per sollevarlo

in yb energia del sistema ha

potenziale capacità

di diventare energia cinetica

F!ext

(5)

(

b a

)

b a g ext

ext

U y

mg y

mg j

y y

j mg

r g

m r

F L

Δ

=

=

=

Δ

= Δ

= ! !

!

!

! !

deduzione espressione per energia potenziale gravitazionale

y mg

U

g

=

energia potenziale gravitazionale [si sceglie come riferimento

yi=0 e quindi Ui=0 ]

N.B.

vale solo per g=cost

(vicini alla superficie della Terra)

energia potenziale gravitazionale:

r dipende da posizione verticale y [quota], rispetto a posizione di riferimento (y = 0)

r non dipende dalla posizione orizzontale

( ) ( )

g a

b

a b

a b

ext

U y

mg y

mg

j y y

i x x

j mg

r g m r

F L

Δ

=

=

− +

=

Δ

= Δ

=

]

[ ! !

!

!

!

! !

x

b

x

a

ya

yb Δr!

(6)

esempio: contrappeso di un ascensore

quale è la funzione dei contrappesi di un ascensore ?

g ext

ext

F r U

L = ! ⋅ Δ ! = Δ

lavoro svolto dal motore:

senza contrappeso:

4  motore deve sollevare

peso ascensore e suoi occupanti

4  grande aumento energia potenziale ascensore-Terra

4  grande spesa di energia dal motore

con contrappeso:

4  minore variazione netta della distanza (ascensore+contrappesi) – Terra

4  minore variazione energia potenziale 4  minore lavoro del motore

(7)

Sistema Isolato

[sistema senza trasferimento di energia attraverso il contorno]

yb = posizione iniziale

ya = posizione finale

studio lavoro svolto sul libro (dalla forza peso) quando cade:

( )

a b

b a

g gravità

y mg y

mg

j y y

j mg

r g m r

F L

=

=

Δ

= Δ

= ! !

!

!

! !

K K

L

gavità

= Δ

libro

= Δ

teorema energia cinetica

g i

f b

a a

b

mg y mg y mg y U U U

y

mg − = − ( − ) = − ( − ) = − Δ

g

gravità

K U

L = Δ = − Δ

= 0 Δ

+

Δ K U

g nella forma equazione continuità

0 ) (

)

( K

f

K

i

+ U

f

U

i

= K

f

+ U

f

= K

i

+ U

i

costante U

K

E

g

mecc def

= + =

l’energia meccanica per un sistema

isolato

si conserva

i i

f

f mg y mv mg y

mv2 + = 2 +

2 1 2

1

F !

g

(8)

A B

A B

A B

A B

K A U B U K

B U A U K

K

B U A U A

U B U B

A L

K K

mv mv

B A L

+

= +

=

=

=

=

=

) ( )

(

) ( ) (

) ( ) ( )

) ( ) ( ( ) (

2 1 2

) 1

( 2 2

energia cinetica ed energia potenziale:

r  quantità molto legate tra loro

r entrambe esprimono il lavoro fatto per andare tra due punti A e B

corpo in caduta:

a mano a mano che diminuisce di quota

r aumenta velocità

r diminuisce energia potenziale

è come se l’energia potenziale si trasformasse in

energia cinetica

in un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica di un corpo si conserva

in ogni punto della traiettoria

K U E = U+K

energia meccanica

U K

E

mecc def

= +

[N.B. da qui nasce il termine forze conservative]

Conservazione Energia Meccanica

(9)

Sistema Isolato:

3 differenti tecniche per calcolare il lavoro

definizione

teorema lavoro - energia cinetica

(per corpo puntiforme)

mediante energia potenziale

(per forze conservative)

=

l(

F

A,B)

ds L

2 2

2 1 2

1

A

B

mv

mv

L = −

)) ( )

(

( U B U A L = − −

processo di integrazione in più dimensioni (spesso complesso o

non risolvibile analiticamente)

banale se si conoscono velocità iniziale e finale

devo sapere solo ed esclusivamente

il valore dell’energia potenziale nei due punti A e B

1

2

3

(10)

energia potenziale gravitazionale

del sistema acqua – Terra si converte in

energia cinetica acqua

esempi: conservazione energia meccanica

in salita:

converto

energia cinetica in energia potenziale

in discesa:

converto

energia potenziale in energia cinetica

in un salto:

in una cascata:

