ESERCIZIO 1: Sia assegnato il regolatore analogico R(s). Si proceda alla discretizzazione del sistemadicontrolloconla regola diTUSTIN,(o del trapezio)con un tempo dicampionamento assegnato TS=0,01 sec.
) 2
·(
) 3
·(
) 2
( +
= + s s s s R
Il regolatore a tempo discreto R*(z) si ottiene dal regolatore analogico R(s) attivando la sostituzione della variabile s nella variabile z in accordo con la relazione costitutiva della regola di Tustin, cioè:
) 1 (
) 1
· ( 1
· 1 2
+
= −
+
= −
z K z z
z s T
S
, in cui, per comodità di calcolo, si è posto:
200 01
, 0
2
2 = =
= T
SK
) 1 ( 2 ) 1
·(
) 1 ( 3 ) 1
· ( ) 1
·(
) 1
·(
2 ) 2
1 (
) 1
·(
) 3 1 (
) 1
·(
· ) 1 (
) 1
·(
) 2 ( ) (
*
) 1 (
) 1
(
− + +
+ +
−
−
= + + +
− + +
−
+
= −
=
+
= −
K z z
z z
K z
K z
z z K
z z K
z z s K
R z R
z z
s K , da cui:
K Kz z
z K
z K
K Kz z
z K
z K
z K
R + − + + − − +
−
− + + +
+
= +
2 2 )·
2 ( )·
2 (
3 3 )·
3 ( )·
3
· ( ) 2 (
*
22
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni, si ottiene:
K Kz z
z Kz z
K
K Kz z
z Kz z
K z K
R + − − + − − +
−
− + + + +
= +
2 2 2 )·
2 (
3 3 3 )·
3
· ( ) 2 (
*
22
K Kz
z K
K z
z K z K
R + − − +
− + +
= +
2 2
)·
2 (
3 6 )·
3
· ( ) 2 (
*
22
⇐ ⇐ ⇐ ⇐
Funzione di trasferimento a tempo discreto
L’usodellacostanteKèancorascomodo;è utile definire nuove costantiatteasemplificarela forma della funzione di trasferimento. Si effettuano le seguenti posizioni:
) 2 (
; 2 );
2 ( );
3 (
; 6 );
3 ( );
2
( = + = = − = + = − = −
= K b K c d K m K f K g K
a
L’uso delle costanti sopra definite consente di relazionare come di seguito riportato:
g fz mz
d cz a bz
z
R + +
+
=
2+
2
· ) (
*
Si perviene, pertanto al modello ARMA come di seguito evidenziato
g z f mz
d cz a bz
z E
z z U
R + +
+
= +
= · ·
) (
* ) ( ) *
(
*
22
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene:
) (
* )·
·(
) (
* )·
·
( mz
2+ f z + g U z = a bz
2+ cz + d E z
) (
* )
(
* )
(
* )
(
* )
(
*
· ) (
*
22
U z f zU z gU z abz E z aczE z adE z
mz + + = + +
Passando al dominio del tempo e ricordando le proprietà della trasformata Zeta relative ai ritardi e agli anticipi, si perviene alla seguente scrittura nel tempo discreto:
) (
* )
1 (
* )
2 (
* )
(
* )
1 (
* )
2 (
* k fu k gu k abe k ace k ade k
mu + + + + = + + + +
Togliendo il contributo “nel futuro”, ovvero togliendo due istanti a ogni k, si ottiene quanto segue:
) 2 (
* )
1 (
* )
(
* )
2 (
* )
1 (
* )
(
* = − − − − + + − + e k −
m k ad
m e k ac m e
k ab m u
k g m u k f
u
[ · * ( 1 ) * ( 2 ) * ( ) * ( 1 ) * ( 2 ) ]
) 1 (
* = − f u k − − gu k − + abe k + ace k − + ade k − k m
u
R*(z)
E*(z) U*(z)
ESERCIZIO 2: Sia assegnato il regolatore analogico P.I.D con funzione di trasferimento R(s) assegnata. Si proceda alla discretizzazione del sistema di controllo con la regola di TUSTIN, (o del trapezio) con un tempo di campionamento TS=Tsec.
