(a) Si determini la legge condizionale µZ|X di Z dato X

Legge condizionale e speranza condizionale

Esercizio 1. Siano X, Y variabili aleatorie i.i.d. U (0, 1) e sia Z := (Y − X)⁺. (a) Si determini la legge condizionale µ_Z|X di Z dato X.

(b) Si deduca la speranza condizionale E[Z|X].

(c) Si calcoli E[Z|X] senza usare la legge condizionale, ma applicando il lemma di freezing.

Esercizio 2. Siano X, Z variabili aleatorie reali, con densità congiunta f_X,Z(x, z) = e^−z1_{0≤x≤z}.

Si calcolino le speranze condizionali E[X|Z] e E[Z|X].

Esercizio 3 (IV appello 2012/13). Sia (Ω, A, P) uno spazio di probabilità e siano X e Y due variabili aleatorie reali in L¹(Ω, A, P), tali che

E(X|Y ) = Y , E(Y |X) = X . (a) Per ogni c ∈ R fissato, si mostri che

E((X − Y )1{X>c}) = 0 , E((X − Y )1{Y >c}) = 0 , (b) Dopo aver spiegato l’uguaglianza

1{X>c}− 1_{{Y >c}} = 1{X>c,Y ≤c}− 1{X≤c,Y >c}, si deduca che

E((X − Y )1{X≤c,Y >c}) = E((X − Y )1{X>c,Y ≤c}) . (c) (*) Si deduca che necessariamente

E((X − Y )1{X≤c,Y >c}) = 0 , E((X − Y )1{X>c,Y ≤c}) = 0 , e quindi che

∀c ∈ R : P(X ≤ c, Y > c) = 0 , P(X > c, Y ≤ c) = 0 . [Sugg. Si rifletta sui segni delle variabili aleatorie in gioco ]

(d) Si spieghi l’uguaglianza di eventi {X 6= Y } = [

c∈Q

{X ≤ c, Y > c} ∪ {X > c, Y ≤ c}
e si deduca che X e Y sono . . .

†Ultima modifica: 17 aprile 2015.

(Sub,super)martingale

Esercizio 4 (I appello 2012/13). Sia (Ω, A, {F_n}_n∈N0:={0,1,...}, P) uno spazio di probabilità filtrato, in cui è definito un processo stocastico adattato X = (X_n)_n∈N0, tale che

∀n ∈ N0 : E(|Xn|) < ∞ , E(Xn) = 0 .

Dati n ∈ N0, un evento A ∈ F_n e due numeri a, b ∈ N0 con a > b, definiamo la variabile aleatoria

τ := a 1A+ b 1A^c. (0.1)

(c) Si diano condizioni su a, b ∈ N0 affinché τ sia un tempo d’arresto.

(d) Si mostri che, se il processo X è una martingala, allora E(X_τ) = 0 per ogni tempo d’arresto τ come in (0.1).

(e) Viceversa, si mostri che, se E(X_τ) = 0 per ogni tempo d’arresto τ come in (0.1), allora X è una martingala.

Esercizio 5. Siano {Y_n}_n∈N variabili aleatorie i.i.d. tali che P(Y₁ ∈ {¹₂, 2}) = 1. Definiamo il processo Z = {Z_n}_n∈N ponendo Z_n:=Qn

k=1Yk.

(a) Si determini la legge di Y₁ affinché Z sia una martingala.

D’ora in avanti si supponga che Y₁ abbia la legge appena determinata.

(b) Si mostri che il limite Z_∞:= lim_n→∞Z_n esiste finito q.c..

(c) Si mostri che Z_∞= 0 q.c..

[Sugg.: Si studi il processo Wn:= log Zn.]

Esercizio 6 (II appello 2011/12). Siano {U_n}_n∈Nvariabili aleatorie reali i.i.d., definite su uno spazio di probabilità (Ω, F , P), distribuite uniformemente su [0, 1]. Sia F_n := σ(U1, . . . , Un) la filtrazione naturale della successione {U_n}_n∈N e poniamo F₀ := {∅, Ω}.

Siano p ∈ (0, 1) e A, B ∈ (0, ∞) parametri fissati. Si ponga

X0 := p , Xn+1 := A Xn+ B 1_[0,Xn](Un+1) , (dove 1_[0,x](u) = 1 se u ∈ [0, x] e 1_[0,x](u) = 0 se u 6∈ [0, x].)

(a) Si mostri che il processo {X_n}_n∈N0 è una martingala se e solo se A + B = 1.

