Dato l’integrale: Z

Risolvere i seguenti integrali 1.

Z 2

−2|t + 1| arctan(|t|)dt.

2.

Z 1 0

1

1 +^q(4x²+ 1)dx.

3.

Z 4

−4

q

(x²− |2x| + 2x + 4)dx.

4.

Z π/4 π/6

1

tan x log(sin x)dx.

5.

Z 1 0

e^t

q(1 + e^2t) dt.

Integrali Impropri 1. Dato l’integrale:

Z +∞

0

1

(e^x+ 1)²dx.

• Dimostare che converge.

• Calcolarne il valore.

2. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

1

log(x²) + 3

x^α1 + 7 log²(x) + 12 log⁴(x)^dx.

Calcolare l’integrale per α = 1.

3. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

1

| cos ((2 − α)x) + 3|

(3^αx+ 1) dx.

Calcolare l’integrale per α = 2.

1

4. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z 1 0

| sin x|

log (1 +√

x) (e^xα− 1)dx.

5. Determinare per quali a > 0 esiste finito:

Z 4 3

sin[(x − 3)^α](x − 4) (x − 3)²e^xlog[(x − 3)²]dx.

6. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

0

x arctan(x) x^α(1 + x)^2αdx.

Calcolare l’integrale per α = 1.

Nota: Negli esercizi 5 e 6 fare attenzione ad entrambi gli estremi di integrazione.

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