) ( )
) (
·(
· 1 1 1
· )
(
.
s R s N R
T s
s K T
K sT s
R
PI DD D P
I P
PID
= +
+ +
+
=
4 4 3 4
4 2 4 1
4 3 4
4 2 1
reale derivativo o
integrativ Proporz
Il regolatore a tempo discreto R*(z) si ottiene dal regolatore analogico R(s) attivando la sostituzione della variabile s nella variabile z in accordo con la relazione costitutiva della regola di Tustin, cioè:
) 1 (
) 1
· ( 2 1
· 1 2
+
= −
+
= −
z z T z
z s T
S
Per comodità si procede col discretizzare separatamente la parte proporzionale integrativa e la parte derivativa reale. Si ottiene quanto di seguito esplicitato.
a) Parte Proporzionale Integrativa
) 1 ( 2
2 )
2
· ( )
1 ( 2
) 1 ( ) 1 (
· 2 )
1 ( 2
) 1
· ( 1 1
· )
*
(
−
− +
= +
− + +
= −
−
⋅ + + ⋅
= T z
T T z T K T
z T
z T z
K T z
z T K T
z R
I
I I
P I
I P I
P PI
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
) 1 (
2 2 2 ·
) 2
( )
1 (
2 )
2
· ( ) 2
*
(
− + + −
= +
−
− +
= +
z
T T
T z T
T T T K z
T T z T T T z K
R
II
I I P I
I I P PI
) 1 (
2 2 2 ·
1 )
*
(
− + + −
+
= z
T T
T z T
T K T
z
R
II
I P
PI
Considerato che i termini privi della variabile complessa z sono delle costanti, al fine di rendere più semplice la scrittura del regolatore è utile ricorrere alla posizione di nuove costanti e precisamente:
T T
T b T
T K T
I I I P
I
P
+
= − Γ
=
+
2
; 2 1 2
Le posizioni assunte consentono di esprimere la parteproporzionale integrativadelregolatore nella forma seguente
) 1 (
) ( )
( ) ) (
) ( 1 (
) ( )
1 (
2 2 2 ·
1 )
(
** *
*
− Γ −
=
⇒ =
− Γ −
− = + + −
+
= z
b z z
E z z U
z R b z z
T T
T z T
T K T
z
R
I P PI PI PI
I P
PI
Da questa espressione si ricava la scrittura:
) ( )
( )
( )
(
· )
( )·
( ) ( )·
1
( z − U
PI*z = Γ
Pz − b E
*z ⇒ z U
PI*z − U
PI*z = Γ
PzE
*z − Γ
PbE
*z
Passando al dominio del tempo discreto ricorrendo all’antitrasformata Zeta e alle sue proprietà si ottiene la seguente relazione:
) ( )
1 ( )
( )
1
(
* * **
k u k e k be k
u
PI+ −
PI= Γ
P+ − Γ
PTogliendo il contributo “nel futuro”, ovvero togliendo un istante a ogni k, si ottiene quanto segue:
) 1 ( )
( )
1 ( )
(
* * **
k − u k − = Γ e k − Γ be k −
u
PI PI P PSi perviene, pertanto alla relazione conclusiva:
)]
1 ( )
(
·[
) 1 ( )
(
* * **
k = u k − + Γ e k − be k −
u
PI PI Pa) Parte Derivativa Reale
Per quanto attiene la discretizzazione della parte derivativa reale del regolatore analogico, si opera
in modo analogo a quanto effettuato per la parte proporzionale integrativa; quindi si relaziona come segue:
) 1 ( 2 ) 1 (
) 1
·(
· · 1
· 1
· 2
1
· 1
· 2 1
1
· 1 2 )
*
(
− +
+
+ +
= −
+ + −
+
−
= NT z T z
z T N z
z T T K z
z T N T
z z T T
K z R
D D
P D
D P D
) 2 (
) 2 (
) 1
·(
2 2
2
) 1
·(
) 2
*
(
D D
D P D
D D P
D
NT T z NT T
z N T K T
z T NT NTz
z N T z K
R + + −
= −
− +
+
= −
D D D
D P D
T NT
NT z T
z T
NT N T z K
R
2 2
) 1
· ( ) 2 (
) 2
*
(
+
− −
−
= +
Al fine di semplificare la forma della funzione di trasferimentoR*D(z) della parte derivativa del regolatore digitale si definiscono le seguenti nuove costanti:
NT T
NT a T
NT T
N T K
D D D
D D P
D
+
= − Γ
+ =
=
Γ 2
; 2 )
2 (
2
In tale contesto, l’utilizzo delle nuove costanti ΓΓΓΓD e a, sopra introdotte, consente di relazionare così come di seguito riportato.