(11)

esempio: ciclo completo di oscillazioni del pendolo

costante

= +

= K U Emecc def

[N.B. in presenza di forze di attrito (resistenza dell`aria, …) Emecc è dissipata il pendolo si ferma ]

(12)

Definizione/Proprietà forza conservativa

2 , 1

, ab

ab

L

L =

[N.B. mi permette di risolvere problemi complessi, utilizzando percorsi semplici a piacere]

Definizione 1: una forza è conservativa se

ril lavoro svolto su una particella dalla forza è indipendente dalla trattoria

r dipende solo dal punto iniziale e finale del percorso

Definizione 2: una forza è conservativa se

r il lavoro svolto su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo

2

0

, 1

,

+

ba

=

ab

L

L

2 , 2

, 1

, ba ab

ab

L L

L = − =

Ø  una forza conservativa conserva energia meccanica

Ø  non causa trasformazione di energia meccanica

in energia interna del sistema

(13)

a

b

mg y

y mg

L = −

forza di gravità

yb = posizione iniziale

ya = posizione finale

il lavoro dipende solo da punto iniziale e punto finale non dal percorso

[vedi piano inclinato]

forza elastica

2 2

2 1 2

) 1

( i f

x

x

m k x dx kx kx

L

f

i

=

=

= 0

L

per un percorso chiuso

il lavoro dipende solo da punto iniziale e punto finale non dal percorso

= 0

L

per un percorso chiuso

sono forze conservative

y mg U

g

=

2

2 1 kx

Um = energia immagazzinata

[viene riconvertita in lavoro]

(14)

applicazione: calcolo del lavoro

utilizzando percorsi opportuni

corpo che scivola

su superficie senza attrito da

a

a

b.

percorre 2.0 m lungo tutto il tragitto e copre dislivello verticale di 0.80 m.

quanto lavoro compie Fg sul corpo?

NON posso utilizzare L = Fg · s = Fg s cosθ, infatti θ cambia continuamente

Fg è conservativa

calcolo L lungo un percorso opportuno tra

a

e

b

, facilitando i calcoli

scelgo il percorso tratteggiato

J m

s m kg

mgd L

mgd L

verticale e orizzontal

7 . 15 )

80 . 0 )(

/ 8 . 9 )(

0 . 2 ( ) 0 cos(

0 ) 90 cos(

2 0

0

=

=

=

=

=

J J

L L

L = orizzontale + verticale =0+15.7 ≈16

(15)

Determinazione energia potenziale

[forze conservative]

Cerco espressione generale per energia potenziale

=

f

i

x

x

F x dx

L ( )

F(x) conservativa

xi, xf punto iniziale e finale percorso

f

i

U

U U

L = − Δ = −

il lavoro non dipende dal percorso, ma solo da punto iniziale e finale.

⇒  

definisco

funzione energia potenziale U

[vedi considerazioni su forza di gravità]

=

f

i

x i x

f

U F x dx

U ( )

relazione generale

N.B. sono importanti solo le variazioni ΔU

il lavoro compiuto da una forza conservativa è uguale alla variazione, cambiata di segno, di energia potenziale associata alla forza

riferimento

=

=

Δ

f

i

x i x

f

U F x dx

U

U ( )

energia associata ad una configurazione del sistema

(16)

esempio 1: energia potenziale gravitazionale

-mg

-mg y

i

y

f

[ ]

if

f

i f

i f

i

y y y y y y

y y

y mg

dy mg

dy mg

dy y F U

=

=

=

= Δ

) (

) (

y mg y

y mg

U = fi = Δ

Δ ( )

per una generica posizione y del corpo:

) (

)

(

i i

i

mg y y mg y y

U

U − = − = −

y

U = mg

energia potenziale gravitazionale [se scelgo come riferimento

yi=0 e quindi Ui=0 ]

N.B.