[Sugg.: si noti che si può scrivere 1[0,X_n](Un+1) = f (Xn, Un+1) per un’opportuna funzione f .]

D’ora in avanti supporremo che A + B = 1.

(b) Si mostri che 0 < X_n< 1 per ogni n ∈ N.

(c) Si mostri che il limite

X∞ := lim

n→∞X_n esiste q.c. e in L².

(d) Si mostri che E[(X_n+1− X_n)²] = c E[Xn(1 − Xn)] per un’opportuna costante c > 0, che è richiesto di determinare.

(e) Si mostri che E[X_∞(1 − X∞)] = 0.

(f) (*) Si deduca la legge di X_∞.

Esercizio 7 (III appello 2010/11). Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) sono definite variabili aleatorie {X_n}_n∈N i.i.d. con P(X_n = +1) = P(X_n = −1) = ¹₂. Consideriamo la filtrazione {F_n}_n∈N0 definita da F₀ := {∅, Ω} e Fn:= σ(X1, . . . , Xn) per n ∈ N.

Sia g : [0, ∞) → [0, ∞) una funzione continua fissata tale che 0 < g(x) ≤ x per ogni x ∈ (0, ∞) e g(0) = 0. Definiamo il processo S = {S_n}_n∈N0 ponendo

S₀ := 1 , S_n+1:= S_n+ g(S_n) X_n+1 per n ∈ N . (a) Si mostri che S_n≥ 0 per ogni n ∈ N0.

[Sugg.: induzione.]

(b) Si mostri che S è una martingala. Si deduca che q.c. esiste finito il limite S_∞ :=

limn→∞Sn.

(c) Si noti che |S_n+1− S_n| = g(S_n). Si deduca che g(S∞) = 0 q.c. e quindi che S∞= 0 q.c..

(d) La famiglia di variabili aleatorie {S_n}_n∈N0 è uniformemente integrabile?

(e) Si mostri che la famiglia di variabili aleatorie {(S_n)^1/3}_n∈N0 è uniformemente integrabile.

Si concluda che lim_n→∞E((Sn)^1/3) = 0.

Esercizio 8. Su uno spazio filtrato (Ω, A, (F_n)_n∈N0, P) è definita una martingala M = (M_n)_n∈N0 tale che M_n ≥ 0 per ogni n ∈ N0. Definiamo la variabile aleatoria τ : Ω →

N0∪ {+∞} ponendo

τ := min{n ∈ N0: Mn= 0} ,

con l’abituale convenzione min ∅ := +∞. Definiamo quindi il processo Z = (Z_n)_n∈N0 mediante

Zn:= Mn1{τ ≤n}. (a) Si mostri che Z è una martingala.

[Sugg. Si osservi che {τ ≤ n + 1} = {τ ≤ n} ∪ {τ = n + 1}.]

(b) Si calcoli Z₀, si mostri che E[Z_n] = 0 e si deduca che q.c. Zn= 0, per ogni n ∈ N0. (c) Si spieghi perché è vera la seguente affermazione:

Dopo il primo istante in cui una martingala non-negativa assume il valore zero, essa resta nulla per tutti gli istanti successivi (q.c.).

Definiamo M_∞(ω) := lim_n→∞M_n(ω) per ogni ω ∈ Ω per cui il limite esiste in R. D’ora in avanti supponiamo inoltre che M₀ = 1 e

|M_n+1− M_n| ≥ M_n, ∀n ∈ N0. (⊗)

(d) Si mostri che sull’evento {τ < ∞} si ha M_∞= 0.

(e) Si mostri che sull’evento {τ = ∞} si ha M_∞= +∞.

[Sugg. Si mostri che {τ = ∞} ⊆T

n∈N0{Mn≥ 2ⁿM₀}.]

(f) Si concluda che P(τ = ∞) = 0 e si determini M∞. Il processo (M_n)_n∈N0 è uniforme- mente integrabile?

Esercizio 9 (II appello 2010/11). Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) sono definite variabili aleatorie {X_n}_n∈Ni.i.d. in L², con media nulla E(X₁) = 0 e varianza Var(X₁) = σ². Consideriamo la filtrazione {F_n}_n∈N0 data da F_n:= σ(X1, . . . , Xn) per n ∈ N e F0 := {∅, Ω}.

Introduciamo la passeggiata aleatoria

S0 := 0 , Sn:= X1+ . . . + Xn per n ∈ N , e poniamo

Z0:= 0 , Zn:= S_n²

√n per n ∈ N . Definiamo quindi η_k:= Zk− Z_k−1, per ogni k ∈ N, così che Zn=Pn

k=1ηk. Si noti che ηk =







S₁² se k = 1

S²_k

√k− S_k−1²

√k − 1 se k ≥ 2 . (a) Si mostri che E(η_n|F_n−1) ≤ ^√σ2_n, per ogni n ∈ N.