) (
) 1
· (
2 2
) 1
· ( ) 2 (
) 2
*
(
a z
z
T NT
NT z T
z T
NT N T z K
R
DD D D
D P
D
−
Γ −
= +
− −
−
= +
⇒) (
) ( )
( ) 1
· ( )
(
** *
z E
z U a z z z
R
D D=
D− Γ −
=
In ossequio alla definizione di funzione di trasferimento si ottiene:
) ( ) · (
) 1
· ( ) ) (
( ) 1
· ( )
( )
(
* **
*
z a E z z z
a U z
z z
E z U
D D
D D
− Γ −
⇒ =
− Γ −
=
⇒U
D*( z )·( z − a ) = Γ
D·( z − 1 )· E
*( z )
Pertanto, è ovvio relazionare come di seguito esplicitato:) ( )
( )
( )
(
* * **
z aU z zE z E z
zU
D−
D= Γ
D− Γ
DPassando al dominio del tempo discreto ricorrendo all’antitrasformata Zeta e alle sue proprietà si ottiene la seguente relazione:
) (
· ) 1 (
· ) (
· ) 1
(
* * **
k a u k e k e k
u
D+ −
D= Γ
D+ − Γ
DTogliendo il contributo “nel futuro”, ovvero togliendo un istante a ogni k, si ottiene quanto segue:
) 1 (
· ) (
· ) 1 (
· )
(
* * **
k − a u k − = Γ e k − Γ e k −
u
D D D DA cui corrisponde l’espressione in forma conclusiva data da:
)]
1 ( ) (
·[
) 1 (
· )
(
* * **
k = a u k − + Γ e k − e k −
u
D D DIl regolatore PID digitale richiesto è, pertanto, definito dalla relazione:
) ( ) ) (
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( )
( ) ) (
(
* * **
*
*
*
*
*
*
* *
z R z z R
E z U z E
z U z
E
z U z U z E
z z U
R
PI+
D=
PI+
D=
PI+
D=
=
così come si deduce dall’equivalente schema a blocchi riportato nella figura a lato. Si ha:
) ( )
( )
(
* **
z U z U z
U =
PI+
D) ( )
( )
(
* **
k u k u k
u =
PI+
D) 1 ( )·
( ) ( )·
( ) 1 ( )
1 ( )
(
* * * **
k = u k − + au k − + Γ + Γ e k − b Γ + Γ e k −
u
PI D P D P DR
PI*(z) E
*(z)
U
PI*(z)
R
D*(z)
U
*(z)
U
D*(z)
ESERCIZIO 3: Sia assegnato il regolatore analogico P.D reale con funzione di trasferimento R(s) assegnata. Si discretizzi il sistema di controllo con la regola di EULERO all’INDIETRO (o del rettangolo sinistro) con un tempo di campionamento assegnato TS=Tsec.
) (
) ·
( s p
s K K
s
R
P D+ +
=
Il regolatore a tempo discreto R*(z) si ottiene dal regolatore analogico R(s) attivando la sostituzione della variabile complessa s nella variabile z in accordo con la relazione costitutiva della regola di Eulero all’indietro, cioè:
z T z z
T s z
S
·
) 1 ( ) 1
( −
− =
=
pTz z
Tz Tz
K z K Tz
pTz z
Tz K z K
Tz p z
Tz K z K z
R
P DD P
D
P
− +
+ − + =
−
− +
=
− +
− +
= 1 · 1
1 ·
· 1 1
· 1 )
*
(
pT z K z z K
pT z K K
z R
D P
D
P
1
) 1 (
1 1
· 1
) 1 (
) 1 ) (
*
(
− +
− +
− = + + −
=
In ossequio alla definizione di funzione di trasferimento G(z) si ottiene:
) ( 1 · ) 1 (
1 1
· )
( )
1 ( ) 1 (
1 1
· )
( )
(
* * **
*
z E pT z
K z z E K z U pT z
K z z K
E z
U
DP D
P
− +
− +
⇒ =
− +
− +
=
) ( )
( )
(
* **
z U z U z
U =
P+
DPertanto, è ovvio relazionare come di seguito esplicitato:
) (
· )
( )
( )
(
* * **
z K E z u k K e k
U
P=
P⇒
P=
P) ( 1 · 1 1 ·
) 1 (
) ( 1 · ) 1 (
1 1
· )
(
* * **
E z
K z z U
pT z
E pT z
K z z
U
D DD
D
−
=
+ −
⇒
− +
−
=
) ( 1 · )
(
· )
( 1 · ) ( )·
1
(
* * *E
*z
K z z E K z z U z U
pT +
D−
D=
D−
D) ( 1 · ) 1 ) (
( ) · 1 (
)
· ( ) 1 (
) 1
(
* ** *
z z E pT
z K pT E
K z
z U z pT
U
D D D D− + + +
= +
Passando al dominio del tempo discreto ricorrendo all’antitrasformata Zeta e alle sue proprietà si ottiene la seguente relazione:
) 1 ( ) · 1 ) (
( ) · 1 ) (
1 ( ) · 1 (
) 1
(