vale solo per g = cost

(vicini alla superficie della Terra)

energia potenziale gravitazionale:

r dipende da posizione verticale y (quota), rispetto a posizione di riferimento (y = 0)

r non dipende dalla posizione orizzontale

(17)

esempio 2: energia potenziale elastica

[ ]

if f

i f

i f

i

x x x

x x x

x x

x k

xdx k

dx kx

dx x F U

2

2 1

) (

) (

=

=

=

= Δ

2 2

2 1 2

1

i

f kx

kx

U = −

Δ

per una generica posizione x del corpo:

2 0

0 = 1

2

k x

U

2

2

1 k x U =

energia potenziale elastica:

energia immagazzinata nella molla deformata può essere rilasciata in

energia cinetica del blocco

[se scelgo come riferimento xi=0 e quindi Ui=0 ]

(18)

Ricerca Analitica di una Forza

x x F L

U A

U B

U L

Δ

=

Δ

=

=

) (

)) ( )

( (

Il lavoro fatto da una

forza conservativa

è pari alla variazione di energia potenziale fra punto iniziale e finale del percorso

dx x dU

F

x x U

F

=

Δ

− Δ

= ) (

)

( una forza conservativa e` uguale

alla derivata cambiata di segno dell`energia potenziale

costante ) ( )

(

=

+

= K x U x Emecc

) ( )

(x E U x

K = mecc

0 ( =x) F

sistema in equilibrio:

x>x5 eq. indifferente (U cost) x=x2 eq. stabile (U min) x=x4 eq. stabile (U min) x=x3 eq. instabile (U max)

(19)

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

-4 -2 0 2 4 6

Altezza

Energia Potenziale

m = 1 kg g = 9.8 m/s2

energia potenziale della forza peso è funzione lineare dell’altezza:

r  maggiore è l’altezza maggiore è l’energia potenziale

r la forza peso non ha punti di equilibrio

y mg y

U ( ) =

Forza Peso

0 y

y U

dy mg y y dU

F = ( ) = )

(

(20)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-4 -2 0 2 4 6

Allungamento

Energia Potenziale

Forza Elastica

K = 3.5 N/m

2

2 ) 1

(x k x

U =

U

x

energia potenziale della forza elastica è una parabola con un minimo

nel punto ad allungamento zero

N.B. un minimo di potenziale (anche relativo)

indica un punto di equilibrio stabile del sistema, ossia un punto dove il corpo non è soggetto a forze

x dx k

x x dU

F = − ( ) = − )

(

(21)

Esempi di forze conservative

Forza peso Forza elastica

Forza gravitazionale

Forza elettrostatica

j mg

F! !

=

i kx

F ! !

=

r r q

F q ˆ

4 1

2 2 1

πε0

! =

r r m G m

F! = 12 2 ˆ

non tutte le forze sono conservative:

una forza è NON conservativa se il lavoro che compie su un corpo dipende dal cammino percorso

[esempio: forza di attrito

forza di resistenza del mezzo]

mghP

P U( ) =

2

2 ) 1

(P kxp

U =

rp

m G m

P

U( ) = 1 2

rp

q P q

U 1 2

4 0

) 1

( = πε

(22)

Esercizi conservazione energia meccanica

(23)

Forze Conservative e NON

Ø  forze conservative

:

lavoro compiuto è immagazzinato in forma di energia (detta potenziale) che può essere liberata successivamente

Ø  forze NON conservative

:

lavoro compiuto NON può essere recuperato come energia cinetica ma è trasformato in altra forma di energia

(esempio: calore, rumore, …)

NON tutte le forze

conservano l’energia meccanica !!!

-

posso definire energia potenziale U

U = f(y) L = -ΔU

-

si conserva energia meccanica U = mgy

-

NON posso definire energia potenziale U

-

NON si conserva energia meccanica

costante U

K

Emecc = + =

0 )

( + = Δ =

Δ

Δ

= Δ

=

mecc cons

E U

K

K U

L

(24)

una forza è non conservativa se il lavoro che compie su un corpo

dipende dal cammino percorso

Forze NON Conservative

esempio :

la forza di

attrito

è

dissipativa:

rtrasforma energia meccanica in energia termica

[NON recupero mai l’energia trasformata in calore]

r il lavoro fatto dipende dal percorso

una forza è non conservativa se dissipa energia meccanica in energia interna al sistema

2 ) (

f d d f

dx f

dx f

x d f L

d d

B d A B

A d

B

A d

AB

π

=

=

=

=

=

! !

o equivalentemente

N.B. quando il libro viene lasciato, si ferma subito dopo:

NON recupero il lavoro fatto dalla forza attrito in energia cinetica !!