(b) Si mostri che il processo Y = {Y_n := Zn− g(n)}_n∈N0 è una supermartingala, dove abbiamo posto

g(0) := 0 , g(n) :=

n

X

k=1

σ²

√

k per n ∈ N . (c) Si deduca che E(Z_σ) ≤ E(g(σ)), per ogni tempo d’arresto σ limitato.

(d) Si mostri che vale la seguente relazione:

g(m) ≤ Z m

0

σ²

√xdx = 2 σ²√

m , ∀m ∈ N .

Sia ora τ un tempo d’arresto a valori in N (non necessariamente limitato) tale che E(√

τ ) < ∞.

(e) Si mostri che E(Z_{τ ∧n}) ≤ 2 σ² E(√

τ ∧ n), per ogni n ∈ N.

(f) Si concluda che E S_τ²

√τ



≤ 2σ²E(√

τ ) < ∞.

Esercizio 10. Un processo stocastico X = (X_n)_n∈N0 a valore in N0 descrive l’evoluzione temporale del capitale di un giocatore espresso in euro. Il capitale iniziale vale X₀= c ∈ N.

Ad ogni istante n ∈ N0 si lancia una moneta che dà testa con probabilità p ∈ (0, 1).

L’evoluzione del capitale dall’istante n all’istante n + 1 è descritta nel modo seguente:

• se X_n= 0, il capitale resta nullo, ossia X_n+1= 0;

• se X_n> 0, se esce testa il capitale diventa X_n+1= X_n+Y_n, mentre se esce croce diventa Xn+1 = Xn− Y_n, dove Y_n è una quantità scelta uniformemente in {1, 2, . . . , X_n}.

Come discusso a lezione, indicando con F_n= σ(X₀, . . . , X_n) la filtrazione naturale del processo X, la legge condizionale di X_n+1dato F_nconcide con la legge condizionale di X_n+1 dato X_n, la quale è data per x ∈ N0 e A ⊆ R da

µ_Xn+1|Xn(A|x) = P(X_n+1∈ A|X_n= x) =

(δ₀(A) = 1_{0∈A} se x = 0 P(x + Y Z ∈ A) se x ≥ 1 ,

dove Y, Z sono indipendenti con P(Z = +1) = p, P(Z = −1) = 1 − p e Y ∼ Unif{1, 2, . . . , x}.

Esplicitiamo P(x + Y Z ∈ A): considerando A = {y}, con y = x ± k per 1 ≤ k ≤ x, si ha µ_Xn+1|Xn({y}|x) = P(x + Y Z = y) =

(P(Z = 1, Y = k) = _x^p se x = y + k P(Z = −1, Y = k) = ^1−p_x se x = y − k .

Di conseguenza, per ogni funzione f : R → R boreliana e positiva, oppure limitata, si ha E(f (Xn+1)|Fn) = E(f (Xn+1)|Xn) = X

y

f (y) µ_Xn+1|X_n({y}|x)

!   x=Xn

= 1_{Xn=0}f (0) + 1_{Xn>0}

Xn

X

k=1

 p

X_nf (Xn+ k) +1 − p

X_n f (Xn− k)

 . (a) Si mostri che X è una martingala (risp. sub, super) per p =¹₂ (risp. p > ¹₂, p < ¹₂).

D’ora in avanti poniamo p = ¹₂.

(b) Si mostri che q.c. X_n→ X_∞, dove X_∞< ∞ q.c..

(c) Poniamo G_n:= {X_n+1= X_n}. Si mostri che vale l’uguaglianza di eventi {la successione X_n è definitivamente costante} = lim inf

n Gn, e si deduca che P(lim inf_nGn) = 1.

(d) Si mostri che vale l’inclusione di eventi {X_n> 0} ⊆ {Xn+16= X_n}.

(e) Si deduca che G_n ⊆ {X_n = 0}, quindi che P(lim inf_n{X_n = 0}) = 1 e infine che X∞= 0 q.c.. (Il capitale è una martingala, ma questo gioco non è proprio equo. . . ) (f) La successione {X_n}_n∈N0 è uniformemente integrabile? Converge in L¹?

(g) La successione {√

X_n}_n∈N0 è uniformemente integrabile? Converge in L¹? (h) La successione {X_n²}_n∈N0 è limitata in L¹?