* * **
−
− + + +
+ −
= e k
pT k K
pT e k K
pT u k
u
D D D DPertanto, si perviene alla relazione finale seguente:
) 1 ( ) · 1 ) (
( ) · 1 ) (
1 ( ) · 1 (
) 1 ( ) ( )
(
* * * * **
−
− +
+ + +
+ −
= +
= e k
pT k K
pT e K K
k pT u
k u k u k
u
P D D P D DK
PE
*(z)
U
P*(z)
R
D*(z)
U
*(z)
U
D*(z)
ESERCIZIO 4: Sia assegnato il regolatore digitale R*(z) caratterizzato dalla legge di controllo definita dalla relazione:
) 1 ( 10 ) ( 11 ) 1 ( )
(
* * **
k = u k − + e k − e k −
u
Si determini l’originario regolatore analogico P.I, sapendo che è stato discretizzato col metodo di Eulero all’indietro con un periodo di campionamento TS =0,1sec.
Dalla legge di controllo espressa nel dominio del tempo discreto è possibile determinare la relativa funzione di trasferimento R*(z) ricorrendo all’applicazione della trasformata Zeta e alle proprietà che caratterizzano i ritardi temporali. In tale contesto si ottiene:
)]
( [
·
· 10 )]
( [
· 11 )]
( [
·
)]
1 ( [
· 10 )]
( [
· 11 )]
1 ( [
)]
1 ( 10 ) ( 11 ) 1 ( [ )]
( [
* 1
*
* 1
*
*
*
*
*
*
*
k e Z z k
e Z k
u Z z
k e Z k
e Z k
u Z
k e k
e k
u Z k u Z
−
−
+ −
=
=
−
− +
−
=
=
−
− +
−
=
Attivando i necessari calcoli si ottengono le scritture di seguito esplicitate:
) (
·
· 10 ) (
· 11 ) (
· )
(
1 * * 1 **
z z U z E z z E z
U =
−+ −
−) (
·
· 10 ) (
· 11 ) (
· )
(
1 * * 1 **
z z U z E z z E z
U −
−= −
−) ( )·
· 10 11 ( ) ( )·
1
( − z
−1U
*z = − z
−1E
*z
⇒) 1
·(
) 10 11
·(
1
· 10 11 ) (
) ) (
(
11 1
1
*
* *
−
= −
−
= −
=
−−
−
−
z z
z z
z z z
E z z U
R
) 1 (
) 10 11 ( ) (
) ) (
(
** *
−
= −
= z
z z
E z z U
R
⇐ ⇐ ⇐ ⇐
Funzione di Trasferimento a tempo discreto
La regola di Eulero all’indietro realizza il passaggio dalla forma analogica R(s) alla corrispondente forma digitale R*(z). È, pertanto, necessario determinare la trasformazione inversa, cioè esprimere la variabile z in funzione della variabile s; a tale riguardo si relaziona come segue:
) 1
·(
1 1
1 1
S S
S S
sT z
s zT z z
s zT zT
s z − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
=
Il passaggio dal tempo discreto al tempo continuo è affidato alla relazione:
z = 1 ( 1 − sT
S)
La sostituzione della variabile z nella relazione che esprime R*(z) con la scrittura che la lega alla variabile s nella trasformazione appena ricavata consente di validare la seguente espressione:
) 1
( 1
) 1
·(
10 11 1 1
1 1 10
· 1 11 1
10 ) 11
) ( (
) ) (
(
1 1 1
* 1
S S
S S
z sT
z sT
sT
sT sT
sT z
z z s R
E s s U
R
S
S
− −
−
= −
− −
− −
− =
= −
=
=
= −
= −
S S S
S S
S
sT sT sT
sT sT
sT s
E s s U
R 11 10 10 1 10
1 1
) 1
·(
10 11 ) (
) ) (
( +
+ =
= − +
−
−
= −
=
Ricordando che il tempo di campionamento utilizzato nella discretizzazione con Eulero all’indietro è pari a TS=0,1sec., si ottiene la relazione definitiva:
s s s
s s
s sT
s sT R
S
S
10 ·( 1 )
1 , 0 1 1
, 0
1 , 0 10 10 1
) 1
( +
+ = + =
+ =
=
Il confronto fra il regolatore analogico ottenuto e la forma canonica di un regolatore proporzionale integrativo, che di seguito si riporta:
I I P
I P
PI
sT
K sT s
K s s K
R ( 1 )
)
( +
+ =
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
s s s
R ( 1 )
· 10 )
( +
=
Consente di concludere che il regolatore analogico ottenuto è un PI con KP=10 e TI=1.