(25)

K L

U +

NON cons

= Δ Δ

Conservazione dell’energia TOTALE [sistema isolato]

in presenza di forze NON conservative:

rdiminuzione energia cinetica

aumento energia interna [esempio: forza dattrito trasforma energia cinetica

in energia termica]

r generalizzazione teorema lavoro-energia cinetica:

costante E

E E

E U

K

E U

K

U K

E L

sistema mecc

attrito

=

= +

= +

+

= Δ

+ Δ

+ Δ

Δ + Δ

= Δ

=

int int

int int

0

E

int

x f

L

attrito

= −

d

Δ = − Δ

K L

L L

L

cons NONcons

i

i

tot

= ∑ = + = Δ

se considero Universo come sistema isolato:

• 

quantità di energia presente nellUniverso è costante

• 

tutti i processi dellUniverso sono trasformazioni di energia non si è mai osservata alcuna violazione

di tale principio di conservazione

mecc cons

NON

K U E

L = Δ + Δ = Δ

(26)

esempio: durante una discesa di montagna

lo scalatore scende lungo la parete e cambia la configurazione del sistema

lo scalatore deve trasferire energia

da energia potenziale gravitazionale del sistema

ad energia cinetica (legata alla sua velocità) senza che questa diventi eccessiva

la corda fa attrito sui moschettoni

trasferisce maggior parte di energia potenziale in energia termica di corda e metallo,

piuttosto che in energia cinetica

sistema

:

scalatore+attrezzatura+Terra costante E

E U

K + +

int

=

sistema

=

(27)

Conversione energia meccanica energia cinetica ↔ energia potenziale

sistema

E U

K + =

Conversione energia totale

energia cinetica ↔ energia potenziale energia cinetica ↔ energia termica

sistema

E E

U

K + +

int

=

F di attrito compie lavoro negativo!!!

à M os tra re F il m ino ppt x

(28)

STRATEGIA per risolvere i problemi Il teorema delle forze vive vale sempre !!!

1. in ASSENZA di forze NON conservative:

K L

L L

L

cons NONcons

i

i

tot

= ∑ = + = Δ

L

tot

= L

cons

=ΔK

−ΔU =ΔK ΔK + ΔU = 0 E

mecc,i

= E

mecc, f

Il teorema delle forze vive (lavoro-energia cinetica) equivale alla conservazione dell’energia meccanica

2. in PRESENZA di forze NON conservative:

L

tot

= L

cons

+ L

NON cons

=ΔK K L

U +

NON cons

= Δ Δ

Si risolve il problema calcolando esplicitamente il lavoro delle forze NON conservative.

si evitano banali errori di segni nel calcolo della conservazione dell’energia totale:

L

NON cons

= −ΔE

int

= ΔK + ΔU

ΔK + ΔU + ΔE

int

= 0

(29)

Esercizi forze non conservative

(30)

Forza Gravitazionale e Potenziale

forza gravitazionale

: forza di attrazione reciproca

fra due corpi qualsiasi nell’universo

r esempio di azione e reazione

r intensa fra corpi macroscopici

r la più debole fra le forze esempio:

sistema protone-neutrone:

Fg (p-e) ∼ 10-47 N Fem (p-e) ∼ 10-7 N

Terra attira mela mela attira Terra

Terra attira Luna Luna attira Terra

2 2

11 2

2 1

/ 10

67 .