E
*(z) R
*(z) U
*(z)
ESERCIZIO 5: Sia assegnato il processo P(s) caratterizzato dalla funzione di trasferimento di seguito riportata. Si deve progettare il regolatore a tempo continuo R(s) di tipo proporzionale integrativo (P.I.) tale da garantire una fase margine ϕϕϕϕm =60° determinando la corrispondente pulsazione critica ωωωωC. Si determini, altresì, il tempo di campionamento TS nei seguenti casi:
a) la riduzione δδδδϕϕϕϕm della fase margine ϕϕϕϕm sia δδδδϕϕϕϕm<5°;
b) la pulsazione di campionamento sia ωωωωS≥≥≥≥20·ωωωωC;
c) il valore di lL(jωωωωN)l≤≤≤≤-40dB alla pulsazione di Nyquist ωωωωN=ωωωωS/2;
Successivamente si determini il corrispondente regolatore digitale R*(z) con il metodo di Eulero all’indietro e si scriva la legge di controllo a tempo discreto.
La forma classica della funzione di trasferimento di un regolatore proporzionale integrativo in cui si evidenziano la costante di proporzionalità e il tempo integrativo, assume la seguente forma
I I P
sT K sT s
R +
= 1
) (
Lo zero del regolatore R(s), evidentemente, è utilizzato per cancellare il polo p=-0,1rad/sec del processo P(s) e questo si traduce nel definire il valore del tempo integrativo, ovvero TI=10sec.
Consegue che una prima scrittura della funzione di trasferimento del regolatore R(s) assume così la forma seguente:
s K s
sT K sT s
R
PI I
P
10
10 1 ) 1
( +
+ =
=
La funzione di trasferimento ad anello aperto L(s)=R(s)·P(s), data dalla cascata del regolatore R(s) e del Processo P(s), è definita dalla relazione di seguito riportata:
s e s K s
s P s R s L
s
P
· 1 10
10 10 ) 1
( )·
( ) (
5 , 0
+
= +
=
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
s e s K
L
s P
10 ) ·
(
5 , 0
−
=
Il diagramma asintotico di Bode dei moduli della funzione (KP/10s) interseca l’asse delle ascisse o asse a 0dB alla pulsazione critica ωωωωC determinata dalla relazione:
1 10 1 10
10
P C C
P C
P
K K
j
K = ⇒ = ⇒ ω =
ω ω
La fase critica ϕϕϕϕC è determinata dalla scrittura che si riporta di seguito:
π ω π
ω π
ϕ π ° = − ° − °
−
°
−
° =
−
−
= 180
10 ·
· 5 , 0 180 90
·
· 5 , 0 180 90
·
· 5 , 2 0
P C
C C
g K
Svolgendo i necessari calcoli si ottiene:
π ϕ
C0 , 5 · K π
P· 18 90 9 · K
P90 ° − = − ° −
−
=
Il soddisfacimento della specifica attinente il grado di stabilità definito mediante la fase margine, richiede che sia verificata la condizione seguente:
ϕ π
ϕ
m= 180 ° −
C⇒ 60 ° = 180 ° − 90 ° − 9 · K
P⇒ ⇒ ⇒ ⇒
9 30
·
30 9 π
π ⇒ =
−
=
°
− K
PK
PResta così definito il valore della costante proporzionale KP; si ottiene, infatti:
472 , 10
· 3 , 3 ) 3 10
( = =
= π π
K
PSi sceglie il valore KP = 10 a cui corrisponde la pulsazione critica ωωωωC=(KP/10)=1rad/sec.
Si conclude affermando che il regolatore proporzionale integrativo richiesto presenta funzione di trasferimento data da:
s s s
K s sT
K sT s
R
PI I
P
10
10
· 1 10 10
10 1 1
)
( +
+ = + =
=
⇒s s s
R 1 10
)
( +
=
A cui corrisponde la funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) definita dalla scrittura:
s s e
P
s
10 ) 1
(
5 , 0
= +
−
s e s
e s
e s K
L
s s
s P
5 , 0 5
, 0 5
, 0
10
· 10 10
) · (
−
−
−
=
=
=
⇒s s e
L
5s , 0
) (
−
=
a1) nelcasoincuisia trascurabile il tempodicalcolo,il periodo dicampionamento TS in grado di garantire una diminuzione della fase margine ϕϕϕϕm specificata in δδδδϕϕϕϕm<5° viene determinato con la relazione seguente:
ms T
T
C m S
S C
m
0 , 1745 174 , 5
18
· 180 1
5
· 2
· 180
· 2 180
2
1 = = =
°
= °
= °
° ⇒
= π π π
ω δϕ ω π
δϕ
a2) nel caso in cui non sia trascurabile il tempo di calcolo, il periodo di campionamento TS atto a garantire una diminuzione della fase margine ϕϕϕϕm specificata in δδδδϕϕϕϕm<5° è determinato tramite la relazione:
ms T
T
C m S
S C
m
0 , 058178 58 , 178
54
· 180 3
5
· 2
· 180
· 3
· 180 2
2
3 = = =
°
= °
= °
° ⇒
= π π π
ω δϕ ω π
δϕ
b) nel caso in cui sia richiesta una pulsazione di campionamento ωωωωS≥≥≥≥20·ωωωωC il calcolo del periodo di campionamento è definito dalla relazione:
C S
C S
C
S
T
T ω
ω π ω π
ω 20
20 2
20 ⇒ 2 ≥ ⇒ ≤
≥
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
10 1
· 20
2 π π
⇒ ≤
≤
SS
T
T
Pertanto, il periodo di campionamento deve soddisfare la condizione TS ≤≤≤≤0,314 secondi.
c) alla pulsazione ωωωωN di Nyquist il modulo della funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) deve soddisfare la condizione ||||L(jωωωωN)||||≤≤≤≤−−40−− dB; quindi si può relazionare nella forma seguente:
il valore di lP(jωωωωN)l ≤≤≤≤ -40dB alla pulsazione di Nyquist ωωωωN=ωωωωN/2;
40 )
log(
20 1 40
log 20 1 40
−
≤
⇒ −
−
≤
⇒
−
≤
NdB N
j
Nω
ω ω
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le relative semplificazioni, si ottiene:
10
22 ) log(
40 ) log(
20 ω
N≥ ⇒ ω
N≥ ⇒ ω
N≥
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
ω
N≥ 100
rad/sec.Poiché la pulsazione di Nyquist ωωωωN è legata alla pulsazione di campionamento ωωωωS dalla relazione ωω
ωωS=2·ωωωωN, si conclude affermando quanto segue:
200 200 2
/ 2
200 π π
ω ≥ ⇒ ≥ ⇒
S≤
S
S
T
s T
rad
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
T
ST
S0 , 031416 s
100 ⇒ ≤
≤ π
Quindi, il periodo di campionamento TS deve soddisfare la condizione TS≤≤≤≤31,416 ms.