6 N m kg

G

r m G m

Fg

=

! =

(31)

Legge della Gravitazione Universale:

-

Ricavata da Newton (1686)

[sulla base delle leggi di Keplero del moto dei pianeti (1608-1619)];

-  Vale per due masse qualsiasi

[masse concentrate in un punto; sviluppo del calcolo integrale]

- Base per completa descrizione matematica moto dei pianeti

(32)

Leggi di Keplero (1571-1630)

[basate sulle osservazioni astronomiche di Tycho Brahe (1546-1601)]

Seconda Legge

Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali

-  Velocità areolare costante

-  La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita Terza Legge

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite

-  Pianeti lontani hanno periodo di rivoluzione maggiore

T

a

Limiti di validità delle leggi di Keplero:

à massa del pianeta trascurabile rispetto al Sole;

à Nessuna interazione fra diversi pianeti (perturbazioni delle orbite)

Prima Legge

L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi

(33)

Bilancia di Cavensdish (1798) per la misura della costante G

[Simile a experimento di Coulomb]

(34)

r r G M m g F

T g

2 ˆ

=

=

! !

r

accelerazione gravitazionale terrestre

km R

r = T =6370

distribuzione radiale

in prossimità della superficie:

( )

2

2 24 11

2

/ 8 . 9

6370000 10 98 . 10 5

67 . 6

s m R GM g

T T

=

=

=

distribuzione

uniforme

(35)

r

potenziale gravitazionale

2 2

2

1 1

ˆ r

r r m G m

F! =

è conservativa ammette potenziale

f

i f

i f

i

r

r r

r r

r i

f dr Gm m r

m r Gm dr

r F U

U ⎥⎦

⎢⎣

=

=

=

( ) 1 2

12 1 2 1

=

i f i

f U Gmm r r

U 1 1

2 1

r r

m r Gm

U 1

)

( = 1 2 se scelgo come riferimento

ri=∞ e quindi Ui=0

è negativo (forza attrattiva)

N.B. in prossimità della superficie terrestre:

y R mg

m y r GM

r r m r

r GM m r

GM U

T T i

f i f T i

f T

g Δ = Δ

=

=

=

Δ 1 1 2

Emecc,i = Emecc, f

GMTm ri = 1

2mv2fGMTm RT 0 = 1

2mv2fGMTm RT Applicazione: Energia Potenziale e Cinetica

di oggetto che cade verso la Terra [vi = 0, ri molto grande]

Continua conversione Energia Potenziale in

Energia Cinetica

vf = 2GMT

RT = 11200m / s = 11.2km / s

Velocità di caduta sulla Terra:

- 16 volte proiettile di fucile - NON dipende da m

(asteroidi, …)

(36)

applicazioni: velocità di fuga

in generale

il proiettile:

4rallenta (converte K in U, h aumenta) 4si arresta (K = 0, Emecc = U)

4ricade (converte U in K, h diminuisce)

esiste un valore minimo di

v

i per cui il proiettile non torna indietro

Emecc,i = Emecc, f 1

2 mvi2GMTm

RT = −GMTm

rmax ⎟⎟

⎜⎜⎝

⎛ −

=

max

2 1 1

2GM R r

v

T T i

proiettile lanciato in aria massa m, velocità vi

costante U

K

E

mecc

= + =

r fuga

i

v

v

ma x

velocità minima che il corpo deve avere per continuare

a muoversi allontanandosi sempre

fuga def

v =

T T

fuga R

v 2GM

=

NON dipende da massa oggetto!!

[è la stessa per molecola o navicella spaziale]

Link: Teoria cinetica dei gas, composizione atmosfera

Pianeta vf (km/s) Terra 11.2

Luna 2.3

Sole 618

Marte 5.0

Giove 60

(37)

applicazione: composizione atmosfera terrestre

atmosfera terrestre:

involucro di gas

che circondano la terra trattenuti da

attrazione gravitazionale

Perché

H, He, gli elementi allo stato libero più abbondanti (4%) nell’universo,

sono presenti in quantità minime

?

composizione aria fino a 100 km da terra

N2 78%

O2 21%

altro

molecole leggere (come idrogeno ed elio) hanno velocità traslazionali vicine (≥ 1km/s) a velocità di fuga terrestre (≈ 11 km/s)

molecole leggere si diffondono nello spazio

Giove:

vfuga= 60 km/s

trattiene più facilmente H, He

costituenti principale sua atmosfera

Luna:

vfuga= 2.3 km/s

NON c’è atmosfera

m T v

rqm

3 k

B

=

Riferimenti

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