SideveoradiscretizzareilcorrispondenteregolatoredigitaleR*(z)utilizzandoil metododi Eulero all’indietro. Come periodo di campionamento utilizziamo TS = 0,02 secondi. Si ha:
s s S
s s
zT s z zT
s z
zT z
zT z zT
zT z
zT z s
z s R s
R z R
S
S
1
10 10
1 10 1 10 1
) 1 ( )
( )
(
11 *
*
−
− +
− = + −
=
= +
= ⇒
= −
= −
Svolgendo i dovuti passaggi algebrici si ottengono le seguenti scritture:
1 10
· 02 , 10 1
10 10 02
, 0 1
10 10
· 1 10 ) 10
*
(
−
= −
−
−
= +
−
−
= +
−
−
= +
z z z
z T
z z zT
z zT zT
z z zT
R
s s sS s
La legge di controllo è determinata dalla relazione che di seguito si esplicita:
1 10 02 , 10 ) (
) ( )
( ) ) (
(
** ***
−
= −
= ⇒
z z z
E z U z
E z z U
R
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
( z − 1 )· U
*( z ) = ( 10 , 02 z − 10 )· E ( z )
) (
· 10 ) (
·
· 02 , 10 ) ( )
(
* * **
z U z z E z E z
zU − = −
Passando al dominio del tempo discreto ricorrendo all’antitrasformata Zeta e alle sue proprietà si ottiene la seguente relazione:
) (
· 10 ) 1 (
· 02 , 10 ) ( ) 1
(
* * **
k u k e k e k
u + − = + −
Togliendo il contributo “nel futuro”, cioè togliendo un istante a ogni k, si ottiene quanto segue:
) 1 (
· 10 ) (
· 02 , 10 ) 1 ( )
(
* * **
k − u k − = e k − e k −
u
Si conclude che la legge di controllo è definita dalla relazione:
) 1 (
· 10 ) (
· 02 , 10 ) 1 ( )
(
* * **
k = u k − + e k − e k −
u
ESERCIZIO 6: Sia assegnato il processo P(s) caratterizzato dalla funzione di trasferimento di seguito riportata. Si deve progettare un regolatore di tipo proporzionale integrativo (P.I.) tale da garantire una fase margine ϕϕϕϕm ≥≥≥≥40° e considerando non nullo
il tempo di calcolo. Si determini, inoltre, la legge di controllo con il metodo di Tustin.
Si procede determinando il regolatore proporzionale integrativo R(s)
nel dominio del tempo continuo e poi si passa alla discretizzazione nel dominio del tempo discreto col metodo di Tustin.
Il regolatore analogico di tipo proporzionale integrativo è definito dalla funzione di trasferimento
I I
P
sT
K sT s
R ( 1 )
)
( +
=
Il tempo integrativo TI viene determinato, di norma, in modo che lo zero del regolatore cancelli il polo in bassa frequenza del sistema P(s) da controllare. Nel caso specifico in esame si ha: TI=1s.
In prima istanza il regolatore analogico R(s) è, quindi, caratterizzatodalla funzionedi trasferimento:
= +
= +
s K s sT
K sT s
R
PI I P
) 1 1
) ( (
La funzione di trasferimento ad anello aperto L(s) assume la forma seguente:
) 2 , 0 1
·(
·
· 5 , 0 ) 2 , 0 1 )(
1 (
· 5 ,
· 0 ) 1
( )·
( ) (
1 , 0 1
, 0
s s
e K s
s e s
K s s P s R s L
s P s
P
= +
+
+
= +
=
−
−
⇒
) 2 , 0 1
·(
·
· 5 , ) 0 (
1 , 0
s s
e s K
L
s P
= +
−
Il polo reale relativo alla costante di tempo T2=0,2 sec è un polo sito alla pulsazione ωωωωP=5rad/sec.
Affinché il diagramma asintotico di Bode dei moduli diL(jωωω) tagli l’asse a 0ω dB con lapendenza di -20dB/decade, tenendo conto dell’azione del polo nell’origine, si deve stabilire una pulsazione critica che sia inferiore a alla pulsazione angolare ωωωωP=5rad/sec. Si sceglie come pulsazione critica il valore ωωωωC=2rad/sec.
P C
C P C
P
K K
j
K 0 , 5 1 0 , 5 ·
· 1 5 ,
0 = ⇒ = ⇒ ω =
ω
ω
, ovvero:4
5 , 0
2 5 ,
0 = =
=
CK
Pω
Il calcolo della fase critica ϕϕϕϕC è definito dalla seguente relazione:
π ω π
π ω
ϕ ° = − ° − − °
−
−
−
= 180
· 2
· 1 , 0 ) 4 , 0 arctan(
180 90
·
· 1 , 0 )
· 2 , 0 arctan(
2
C CC
g
, da cui:°
−
≅
−
°
−
° =
−
°
−
°
−
= 36 111 , 8 11 , 5 124
8 , 21
90 π
ϕ
CSi ottiene così una fase margine ϕϕϕϕm determinata dalla relazione:
°
=
−
°
=
−
°
= 180
C180 124 56
m
ϕ
ϕ
Poiché non è possibile ritenere nullo il tempo di calcolo, la massima diminuzione della fase margine
) 2 , 0 1 )(
1 (
· 5 , ) 0
(
1 , 0
s s
s e P
s
+
= +
−
